斐波那契數(shù)列及其應(yīng)用(編輯修改稿)
2024-07-24 14:51 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 的等比數(shù)列，其中。于是（1）變形為 整理為用求根公式可解得可見(jiàn)，滿足條件（1）的等比數(shù)列有兩個(gè)公比和如果等比數(shù)列滿足條件則公比為1，即不等于，因此不可能滿足條件（1）。但是，如果將滿足條件（1）的兩個(gè)等比數(shù)列與 逐項(xiàng)相加得到數(shù)列== （2）則數(shù)列（2）仍滿足條件（1），如果能適當(dāng)選擇a，b使即 （3）則就符合斐波那契數(shù)列所滿足的所有條件。容易看出，滿足條件的斐波那契數(shù)列是唯一的。因此滿足條件（3）的a，b決定的數(shù)列（2）就是所求的斐波那契數(shù)列。 由于,所以可以將條件（3）看成以a，b為未知數(shù)的二元一次方程組，解之得a=，b=從而.又由于，因此.所以這里得到了斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式推導(dǎo)方法1的關(guān)鍵是：滿足條件（1）的兩個(gè)等比數(shù)列仍滿足條件（1）（一般不再是等比數(shù)列），適當(dāng)選擇的前兩項(xiàng)都等于1。推導(dǎo)方法 2 初等代數(shù)法已知 首先，構(gòu)建等比數(shù)列設(shè)化簡(jiǎn)得與式（1）比較系數(shù)可得：不妨設(shè)解得所以有，即為等比數(shù)列。求出等比數(shù)列由以上可得： 變形得：。令求數(shù)列進(jìn)而得到設(shè)，解得。故數(shù)列為等比數(shù)列即 。而，故有又有和可得得出表達(dá)式至此，我們就推導(dǎo)出了斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式。推導(dǎo)方法 3 大家都知道斐波那契數(shù)列的性質(zhì)是從第三項(xiàng)開(kāi)始，后面每一項(xiàng)是前面兩項(xiàng)的和，即數(shù)列要滿足式（1）的條件，而式（1）屬于線性遞歸數(shù)列，此數(shù)列有其一般的表達(dá)式為：式（4）變形為：由于 因此：性質(zhì)1 性質(zhì)2 性質(zhì)3 性質(zhì)4 性質(zhì)5 性質(zhì)6 其中，n都從0開(kāi)始取。性質(zhì)1的證明：（用數(shù)學(xué)歸納法）（1） 當(dāng)n=1時(shí)，左邊==1，右邊=,所以左邊=右邊。即n=1時(shí)，等式成立。（2） 假設(shè)n=k時(shí)，等式成立。即有 則當(dāng)n=k+1時(shí)， = = = = 即n=k+1，等式也成立 綜合（1）（2），對(duì)于所有正整數(shù)，均成立。 證必。其他的性質(zhì)，都可以利用數(shù)學(xué)歸納法，類似證明，此處不再贅述。人的身體的各種比例也暗合斐波那契數(shù)列，這從另一個(gè)方面說(shuō)明了斐波那契數(shù)列的奇妙經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，人們發(fā)現(xiàn)了一個(gè)很有趣的現(xiàn)象。人體各個(gè)地方的比例好多都符合黃金分割比或其倒數(shù)：腰以下長(zhǎng)度 / 身高 = 腰以上長(zhǎng)度 / 腰以下長(zhǎng)度 = 頸至腰長(zhǎng)度 / 腰以上長(zhǎng)度 = 頸以上長(zhǎng)度 / 頸至腰長(zhǎng)度 = 身高 / 腰以下長(zhǎng)度 = 腰以下長(zhǎng)度 / 腰以上長(zhǎng)度 = 腰以上長(zhǎng)度 / 頸至腰長(zhǎng)度 = 頸至要腰長(zhǎng)度 / 頸以上長(zhǎng)度 = 身高 / 腰以上長(zhǎng)度 = 腰以下長(zhǎng)度 / 頸至腰長(zhǎng)度 = 并且你對(duì)于自己的手臂了解多少頸以上長(zhǎng)度 / 小臂長(zhǎng)度 = 小臂長(zhǎng)度 / 腰以上長(zhǎng)度 = 小臂長(zhǎng)度 / 頸以上長(zhǎng)度 = 腰以上長(zhǎng)度 / 小臂長(zhǎng)度 = 腰以下長(zhǎng)度 / 小臂長(zhǎng)度 = 早在古希臘時(shí)代，并將其稱為黃金分割率。出于對(duì)這一數(shù)字的神奇與偏愛(ài)，它被廣泛應(yīng)用到建筑和繪畫等各個(gè)領(lǐng)域，從巴臺(tái)農(nóng)神廟到美國(guó)紐約的眾議院大樓，甚至于基督十字架的分割比例也由它來(lái)定義，黃金分割率已經(jīng)成為西方人追求外在美的內(nèi)在規(guī)則。與此同時(shí)，人們也逐漸認(rèn)識(shí)到黃金分割率廣泛存在于自然界中，幾乎無(wú)處不在。從花朵的圖案、棕櫚樹(shù)的葉子到肚臍對(duì)人體的分割。下面我們來(lái)看看黃金分割是怎么定義的：一般地，設(shè)已知線段AB，若AB上的點(diǎn)C將AB分成兩段，使大段為全段和小段的比例中項(xiàng)。（如下圖2）即A=ABBC，則稱點(diǎn)C內(nèi)分線段AB成中外比。下面對(duì)分
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