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正文內(nèi)容

斐波那契數(shù)列及其應(yīng)用(編輯修改稿)

2024-07-24 14:51 本頁面
 

【文章內(nèi)容簡介】 的等比數(shù)列,其中。于是(1)變形為 整理為用求根公式可解得可見,滿足條件(1)的等比數(shù)列有兩個公比和如果等比數(shù)列滿足條件則公比為1,即不等于,因此不可能滿足條件(1)。但是,如果將滿足條件(1)的兩個等比數(shù)列與 逐項相加得到數(shù)列== (2)則數(shù)列(2)仍滿足條件(1),如果能適當(dāng)選擇a,b使即 (3)則就符合斐波那契數(shù)列所滿足的所有條件。容易看出,滿足條件的斐波那契數(shù)列是唯一的。因此滿足條件(3)的a,b決定的數(shù)列(2)就是所求的斐波那契數(shù)列。 由于,所以可以將條件(3)看成以a,b為未知數(shù)的二元一次方程組,解之得a=,b=從而.又由于,因此.所以這里得到了斐波那契數(shù)列的通項公式推導(dǎo)方法1的關(guān)鍵是:滿足條件(1)的兩個等比數(shù)列仍滿足條件(1)(一般不再是等比數(shù)列),適當(dāng)選擇的前兩項都等于1。推導(dǎo)方法 2 初等代數(shù)法已知 首先,構(gòu)建等比數(shù)列設(shè)化簡得與式(1)比較系數(shù)可得:不妨設(shè)解得所以有,即為等比數(shù)列。求出等比數(shù)列由以上可得: 變形得:。令求數(shù)列進而得到設(shè),解得。故數(shù)列為等比數(shù)列即 。而,故有又有和可得得出表達式至此,我們就推導(dǎo)出了斐波那契數(shù)列的通項公式。推導(dǎo)方法 3 大家都知道斐波那契數(shù)列的性質(zhì)是從第三項開始,后面每一項是前面兩項的和,即數(shù)列要滿足式(1)的條件,而式(1)屬于線性遞歸數(shù)列,此數(shù)列有其一般的表達式為:式(4)變形為:由于 因此:性質(zhì)1 性質(zhì)2 性質(zhì)3 性質(zhì)4 性質(zhì)5 性質(zhì)6 其中,n都從0開始取。性質(zhì)1的證明:(用數(shù)學(xué)歸納法)(1) 當(dāng)n=1時,左邊==1,右邊=,所以左邊=右邊。即n=1時,等式成立。(2) 假設(shè)n=k時,等式成立。即有 則當(dāng)n=k+1時, = = = = 即n=k+1,等式也成立 綜合(1)(2),對于所有正整數(shù),均成立。 證必。其他的性質(zhì),都可以利用數(shù)學(xué)歸納法,類似證明,此處不再贅述。人的身體的各種比例也暗合斐波那契數(shù)列,這從另一個方面說明了斐波那契數(shù)列的奇妙經(jīng)過長期的數(shù)據(jù)統(tǒng)計,人們發(fā)現(xiàn)了一個很有趣的現(xiàn)象。人體各個地方的比例好多都符合黃金分割比或其倒數(shù):腰以下長度 / 身高 = 腰以上長度 / 腰以下長度 = 頸至腰長度 / 腰以上長度 = 頸以上長度 / 頸至腰長度 = 身高 / 腰以下長度 = 腰以下長度 / 腰以上長度 = 腰以上長度 / 頸至腰長度 = 頸至要腰長度 / 頸以上長度 = 身高 / 腰以上長度 = 腰以下長度 / 頸至腰長度 = 并且你對于自己的手臂了解多少頸以上長度 / 小臂長度 = 小臂長度 / 腰以上長度 = 小臂長度 / 頸以上長度 = 腰以上長度 / 小臂長度 = 腰以下長度 / 小臂長度 = 早在古希臘時代,并將其稱為黃金分割率。出于對這一數(shù)字的神奇與偏愛,它被廣泛應(yīng)用到建筑和繪畫等各個領(lǐng)域,從巴臺農(nóng)神廟到美國紐約的眾議院大樓,甚至于基督十字架的分割比例也由它來定義,黃金分割率已經(jīng)成為西方人追求外在美的內(nèi)在規(guī)則。與此同時,人們也逐漸認識到黃金分割率廣泛存在于自然界中,幾乎無處不在。從花朵的圖案、棕櫚樹的葉子到肚臍對人體的分割。下面我們來看看黃金分割是怎么定義的:一般地,設(shè)已知線段AB,若AB上的點C將AB分成兩段,使大段為全段和小段的比例中項。(如下圖2)即A=ABBC,則稱點C內(nèi)分線段AB成中外比。下面對分
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