二次函數(shù)全章分節(jié)練習(xí)知識點(編輯修改稿)
2025-07-20 13:54 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 C點坐標為(0,3). 所以, 解得 ∴直線BC的代數(shù)表達式為y=x3 (3)由于AB=31=2, OC=│3│=3.二次函數(shù)y=ax2＋bx＋c與ax2＋bx＋c =0（a≠0）的關(guān)系 一元二次方程ax2＋bx＋c =0（a≠0）的根是二次函數(shù)y=ax2＋bx＋c（a≠0）與x軸交點的橫坐標，反之y=ax2＋bx＋c（a≠0）與x軸交點的橫坐標是一元二次方程ax2＋bx＋c =0（a≠0）的根；5 一元二次方程ax2＋bx＋c =0（a≠0）根情況的判別即二次函數(shù)y=ax2＋bx＋c（a≠0）與x軸交點個數(shù)情況：①判別式②直接看方程③平移例1：拋物線y=ax2＋bx＋c圖像如下， 則 ① ax2＋bx＋c =0的根有 （ ）個②ax2＋bx＋c+3＝0的根有（ ）個③ax2＋bx＋c－4＝0的根有（ ）個 x例2：若關(guān)于x的不等式組 無解，則二次函數(shù)y=（a2）x2x＋與X x 軸交點有（ ）個；例3：一元二次方程與X軸的交點個數(shù)為（ ）個；例4：二次函數(shù)y=ax2＋bx＋c（a≠0）的圖像如圖所示，根據(jù)圖像解答下列問題：（1） 寫出方程ax2＋bx＋c =0的兩個根；（2） 寫出不等式ax2＋bx＋c 0的解集；（3） 寫出y隨x的增大而減小的自變量x的取值范值；（4） 若方程ax2＋bx＋c =k有兩個不相等的實數(shù)根，求k的取什范圍。 3221 韋達定理在二次函數(shù)y=ax2＋bx＋c（a≠0）中的應(yīng)用（）① 已知其中一個交點，求另一個交點：例5：若拋物線與X軸的一個交點是（－2，0）則另一個交點是（ ）；② 求兩交點A,B線段的長度例6：若拋物線與X軸的交點為A，B，且AB的長度為10，求a③ 利用韋達定理求面積：例7：拋物線與X軸的一個交點是A(3，0），另一個交點是B，且與y軸交于點C， （1）求m的值；（2）求點B的坐標；（3）該二次函數(shù)圖象上有一點D（x，y）（其中x0，y0），使，求點D的坐標。例8：已知如圖，二次函數(shù)與x軸于A,B兩點，若OA:OB=3:1，求mABOxy例9：已知二次函數(shù)的圖像交x軸于A(，0)、B（，0）兩點，交y軸正半軸于點C，且。(1)求此二次函數(shù)的解析式； (2)是否存在過點D(0，)的直線與拋物線交于點M、N,與x軸交于E點，使得M、N關(guān)于點E對稱？若存在，求直線MN的解析式；若不存在，請說明理由。 拋物線ax2＋bx＋c =0與x軸交點及對稱軸之間的關(guān)系；31設(shè)拋物線與x軸的交點為A(，0)和B（，0）則對稱軸為直線，拋物線任縱坐標相等的兩點關(guān)于對稱軸對稱，即若有，則則對稱軸為直線。例10：已知二次函數(shù)的部分圖像如圖所示，則關(guān)于x的一元二次方程的解是 二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系二次函數(shù)與一元二次方程之間的聯(lián)系1. 二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（二次函數(shù)與軸交點情況）：一元二次方程是二次函數(shù)當(dāng)函數(shù)值時的特殊情況.圖象與軸的交點個數(shù)：① 當(dāng)時，圖象與軸交于兩點，其中的是一元二次方程的兩根．這兩點間的距離. ② 當(dāng)時，圖象與軸只有一個交點；③ 當(dāng)時，圖象與軸沒有交點. 當(dāng)時，圖象落在軸的上方，無論為任何實數(shù)，都有； 當(dāng)時，圖象落在軸的下方，無論為任何實數(shù)，都有． 2. 拋物線的圖象與軸一定相交，交點坐標為，； 3. 二次函數(shù)常用解題方法總結(jié)：⑴ 求二次函數(shù)的圖象與軸的交點坐標，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程；例：二次函數(shù)ｙ＝ｘ2－3ｘ＋2與x軸有無交點?若有，請說出交點坐標；若沒有，請說明理由:⑵ 根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)中，的符號，或由二次函數(shù)中，的符號判斷圖象的位置，要數(shù)形結(jié)合；⑶ 二次函數(shù)的圖象關(guān)于對稱軸對稱，可利用這一性質(zhì)，求和已知一點對稱的點坐標，或已知與軸的一個交點坐標，可由對稱性求出另一個交點坐標.總結(jié)： ⑴一元二次方程的實數(shù)根就是對應(yīng)的二次函數(shù)與軸交點的 .⑵二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系如下：（一元二次方程的實數(shù)根記為）二次函數(shù)與一元二次方程 與軸有 個交點 0，方程有 的實數(shù)根是 .與軸有 個交點這個交點是 點 0，方程有 的實數(shù)根是 .與軸有 個交點 0，方程 實數(shù)根.⑶二次函數(shù)與軸交點坐標是 .經(jīng)典例題講解【例1】已知：關(guān)于的方程．⑴求證：取任何實數(shù)時，方程總有實數(shù)根；⑵若二次函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱．①求二次函數(shù)的解析式；②已知一次函數(shù)，證明：在實數(shù)范圍內(nèi)，對于的同一個值，這兩個函數(shù)所對應(yīng)的函數(shù)值均成立；⑶在⑵條件下，若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，且在實數(shù)范圍內(nèi)，對于的同一個值，這三個函數(shù)所對應(yīng)的函數(shù)值，均成立，求二次函數(shù)的解析式．【思路分析】本題是一道典型的從方程轉(zhuǎn)函數(shù)的問題，這是比較常見的關(guān)于一元二次方程與二次函數(shù)的考查方式。由于并未說明該方程是否是一元二次方程，所以需要討論M=0和M≠0兩種情況，然后利用根的判別式去判斷。第二問的第一小問考關(guān)于Y軸對稱的二次函數(shù)的性質(zhì)，即一次項系數(shù)為0，然后求得解析式。第二問加入了一個一次函數(shù)，證明因變量的大小關(guān)系，直接相減即可。事實上這個一次函數(shù)恰好是拋物線的一條切線，只有一個公共點（1，0）。根據(jù)這個信息，第三問的函數(shù)如果要取不等式等號，也必須過該點。于是通過代點，將用只含a的表達式表示出來,再利用,構(gòu)建兩個不等式,最終分析出a為何值時不等式取等號,于是可以得出結(jié)果.【解析】解：（1）分兩種情況：當(dāng)時，原方程化為，解得， （不要遺漏）∴當(dāng)，原方程有實數(shù)根. 當(dāng)時，原方程為關(guān)于的一元二次方程， ∵. ∴原方程有兩個實數(shù)根. （如果上面的方程不是完全平方式該怎樣辦？再來一次根的判定，讓判別式小于0就可以了，不過中考如果不是壓軸題基本判別式都會是完全平方式，大家注意就是了） 綜上所述，取任何實數(shù)時，方程總有實數(shù)根. （2）①∵關(guān)于的二次函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，∴.（關(guān)于Y軸對稱的二次函數(shù)一次項系數(shù)一定為0）∴.∴拋物線的解析式為. ②∵，（判斷大小直接做差）∴（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立）. （3）由②知，當(dāng)時，.∴、的圖象都經(jīng)過. （很重要，要對那個等號有敏銳的感覺）∵對于的同一個值，∴的圖象必經(jīng)過. 又∵經(jīng)過，∴. （巧妙的將表達式化成兩點式，避免繁瑣計算）設(shè).∵對于的同一個值，這三個函數(shù)所對應(yīng)的函數(shù)值均成立，∴，∴.又根據(jù)、的圖象可得 ，∴.（a0時,頂點縱坐標就是函數(shù)的最小值）∴. ∴.而.只有，解得.∴拋物線的解析式為. 【例2】關(guān)于的一元二次方程.（1）當(dāng)為何值時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）點是拋物線上的點，求拋物線的解析式；（3）在（2）的條件下，若點與點關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，是否存在與拋物線只交于點的直線，若存在，請求出直線的解析式；若不存在，請說明理由. 【思路分析】第一問判別式依然要注意二次項系數(shù)不為零這一條件。第二問給點求解析式，比較簡單。值得關(guān)注的是第三問，要注意如果有一次函數(shù)和二次函數(shù)只有一個交點，則需要設(shè)直線y=kx+b以后聯(lián)立，新得到的一元二次方程的根的判別式是否為零，但是這樣還不夠，因為y=kx+b的形式并未包括斜率不存在即垂直于x軸的直線,恰恰這種直線也是和拋物線僅有一個交點,所以需要分情況討論,不要遺漏任何一種可能.【解析】：（1）由題意得 解得 解得 當(dāng)且時，方程有兩個不相等的實數(shù)根. （2）由題意得 解得（舍） (始終牢記二次項系數(shù)不為0) （3）拋物線的對稱軸是 由題意得 (關(guān)于對稱軸對稱的點的性質(zhì)要掌握) 與拋物線有且只有一個交點 (這種情況考試中容易遺漏) 另設(shè)過點的直線（） 把代入，得， 整理得有且只有一個交點， 解得 綜上，與拋物線有且只有一個交點的直線的解析式有，【例3】已知P（)和Q（1，）是拋物線上的兩點．（1）求的值；（2）判斷關(guān)于的一元二次方程=0是否有實數(shù)根，若有，求出它的實數(shù)根；若沒有，請說明理由；（3）將拋
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