【正文】 二次函數概念： 1．二次函數的概念 ： 一般地，形如 2y ax bx c? ? ? （ abc， ， 是常數， 0a? ）的函數，叫做二次函數。 這里需要強調：和一元二次方程類似，二次 項系數 0a? ，而 bc， 可以為零．二次函數的定義域是全體實數． 2. 二次函數 2y ax bx c? ? ? 的結構特征： ⑴ 等號左邊是函數，右邊是關于自變量 x 的二次式， x 的最高次數是 2． ⑵ abc， ， 是常數， a 是二次項系數， b 是一次項系數， c 是常數項． 二、二次函數的基本形式 1. 二次函數基本形式： 2y ax? 的性質： a 的絕對值越大，拋物線的開口越小。 2. 2y ax c??的性質： 上加下減。 3. ? ?2y a x h??的性質： 左加右減。 a 的符號 開口方向 頂點坐標 對稱軸 性質 0a? 向上 ? ?00， y 軸 0x?時， y 隨 x 的增大而增大； 0x? 時， y 隨x 的增大而減??； 0x? 時， y 有最小值 0 ． 0a? 向下 ? ?00， y 軸 0x? 時， y 隨 x 的增大而減小； 0x? 時， y 隨x 的增大而增大； 0x? 時， y 有最大值 0 ． a 的符號 開口方向 頂點坐標 對稱軸 性質 0a? 向上 ? ?0c， y 軸 0x?時， y 隨 x 的增大而增大； 0x? 時， y 隨x 的增大而減??； 0x? 時， y 有最小值 c ． 0a? 向下 ? ?0c， y 軸 0x? 時， y 隨 x 的增大而減?。?0x? 時， y 隨x 的增大而增大； 0x? 時， y 有最大值 c ． a 的符號 開口方向 頂點坐標 對稱軸 性質 0a? 向上 ? ?0h， X=h xh?時， y 隨 x 的增大而增大； xh? 時， y 隨x 的增大而減?。?xh? 時， y 有最小值 0 ． 0a? 向下 ? ?0h， X=h xh?時， y 隨 x 的增大而減??； xh? 時， y 隨x 的增大而增大； xh? 時， y 有最大值 0 ． 2 4. ? ?2y a x h k? ? ? 的性質 ： 三、二次函數圖象的平移 1. 平移步驟： 方法一：⑴ 將拋物線解析式轉化成頂點式 ? ?2y a x h k? ? ? ，確定其頂點坐標 ? ?hk， ； ⑵ 保持拋物線 2y ax? 的形狀不變，將其頂點平移到 ? ?hk， 處，具體平移方法如下： 向右 ( h 0 ) 【 或左 ( h 0 ) 】平移 | k | 個單位向上 ( k 0 ) 【 或下 ( k 0 ) 】平移 | k |個單位向右 ( h 0 ) 【 或左 ( h 0 ) 】平移 | k | 個單位向右 ( h 0 ) 【 或左 ( h 0 ) 】平移 | k | 個單位向上 ( k 0 ) 【 或下 ( k 0 ) 】 平移 | k |個單位向上 ( k 0 ) 【 或向下 ( k 0 ) 】 平移 | k |個單位y = a ( x h ) 2 + ky = a ( x h )2y = a x 2 + ky = ax 2 2. 平移規(guī)律 在原有函數的基礎上 “h 值正右移，負左移； k 值正上移，負下移 ”． 概括成八個字“左加右減，上加下減”． 方 法二： ⑴ cbxaxy ??? 2 沿 y 軸平移 :向上（下）平移 m 個單位， cbxaxy ??? 2 變成 mcbxaxy ???? 2 （或 mcbxaxy ???? 2 ） ⑵ cbxaxy ??? 2 沿 x 軸平移：向左（右）平移 m 個單位， cbxaxy ??? 2 變成cmxbmxay ????? )()( 2 （或 cmxbmxay ????? )()( 2 ） 四、二次函數 ? ?2y a x h k? ? ? 與 2y ax bx c? ? ? 的比較 從解析式上看， ? ?2y a x h k? ? ? 與 2y ax bx c? ? ? 是兩種不同的表達形式，后者通過配方可以得到前者，即 2 2424b a c by a x aa???? ? ?????，其中 2424b ac bhkaa?? ? ?，． 五、二次函數 2y ax bx c? ? ? 圖象的畫法 a 的符號 開口方向 頂點坐標 對稱軸 性質 0a? 向上 ? ?hk， X=h xh?時， y 隨 x 的增大而增大； xh? 時， y 隨x 的增大而減?。?xh? 時， y 有最小值 k ． 0a? 向下 ? ?hk， X=h xh? 時， y 隨 x 的增大而減小； xh? 時， y 隨x 的增大而增大； xh? 時， y 有最大值 k ． 3 五點繪圖法：利用配方法將二次函數 2y ax bx c? ? ? 化為頂點式 2()y a x h k? ? ? ， 確定其開口方向、對稱軸及頂點坐標，然后在對稱軸兩側，左右對稱地描點畫圖 .一般我們選取的五點為：頂點、與 y 軸的交點 ? ?0c， 、以及 ? ?0c， 關于對稱軸對稱的點 ? ?2hc， 、與 x 軸的交點 ? ?1 0x， ， ? ?2 0x， （若與 x 軸沒有交點，則取兩組關于對稱軸對稱的點） . 畫草圖時應抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與 x 軸的交點，與 y 軸的交點 . 六、二次函數 2y ax bx c? ? ? 的性質 1. 當 0a? 時，拋物線開口向上，對稱軸為2bx a??，頂點坐標為 2424b ac baa????????，． 當2bx a??時， y 隨 x 的增大而減?。划?bx a??時， y 隨 x 的增大而增大；當2bx a??時， y 有最小值 244ac ba?． 2. 當 0a? 時，拋物線開口向下，對稱軸為2bx a??，頂點坐標為 2424b ac baa????????，．當2bx a??時， y 隨x 的增大而增大；當 2bx a?? 時， y 隨 x 的增大 而減??；當 2bx a?? 時， y 有最大值 24 4ac ba? ． 七、二次函數解析式的表示方法 1. 一般式： 2y ax bx c? ? ? （ a ， b ， c 為常數， 0a? ）； 2. 頂點式： 2()y a x h k? ? ? （ a ， h ， k 為常數， 0a? ）； 3. 兩根式： 12( )( )y a x x x x? ? ?（ 0a? ， 1x ， 2x 是拋物線與 x 軸兩交點的橫坐標） . 注意：任何二次函數的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數都可以寫成交點式，只有拋物線與 x 軸有交點，即 2 40b ac??時，拋物線的解析式才可以用交點式表示．二次函數解析式的這三種形式可以互化 . 八、二次函數的圖象與各項系數之間的關系 1. 二次項系數 a 二次函數 2y ax bx c? ? ? 中， a 作為二次項系數，顯然 0a? ． ⑴ 當 0a? 時，拋物線開口向上， a 的值越大，開口越小，反之 a 的值越小，開口越大； ⑵ 當 0a? 時，拋物線開口向下， a 的值越小，開口越小，反之 a 的值越大，開口越大． 總結起來， a 決定了拋物線開口的大小和方向， a 的正負決定開口方向， a 的大小決定開口的大小． 2. 一次項系數 b 在二次項系數 a 確定的前提下， b 決定了拋物線的對稱軸． ⑴ 在 0a? 的前提下， 當 0b? 時， 02ba??，即拋物線的對稱軸在 y 軸左側； 當 0b? 時， 02ba??，即拋物線的對稱軸就是 y 軸； 當 0b? 時， 02ba??，即拋物線對稱軸在 y 軸的右側． ⑵ 在 0a? 的前提下，結論剛好與上述相反，即 4 當 0b? 時， 02ba??，即拋物線的對稱軸在 y 軸右側； 當 0b? 時， 02ba??，即拋物線的對稱軸就是 y 軸； 當 0b? 時， 02ba??，即拋物線對稱軸在 y 軸的左側． 總結起來， 在 a 確定的前提下， b