本科畢業(yè)論文正定二次型與不等式(編輯修改稿)
2025-07-21 19:47 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 非負. 而的三個一階主子式分別為、, 三個二階主子式分別為, ,其三階主子式即.故不等式(3)對任意實數(shù)成立的充要條件是,,.且. [8]證明的一個主要不等式, 但其證明過程十分冗繁. 而這里用半正定二次型理論給出的證明則十分簡捷. 證明不等式 (4)對任意的成立的充要條件是, , , .證明 設(shè)二次型,展開, 整理, 得.記, , , , ,則不難知道.又容易驗證.(4)對任意的成立的充要條件是, , , .(IMO)中國國家隊選拔考試題. 證明: 對任意, 有不等式 . (5)證明 設(shè)二次型,則有.顯然二次型是半正定的, 而的矩陣為,因此, . 但,故不等式(5)成立.3 幾個矩陣(或行列式)不等式 因為二次型可用對稱矩陣表示, 所以與對稱矩陣(或行列式)有關(guān)的不等式當然可以考慮用二次型理論處理. 請看下面幾個例子. 設(shè)皆為實數(shù), 證明 . (6)證明 考慮二次型. 不難知道,因此二次型是半正定的. 由定理4(ⅳ), 二次型的矩陣的所有主子式非負. 而二次型的矩陣為,則, 故不等式(6)成立.特別地, 當時, 所以 . (7)再記, 則(7)式即著名的Cauchy不等式.從這里可以看出,不等式(6)是Cauchy不等式的一個推廣. 設(shè), 其中, 為階實對稱矩陣, 為實常數(shù), , 為中的固定向量, 證明:(1) 任給, 恒有的充要條件是:, 且任給恒有的充要條件是: 。 (2) 存在使得充要條件是: , 且存在, 使的充要條件是: .證明 首先注意到正定矩陣的行列式大于零, 因而正定矩陣一定是可逆的, 所以有意義, 又由, 不難得到 , (8)且由的正定性知 (), 于是 若任給, 恒有, 則由(8)式即得。 反之, 如果, 則由(8)式及的正定性即知, 任給恒有, 故(1)的前一結(jié)論得證. 將剛才推理過程中的“”改為“”, 即證得(1)的后一結(jié)論. 而(2)的兩個結(jié)論分別是(1)的兩個結(jié)
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