[中考數(shù)學(xué)]二次函數(shù)知識點(diǎn)總結(jié)與典型例題(已修改)
2025-10-21 10:25 本頁面
【正文】 二次函數(shù)知識點(diǎn)總結(jié)及典型例題 一、二次函數(shù)的概念和圖像 二次函數(shù)的概念 一般地，如果 )0,(2 ???? acbacbxaxy 是常數(shù)，那么 y 叫做 x 的 二次函數(shù) 。 )0,(2 ???? acbacbxaxy 是常數(shù)，叫做二次函數(shù)的一般式。 二次函數(shù)的圖像 二次函數(shù)的圖像是一條關(guān)于abx 2??對稱的曲線，這條曲線叫 拋物線 。 拋物線的主要特征： ①有開口方向；②有對稱軸；③有頂點(diǎn)。 二次函數(shù)圖像的畫法 五點(diǎn)法： （ 1）先根據(jù)函數(shù)解析式，求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系 中描出頂點(diǎn) M，并用虛線畫出對稱軸 （ 2）求拋物線 cbxaxy ??? 2 與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)： 當(dāng)拋物線與 x 軸有兩個交點(diǎn)時，描出這兩個交點(diǎn) A,B 及拋物線與 y 軸的交點(diǎn) C，再找到點(diǎn) C 的對稱點(diǎn) D。將這五個點(diǎn)按從左到右的順序連接起來，并向上或向下延伸，就得到二次函數(shù)的圖像。 當(dāng)拋物線與 x 軸只有一個交點(diǎn)或無交點(diǎn)時，描出拋物線與 y 軸的交點(diǎn) C 及對稱點(diǎn) D。由 C、 M、 D 三點(diǎn)可粗略地畫出二次函數(shù)的草圖。如果需要畫出比較精確的圖像，可再描出一對對稱點(diǎn) A、 B，然后順次連接五點(diǎn)，畫出二次函數(shù)的圖像。 二、二次函數(shù)的解析 式 二次函數(shù)的解析式有三種形式： （ 1） 一般式： )0,(2 ???? acbacbxaxy 是常數(shù)， （ 2） 頂點(diǎn)式： )0,()( 2 ???? akhakhxay 是常數(shù)， （ 3）當(dāng)拋物線 cbxaxy ??? 2 與 x 軸有交點(diǎn)時，即對應(yīng)二次好方程 02 ??? cbxax有實(shí)根 1x 和 2x 存在時，根據(jù)二次三項式的分解因式 ))(( 212 xxxxacbxax ????? ，二次函數(shù) cbxaxy ??? 2 可轉(zhuǎn)化為 兩根式 ))(( 21 xxxxay ??? 。如果沒有交點(diǎn)，則不能這樣表示。 三 、二次函數(shù)的性質(zhì) 二次函數(shù)的性質(zhì) 函數(shù) 二次函數(shù) )0,(2 ???? acbacbxaxy 是常數(shù)， 圖像 a0 a0 y 0 x y 0 x 性 質(zhì) （ 1）拋物線開口向上，并向上無限延伸； （ 2）對稱軸是 x= ab2? ，頂點(diǎn)坐標(biāo)是 （ ab2? ， abac44 2? ）； （ 3）在對稱軸的左側(cè)，即當(dāng) x ab2? 時， y 隨 x的增大而減??；在對稱軸的右側(cè)，即當(dāng) x ab2?時， y 隨 x的增大而增大，簡記左減右增； （ 4）拋物線有最低點(diǎn)，當(dāng) x= ab2? 時， y 有最小值 ， a bacy 44 2??最小值 （ 1）拋物線開口向下，并向下無限延伸； （ 2）對稱軸是 x= ab2? ，頂點(diǎn)坐標(biāo)是 （ ab2? ， abac44 2? ）； （ 3）在對稱軸的左側(cè)，即當(dāng) x ab2? 時， y隨 x的增大 而增大；在對稱軸的右側(cè)，即當(dāng) x ab2?時， y 隨 x 的增大而減小，簡記左增右減； （ 4）拋物線有最高點(diǎn)，當(dāng) x= ab2? 時， y 有最大值， a bacy 44 2??最大值 二次函數(shù) )0,(2 ???? acbacbxaxy 是常數(shù)，中， cb、a 的含義： a 表示開口方向： a 0 時，拋物線開口向上 a 0 時，拋物線開口向下 b 與對稱軸有關(guān)：對稱軸為 x= ab2? c 表示拋物線與 y 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)：（ 0， c ） 二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系 一元二次方程的解是其對應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與 x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。 因此一元二次方程中的 ac4b2 ??? ，在二次函數(shù)中表示圖像與 x 軸是否有交點(diǎn)。 當(dāng) ? 0 時，圖像與 x 軸有兩個交點(diǎn)； 當(dāng) ? =0 時，圖像 與 x 軸有一個交點(diǎn)； 當(dāng) ? 0 時，圖像與 x 軸沒有交點(diǎn)。 補(bǔ)充： 兩點(diǎn)間距離公式 （當(dāng)遇到?jīng)]有思路的題時，可用此方法拓展思路，以尋
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