【文章內容簡介】 0???zwyvxu（） 方程（）和方程（）構成了一個由四個方程組成的方程組即 NS 方程組，其中三個是運動方程，一個是連續(xù)方程?，F有未知量 四個，如果摩擦力已知，似乎可以pvu,求解了。不過，還需 的邊界條件。我們期望 4 個方程加上邊界條件能解出 4 個未知pwvu,量。然而，我們發(fā)現它們是非線性的偏微分方程，一般情況下這是無解析解的；即使對于一個十分簡單的流動也難以得到解析解。迄今為止，對于存在摩擦項的方程還沒有精確解，而即使方程是不含摩擦項的方程，也幾乎很少有精確解。由于這些方程幾乎不可能求解，所以必須使方程簡化。只有在方程被高度簡化后，才有可能得到解析解。這些解被用于研究海洋動力學過程，其中包括波動。而關于實際海岸和海底特征的流動的求解必須采用數值方法。浙江海洋學院本科畢業(yè)論文 有限差分基本概念 92. 有限差分法基本概念研究海洋運動方法一般有：理論分析、實驗研究、數值計算 [7]。理論分析主要是指現代科學理論對實際問題進行分析的方法。理論方法是一種重要的分析論證方法。實證分析不可能將任何問題都解決，而理論方法是相對于實證分析更快速和高效的方法。然而理論分析方法是間接的方法，任何間接的方法都可能在中間環(huán)節(jié)出現錯誤，從而導致論證分析失敗。而且它的研究對象常常是針對線性的控制方程，必須簡化其物理，使其幾何表現有規(guī)律可循，對于非線性的情況，很難給出解析結果 [8]。試驗研究是為了能夠確定一些系數和驗證理論結果。由實驗測量給出的資料通常是一個物理過程最可信的資料，試驗結果真實可靠。理論分析和數值計算就是以實驗研究為基礎的。但實驗往往受到環(huán)境影響、操作不當、儀器精度等的限制，還會遇到資金成本，人力和實驗材料以及周期長等許多困難。數值計算是一種離散的近似方法，是在計算機上的一種模擬。由于海洋動力學方程是非線性的，由于海洋動力學方程是非線性的，它們可能有數學奇點和未知的或邊界無窮遠，難以直接求解。因此解決計算機海洋動力學問題仍然需要借助比較簡單的線性問題的嚴格數學分析，并依靠物理直觀、實際海洋現場的啟發(fā)和計算機上的數值試驗來進行。數值模擬是利用海洋模式對海洋現象的重復和預演，并揭示其動態(tài)過程。隨著計算機性能的提高，計算方法的不斷發(fā)展和完善，電子計算機的可用性，仿真和實驗手段，各種海洋動力學問題都可求得數值解。因而計算海洋動力學已越來越成為研究海洋各種物理現象及工程設計的重要手段。計算海洋動力學的各種方法既十分豐富，也十分復雜，為了能較好地掌握計算的基本理論，并具備一定的研究與開發(fā)能力，本章給出計算海洋動力學中的一些計算技術與方法。電子計算機上處理的計算必須是離散的和有限的，不能直接描述連續(xù)性問題，所以在數值計算方法中，首要的是如何把模式方程組列出離散形式，離散化方法基本上可以分為兩類：（1）和離散相結合的譜法等多種分析，變分法和應用快速傅里葉變換方法的；（2）有限差分法、有限元法、PIC (ParticleInCell) 法 、MAC (MarkerAndCell ) 法和 VOF (Volume Of Fluid) 法等 [9]。在比較中，有限差分法是最成熟的方法，也是現在最常見的應用。本章先介紹有限差分方法的基本概念，差分格式的建立及其基本性質，如相容性、收斂性和穩(wěn)定性等，一些偽物理效應及訂正，并說明它們的意義及分析方法，為理解和掌握差分格式的設計方法提供必要的基礎知識。 解域的離散化與差分網格的建立 在海洋運動中，平流過程是很重要的，表征其特征的一維線性平流方程為 　　 ， 0???xuct（）浙江海洋學院本科畢業(yè)論文 有限差分基本概念 10式中，u 是兩個自變量 x,t 的函數 ；c 為常數。采用有限差分方法求解時，首先要),(txu做的是等距或非等距分割計算域，分割點被稱為網格點，網格點之間的距離叫晶格間距或空間步長、水平分辨率。如果給定邊界條件及初始 時刻的值 ，就可以計算出在這些格0t),(txu點上以后時刻的 值。下面以 平面為例，說明網格的建立，最簡單常用的是“等步長”差分分割。取適當的xy間隔 和 的平行線組進行分割，平行線組的全部叫網格線群，該交點被稱為網格點，?和 分別叫做在 x 方向和 y 方向的晶格距離 [10]。格距的取值應根據研究的實際問題而定。編號為 的網格點 其坐標表示為??ji,??ji, ，xi????Mi,.10 　　 ， yji??Nj,.10?（） 函數 的值在 點表示為),(yxu???ji, ),(),(, yjxiuyxujiji ??（）對時間離散，也取一適當的分割間隔 ，稱為時間步長，其分割點記為t?（n=0，1，…，K） 。 的取值需按嚴格的要求，必須滿足穩(wěn)定性等條件。tn??以上是等間距網格，在河口海岸區(qū)域，由于河道分叉、岸線復雜，現在趨向采用非等間距曲線網格，涉及網格正交、加密技術，以及自適應網格等問題，也是目前比較感興趣的研究課題。 微分方程的離散化下面對一維線性平流方程（）離散化，說明差分方程的建立。即在時空的參考點上，把方程（ ）寫成離散的形式，構成差分方程。這里介紹普遍使用的泰勒展開法。??nitx,由于在所研究的海洋、大氣問題中，實際使用的空間步長 與方程所描述的特征尺度運動x?相比是一個非常小的量，所以可以將函數 展開為泰勒級數：),(txu 　　 …， ????????? !3)(!2,),( xutxu（） 　　　 …， ??????!3)(!2),(,( xuxuttxu（）由式（）和式（）可得：浙江海洋學院本科畢業(yè)論文 有限差分基本概念 11 … ， ????????!2),(,(xuxttux Rxtut????),(,(（） … ， !),(),2xtt tt),(),（）式中 R 稱為截斷誤差，表示差分的精度，以階表示 ， 的方次表示階的大小，）（ x??OR如上式是一階精度。引入記號 ，),(1txuni? ，? ),(txuni?， （）則式（）,()改寫為 ， ， Rxuniini???????????1 ）（ x??O（） ， ， xuniini????????1 ）（ x（）式（）和式（）分別稱為空間向前差分和空間向后差分，它們精度都是一階的。將式（） ， （）相減： …，???????!3)(2),(),( xuxtxutx …， ??23 ， ， Rxuniini?????????1 2OR）（ x??（)式（）為一階導數 的中央差分，精度為二階。x?將式（） ， （）相加：　 …，????????????? !42!2),(),(),( xuxutxtutx　 …，??? !, 422 xxtttx浙江海洋學院本科畢業(yè)論文 有限差分基本概念 12 　 ， ， Rxuxuniinii ?????????????2112 2OR）（ x??（）式（）為二階導數中央差分，精度為二階。二階導數，xuxuii??????????????????21212再用中央差分 ， ，就可得到表達式（） 。21???????i 21????????iu 利用泰勒展開方法構造差分格式有較大的靈活性，如用下式則可以構造不同的差分格式:…，??????????!3)2(!),(,( 22xuxxutxtxu）（　　 …， ()? !)(!2),(,( 3xxtt）（同理，對時間偏導數進行離散。取時間步長為 ，在點 上可得到時間偏導數t???nit,的差分表達式：nitu??????? ， ， Rtutniini??????????1 ）（ t??O（） ， ， tutniini?????????1 ）（ t（） ， ， Rtutniini ??????????21 ）（ 2Ot??（） ， ， tutuniinii??????????211 ）（ 2t（）式（） ， （）分別是時間向前差分、時間向后差分，式（） ，式（）分別為時間一階和二階導數的中央差分格式。結合以上差分，若把一維平流方程（）的導數 取時間向前差分，導數 分???????tu???????xu浙江海洋學院本科畢業(yè)論文 有限差分基本概念 13別取為空間向前、向后和中間差分，便可得到方程（）的 3 種不同差分方程 [11]： 　　　 ， ， 011????xuctuniinii ??xt?,O（） 　　　 ， ， 11?tniinii t,（） 　　　 ， ， 0211?????xuctuniinii ??2,Oxt?（）以上結合差分方程的構造方法而給出了方程（）的幾種最基本的差分格式。實際應用中一些差分格式的給出遠復雜得多。如果離散的初始條件和邊界條件能夠給出，即可推出方程（）的 3 種不同差分方程。由于不同的差分格式具有不同的內在性質，與原微分方程有不同的近似關系，呈現不同的數值效應。為了使采用的差分格式得到的數值解能反映真實流動情形，需要分析、判斷格式的有效性、可靠性。因此，時間差分格式和空間差分格式的選擇必須滿足一定的標準，標準差分逼近的一致性，收斂性和穩(wěn)定性，這將在下面介紹。 階段誤差與相容性 當我們把海洋動力學方程中的微分方程采用差分近似時，首先要求的性質是相容性（一致性） ，即對應的微分方程與差分方程相協(xié)調。這是一個最基本的條件，如果不滿足，就不能計算所要研究的問題；滿足了，才有必要詳細地研究差分格式。下面以一維平流方程（)與差分方程（ ）為例討論差分方程與微分方程的一致性。 　　 ， 0???xuct（） 　　 ， 0???nixnituc（）式（）差分格式稱為歐拉格式，其中差分符號 ??tt???1,? ， tuniinit??（） ， tuniinit????210（） 其他差分符號也在這里定義如下： ， tuniinit????1（）浙江海洋學院本科畢業(yè)論文 有限差分基本概念 14