初中二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)與練習(xí)題(編輯修改稿)
2024-11-25 18:15 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 （ 2）已知二次函數(shù) y=ax2+bx+c（ a≠ 0）的圖象如圖 2 所示， 則下列結(jié)論：① a、 b 同號(hào)；②當(dāng) x=1和 x=3 時(shí)，函數(shù)值相等；③ 4a+b=0；④當(dāng) y=2 時(shí)， x 的值只能取 中正確的個(gè)數(shù)是（ ） A． 1 個(gè) B． 2 個(gè) C． 3 個(gè) D． 4 個(gè) (1) (2) 8 【點(diǎn)評(píng)】弄清拋物線的位置與系數(shù) a， b， c 之間的關(guān)系，是解決問題的關(guān)鍵． 例 y=ax2+bx+c 的圖象與 x 軸交于點(diǎn) (2， O)、 (x1， 0)，且 1x12，與 y 軸的正半軸的交點(diǎn)在點(diǎn) (O， 2)的下方．下列結(jié)論： ①ab0 ； ②2a+cO ； ③4a+cO ； ④2a b+1O， 其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為 ( ) A 1 個(gè) B. 2 個(gè) C. 3 個(gè) D． 4 個(gè) 答案： D 會(huì)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式 例 ：關(guān)于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=3 的一個(gè)根為 x=2，且二次函數(shù) y=ax2+bx+c 的對(duì)稱軸是直線x=2，則拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ( ) A(2， 3) B.(2， 1) C(2， 3) D． (3， 2) 答案： C 例 （ 2020 年煙臺(tái)市）如圖（單位： m），等腰三角形 ABC以 2 米 /秒的速度沿直線 L 向正方形移動(dòng)，直到AB 與 CD 重合．設(shè) x 秒時(shí)，三角 形與正方形重疊部分的面積為 ym2． （ 1）寫出 y 與 x 的關(guān)系式； （ 2）當(dāng) x=2， 時(shí)， y 分別是多少？ （ 3）當(dāng)重疊部分的面積是正方形面積的一半時(shí)， 三角形移動(dòng)了多長(zhǎng)時(shí)間？求拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)、 對(duì)稱軸 . 例 已知拋物線 y=12 x2+x52 ． （ 1）用配方法求它的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸． （ 2）若該拋物線與 x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)為 A、 B，求線段 AB 的長(zhǎng)． 【點(diǎn)評(píng)】本題（ 1）是對(duì)二次函數(shù)的“基本方法”的考查，第（ 2）問主要 考查二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系． 例 ：二次函數(shù) y=ax2(b+1)x3a的圖象經(jīng)過點(diǎn) P(4， 10)，交 x軸于 )0,( 1xA ， )0,( 2xB 兩點(diǎn) )( 21 xx ? ，交 y 軸負(fù)半軸于 C 點(diǎn)，且滿足 3AO=OB． (1)求二次函數(shù)的解析式； (2)在二次函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn) M，使銳角 ∠MCO∠A CO?若存在，請(qǐng)你求出M 點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍；若不存在，請(qǐng)你說明理由． (1)解：如圖∵拋物 線交 x 軸于點(diǎn) A(x1， 0)， B(x2， O)， 則 x1 x2=30，又∵ x1x2， ∴ x2O， x1O，∵ 30A=OB，∴ x2=3x1． ∴ x1 x2=3x12=3．∴ x12=1. x10，∴ x1=1．∴． x2=3． ∴點(diǎn) A(1， O)， P(4， 10)代入解析式得解得 a=2 b=3 ∴．二次函數(shù)的解析式為 y2x24x6． (2)存在點(diǎn) M 使∠ MC0∠ ACO． (2)解：點(diǎn) A 關(guān)于 y 軸的對(duì)稱點(diǎn) A’ (1， O)， ∴直線 A， C 解析式為 y=6x6 直線 A39。C 與拋物線交點(diǎn)為 (0， 6)， (5， 24)． ∴符合題意的 x 的范圍為 1x0 或 Ox5． 當(dāng)點(diǎn) M 的橫坐標(biāo)滿足 1xO 或 Ox5 時(shí)，∠ MCO∠ ACO． 例 “已知函數(shù) cbxxy ??? 221 的圖象經(jīng)過點(diǎn) A（ c，－ 2）， 求證：這個(gè)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是 x=3。”題目中的矩形框部分是一段被墨水污染了無法辨認(rèn)的文字。 （ 1）根據(jù)已知和結(jié)論中現(xiàn)有的信息，你能否求出題中的二次函數(shù)解析式？若能，請(qǐng)寫出求解過程，并畫出二次 函數(shù)圖象；若不能，請(qǐng)說明理由。 9 （ 2）請(qǐng)你根據(jù)已有的信息，在原題中的矩形框中，填加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件，把原題補(bǔ)充完整。 點(diǎn)評(píng)： 對(duì)于第（ 1）小題，要根據(jù)已知和結(jié)論中現(xiàn)有信息求出題中的二次函數(shù)解析式，就要把原來的結(jié)論“函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是 x=3”當(dāng)作已知來用，再結(jié)合條件“圖象經(jīng)過點(diǎn) A（ c，－ 2）”，就可以列出兩個(gè)方程了，而解析式中只有兩個(gè)未知數(shù)，所以能夠求出題中的二次函數(shù)解析式。對(duì)于第（ 2）小題，只要給出的條件能夠使求出的二次函數(shù)解析式是第（ 1）小題中的解析式就可以了。而從不同的角度考慮可以添加出不同的條件，可以 考慮再給圖象上的一個(gè)任意點(diǎn)的坐標(biāo)，可以給出頂點(diǎn)的坐標(biāo)或與坐標(biāo)軸的一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)等。 [解答 ] （ 1）根據(jù) cbxxy ??? 221的圖象經(jīng)過點(diǎn) A（ c，－ 2），圖象的對(duì)稱軸是 x=3，得??????????????,3212,221 2bcbcc 解得??? ??? .2 ,3cb 所以所求二次函數(shù)解析式為 .2321 2 ??? xxy 圖象如圖所示。 （ 2）在解析式中令 y=0，得 02321 2 ??? xx ，解得 .53,53 21 ???? xx 所以可以填“拋物線與 x 軸的一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)是（ 3+ )0,5 ”或“拋物線與 x 軸的一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)是).0,53( ? 令 x=3 代入解析式，得 ,25??y 所以拋物線 2321 2 ??? xxy 的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ),25,3( ? 所以也可以填拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 )25,3( ? 等等。 函數(shù)主要關(guān)注：通過不同的途徑（圖象、解析式等）了解函數(shù)的 具體特征；借助多種現(xiàn)實(shí)背景理解函數(shù)；將函數(shù)視為“變化過程中變量之間關(guān)系”的數(shù)學(xué)模型；滲透函數(shù)的思想；關(guān)注函數(shù)與相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系。 用二次函數(shù)解決最值問題 例 1 已知邊長(zhǎng)為 4 的正方形截去一個(gè)角后成為五邊形 ABCDE（如圖），其中 AF=2， BF=1．試在 AB 上求一點(diǎn)P，使矩形 PNDM 有最大面積． 【評(píng)析】本題是一道代數(shù)幾何綜合題，把相似三角形與二次函數(shù)的知識(shí)有機(jī)的結(jié)合在一起，能很好考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力．同時(shí)，也給學(xué)生探索解題思路留下了思維空間． 例 2 某產(chǎn)品每件成本 10 元，試銷階段每件產(chǎn)品的銷售價(jià) x（元） 與產(chǎn)品的日銷售量 y（件）之間的關(guān)系如下表： x（元） 15 20 30 ? y（件） 25 20 10 ? 若日銷售量 y 是銷售價(jià) x 的一次函數(shù)． （ 1）求出日銷售量 y（件）與銷售價(jià) x（元）的函數(shù)關(guān)系式； （ 2）要使每日的銷售利潤(rùn)最大，每件產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為多少元？ 此時(shí)每日銷售利潤(rùn)是多少元？ 10 A O x y B O x y C O x y D O x y 【解析】（ 1）設(shè)此一次函數(shù)表達(dá)式為 y=kx+b．則 15 25,2 20kbkb???? ??? 解得 k=1， b=40， 即一次函數(shù)表達(dá)式為 y=x+40． （ 2）設(shè) 每件產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為 x 元，所獲銷售利潤(rùn)為 w 元 w=（ x10）（ 40x） =x2+50x400=（ x25） 2+225． 產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為 25 元，此時(shí)每日獲得最大銷售利潤(rùn)為 225 元． 【點(diǎn)評(píng)】解決最值問題應(yīng)用題的思路與一般應(yīng)用題類似，也有區(qū)別，主要有兩點(diǎn)：（ 1）設(shè)未知數(shù)在“當(dāng)某某為何值時(shí)，什么最大（或最小、最?。钡脑O(shè)問中， “某某”要設(shè)為自變量，“什么”要設(shè)為函數(shù)；（ 2） 問的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程． 例 ?平時(shí)我們?cè)谔罄K時(shí)，繩甩到 最高處的形狀可近似地看為拋物線．如圖所示，正在甩繩的甲、乙兩名學(xué)生拿繩的手間距為 4 m，距地面均為 1m，學(xué)生丙、丁分別站在距甲拿繩的手水平距離 1m、2． 5 m 處．繩子在甩到最高處時(shí)剛好通過他們的頭頂．已知學(xué)生丙的身高是 1． 5 m，則學(xué)生丁的身高為 (建立的平面直角坐標(biāo)系如右圖所示 ) ( ) A． 1． 5 m B． 1． 625 m C． 1． 66 m D． 1． 67 m 分析：本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用 答案： B 二．二次函數(shù)部分 1．如圖所示是二次函數(shù) 2y ax bx c?
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