【文章內(nèi)容簡介】 為的單側(cè)檢驗求出臨界值。命令t2=bt(20,)得到，因此，此例中拒絕域為，或者 落在拒絕域內(nèi)，可以認(rèn)為兩種白酒品質(zhì)有顯著差異。 Matlab中有自帶的SIGNTEST函數(shù)，可以直接用于符號檢驗。默認(rèn)的檢驗是雙側(cè)的。對于配對實驗的兩總體均值檢驗問題，也可用符號檢驗。 Wilcoxon秩和檢驗我們要研究的問題是兩總體均值的假設(shè)檢驗，設(shè)，要檢驗第二個總體是否有增加效應(yīng)，即檢驗如下問題：H0： H1： Wilcoxon秩和檢驗的方法是：將兩個樣本混合為混合之后樣本容量為，每個樣本點(diǎn)在樣本中從小到大排列的名次稱為該樣本點(diǎn)的秩，用表示在混合樣本中的秩，表示在混合樣本中的秩，檢驗統(tǒng)計量為例如諸為 ，，，，以下列表給出混合樣本及秩混合樣本秩1357246則。若H0成立，則的值應(yīng)該適中。注意到每個秩序的平均值為，故H0成立時，的值在此值附近應(yīng)該是正常的。若的值異常偏大，說明第二個總體確有增加效應(yīng)。利用matlab自身的函數(shù)p = ranksum(X,Y)可以進(jìn)行雙側(cè)的秩和檢驗。返回的p值小于給定的則拒絕原假設(shè)，認(rèn)為H1：成立。 H0成立時，可以證明關(guān)于對稱，要檢驗H1：，只要判定，并且p = ranksum(X,Y)即可。 自定義rsum函數(shù)用于求function W=rsum(x,y)[s,t]=size(x)。m=max(s,t)。if tm x=x39。end[s,t]=size(y)。n=max(s,t)。N=m+n。if tn y=y39。endxy=[x,y]。[z,I]=sort(xy)。W=0。for i=1:N if(I(i))m W=W+i。 endend為了求出Wilcoxon秩和檢驗的臨界值，我們給出如下定理，證明參見文獻(xiàn)[1]。 在H0成立時，的概率分布為 其中表示從中取個數(shù)其和恰為的取法的個數(shù)。可用如下初始條件及遞推公式計算：當(dāng) ：function tmn=tmnd(m,n,d)N=m+n。nn=n*(n+1)/2。NN=n*(2*m+n+1)/2。if m0 | n0 | dnn | dNN tmn=0。elseif m0 amp。 n==0 amp。 d==0 tmn=1。elseif m0 amp。 n==0 amp。 d0 tmn=0。elseif m==0 amp。 n0 amp。 d==nn tmn=1。elseif m==0 amp。 n0 amp。 d~nn tmn=0。else T=zeros(m,n,NN)。for i=1:m for k=1:i+1。 T(i,1,k)=1。 endendfor j=1:n kk=j*(j+1)/2。 KK=(j+1)*(j+2)/21。 for k=kk:KK T(1,j,k)=1。 endendfor i=2:m for j=2:n s=i+j。 for k=1:d if k=s T(i,j,k)=T(i1,j,k)。 else T(i,j,k)=T(i,j1,ks)+T(i1,j,k)。 end end endendtmn=T(m,n,d)。end 可以證明，H0成立時，的概率分布關(guān)于E=n*(m+n+1)/2對稱，我們給出單側(cè)檢驗臨界值的求法，其中輸入?yún)?shù)m,n,alpha分別是對照組樣本容量、實驗組樣本容量、檢驗的顯著性水平，而輸出值c表示右側(cè)臨界值，即滿足的最小正整數(shù)。function c=wr(m,n,alpha)% return the min c such that P(W=c)=alphaNN=n*(2*m+n+1)/2。nn=n*(n+1)/2。N=m+n。E=n*(N+1)/2。a=1。for k=1:n a=a*(N+1k)/k。endAlpha=a*alpha。k=nn。P=0。while PAlpha P=P+tmnd(m,n,k)。 k=k+1。endc1=k1。c=2*Ec1。上述函數(shù)可用于右側(cè)檢驗。若左側(cè)檢驗，c1=2*Ec即為左側(cè)臨界值。若雙側(cè)檢驗，先求出c2=wr(m,n,alpha/2)，再由c1=2*Ec2即可。 某班級共15名同學(xué)，某次英語水平考試，分?jǐn)?shù)如下： 男：53，55，59，65，71，77，81 女：56，62，68，76，84，86，90，96在顯著性水平下，能否認(rèn)為女生英語水平高于男生？要求采用Wilcoxon秩和檢驗。解 注意這是一個單側(cè)檢驗問題，使用matlab命令：x=[53,55,59,65,71,77,81]y=[56,62,68,76,84,86,90,96]rsum(x,y)c=wr(7,8,)上述計算中，注意到rsum(x,y)=78，而臨界值為c=78,的值落在拒絕域內(nèi)，故可拒絕原假設(shè)，認(rèn)為女生成績顯著高于男生。 Wilcoxon符號秩檢驗設(shè)為來自連續(xù)總體的簡單隨機(jī)樣本，關(guān)于點(diǎn)對稱，檢驗假設(shè)H0： H1：Wilcoxon符號秩檢驗統(tǒng)計量為：其中，即把依照絕對值由小到大排列，的名次。H0成立時，故在此值附近取值說明原假設(shè)成立。若異常大，則要拒絕原假設(shè)，說明H1：成立。對于雙側(cè)檢驗問題H0： H1：Matlab有自帶的函數(shù)p=signrank(x,m)這里x為樣本，m代表，若顯著性水平為，則時拒絕原假設(shè)。對于單側(cè)檢驗，H1：，要拒絕原假設(shè)需要同時滿足兩個條件：條件一，；條件二，p=signrank(x,m)。為計算，自編函數(shù)：function wp=rpsum(x,m)。n=length(x)。x=xm。y=abs(x)。[z,I]=sort(y)。wp=0。for i=1:n if x(I(i))0 wp=wp+i。 endend保存了上述函數(shù)后，即可進(jìn)行單側(cè)檢驗。 某班級共15名同學(xué)，某次英語水平考試，分?jǐn)?shù)如下： 53，55，59，65，71，77，81，56，62，68，76，84，86，90，96在顯著性水平下，能否認(rèn)為平均成績高于60分？要求分別用：（1）符號檢驗；（2）Wilcoxon符號秩檢驗。解 注意這是一個單側(cè)檢驗問題：H0： H1：使用matlab命令：x=[53,55,59,65,71,77,81,56,62,68,76,84,86,90,96]（1）符號檢驗注意這里n=15,B=11,：t=bt(15,)得到臨界值，B=11，沒有落入拒絕域，故接受H0，認(rèn)為平均成績沒有明顯高于60分。 （2）Wilcoxon符號秩檢驗E=n*(n+1)/4,wp=rpsum(x,60),計算結(jié)果發(fā)現(xiàn)wp=106 E=60，滿足單側(cè)檢驗條件一，再計算p=signrank(x,60)結(jié)果得p=2，故拒絕原假設(shè)，認(rèn)為平均成績明顯高于60分。 檢驗的功效函數(shù)為了簡單起見，我們只討論位置參數(shù)的單側(cè)檢驗：H0： H1：其中為總體的中位數(shù)。對于上述檢驗，當(dāng)總體為方差已知正態(tài)總體時，有檢驗；當(dāng)總體為方差未知正態(tài)總體時，有檢驗；當(dāng)總體為連續(xù)對稱總體時，有符號檢驗及Wilcoxon符號秩檢驗。自然有一個問題，如何評價不同的檢驗方法的優(yōu)劣？對于相同的樣本容量，對于相同的顯著性水平，一般比較區(qū)間時拒絕的概率，此時為犯第二類錯誤的概率。不同的檢驗方法犯第一類錯誤的概率已經(jīng)被控制了，具有相同的水平，此時比較時的，小者為好；或者等價地說，比較時的，越大越好。稱，為檢驗的功效函數(shù)。功效大的檢驗就是好的檢驗。以下畫出正態(tài)總體方差已知時檢驗的功效函數(shù)。H0時，不妨設(shè)總體服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，已知，均值用m表示。以下固定樣本容量n=20，固定顯著性水平a=，此時檢驗臨界值為u0=norminv()=。當(dāng)m0時，檢驗統(tǒng)計量為容易計算=1normcdf(u0m*sqrt(20))以下利用Matlab作圖功能畫出此時的功效函數(shù)。u0=norminv()m=0::1。w=1normcdf(u0m*sqrt(20))。plot(m,w)結(jié)果如圖31所示。圖圖31 n=20，= 請讀者自己研究，隨著樣本容量的增加，功效函數(shù)的圖形會有怎樣的變化？注意，這是水平為的檢驗的出發(fā)點(diǎn)，類似于百米賽跑，此點(diǎn)是起跑點(diǎn)。如果相同起跑點(diǎn)，隨著的增加，功效函數(shù)越來越大，對于兩條功效函數(shù)曲線，在備擇假設(shè)的范圍內(nèi)大者為佳。上述功效函數(shù)容易得到精確的曲線，稍微復(fù)雜的情形，拒絕概率的精確值不易計算，可以使用隨機(jī)模擬的方法得到功效函數(shù)。例如，要研究t檢驗的功效函數(shù)、符號檢驗的功效函數(shù)、Wilcoxon符號秩檢驗的功效函數(shù)，并與檢驗的功效函數(shù)進(jìn)行對比。首先固定如下四個因素：（1）總體分布；（2）樣本容量；（3）顯著性水平a=。（4）取定前三條都滿足時，三種方法的臨界值就完全確定了，拒絕域也完全確定了：t檢驗：，拒絕域為t0=tinv(,19)=；符號檢驗：大于0樣本點(diǎn)個數(shù)，拒絕域t=bt(20,)=15；Wilcoxon符號秩檢驗：拒絕域為評價不同的檢驗，我們可以分別計算功效函數(shù)。這可以采用隨機(jī)模擬的方法，利用萬次隨機(jī)試驗中拒絕的頻率近似代替拒絕概率。m=0::1。p1=zeros(1,11)。p2=zeros(1,11)。p3=zeros(1,11)。t0=tinv(,19)。b0=15。w0=150。s20=sqrt(20)。N=10000。for mm=1:11 for k=1:N x=randn(1,20)+m(mm)。 T=s20*mean(x)/std(x)。 if T=t0 p1(mm)=p1(mm)+1。 end B=0。 for i=1:20 if x(i)0 B=B+1。 end end if B=b0 p2(mm)=p2(mm)+1。 end wp=rpsum(x,0)。 if wp=w0 p3(mm)=p3(mm)+1。 end end p1(mm)=p1(mm)/N。 p2(mm)=p2(mm)/N。 p3(mm)=p3(mm)/N。 mmendP=[p1。p2。p3]plot(m,p1,m,p2,m,p3)計算結(jié)果為P = 圖形為圖32 功效函數(shù)比較圖當(dāng)總體為正態(tài)總體時，可以看出檢驗功效較高，Wilcoxon符號秩檢驗功效稍差，符號檢驗功效很差。如果總體不是正態(tài)總體，例如服從+m，：x=trnd(3,1,20)+m(mm)。則結(jié)果Wilcoxon符號秩檢驗功效明顯高于檢驗，結(jié)果如下P = 如果總體服從自由度為1的分布，即Cauchy分布，將抽樣語句改為：x=trnd(1,1,20)+m(mm)。計算結(jié)果如下P = 可以發(fā)現(xiàn)，檢驗的表現(xiàn)極差，功效比符號檢驗小很多。 總體分布的假設(shè)檢驗設(shè)為來自總體的簡單隨機(jī)樣本，為已知的一個固定的分布函數(shù)，要進(jìn)行如下的檢驗：H0： H1： 對此檢驗問題，有兩種常用的方法。對總體分布進(jìn)行假設(shè)檢驗，一般要求樣本容量較大，例如至少100。 檢驗取正整數(shù)，將樣本排序為，將區(qū)間等分，分點(diǎn)為， 這個分點(diǎn)將分割為個小區(qū)間，，，記為落入的樣本點(diǎn)的個數(shù)，顯然，稱為落入的頻率。表示H0成立時落入的概率，即，，檢驗統(tǒng)計量取為：可以證明，當(dāng)H0成立時近似服從自由度為的分