二次函數(shù)專題訓練(正方形的存在性問題)含答案(編輯修改稿)
2025-07-20 13:54 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 時F點坐標為（﹣3，﹣）；綜上可知F點的坐標為（﹣1，）或（﹣3，﹣）；（3）如圖2，設對角線MN、PQ交于點O′，∵點M、N關于拋物線對稱軸對稱，且四邊形MPNQ為正方形，∴點P為拋物線對稱軸與x軸的交點，點Q在拋物線的對稱軸上，設Q（2，2n），則M坐標為（2﹣n，n），∵點M在拋物線y=﹣x2+2x+6的圖象上，∴n=﹣（2﹣n）2+2（2﹣n）+6，解得n=﹣1+或n=﹣1﹣，∴滿足條件的點Q有兩個，其坐標分別為（2，﹣2+2）或（2，﹣2﹣2）．3．如圖，已知拋物線y=ax2+bx﹣3過點A（﹣1，0），B（3，0），點M、N為拋物線上的動點，過點M作MD∥y軸，交直線BC于點D，交x軸于點E．過點N作NF⊥x軸，垂足為點F（1）求二次函數(shù)y=ax2+bx﹣3的表達式；（2）若M點是拋物線上對稱軸右側的點，且四邊形MNFE為正方形，求該正方形的面積；（3）若M點是拋物線上對稱軸左側的點，且∠DMN=90176。，MD=MN，請直接寫出點M的橫坐標．【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx﹣3，得：，解得，故該拋物線解析式為：y=x2﹣2x﹣3；（2）由（1）知，拋物線解析式為：y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴該拋物線的對稱軸是x=1，頂點坐標為（1，﹣4）．如圖，設點M坐標為（m，m2﹣2m﹣3），其中m＞1，∴ME=|﹣m2+2m+3|，∵M、N關于x=1對稱，且點M在對稱軸右側，∴點N的橫坐標為2﹣m，∴MN=2m﹣2，∵四邊形MNFE為正方形，∴ME=MN，∴|﹣m2+2m+3|=2m﹣2，分兩種情況：①當﹣m2+2m+3=2m﹣2時，解得：m1=、m2=﹣（不符合題意，舍去），當m=時，正方形的面積為（2﹣2）2=24﹣8；②當﹣m2+2m+3=2﹣2m時，解得：m3=2+，m4=2﹣（不符合題意，舍去），當m=2+時，正方形的面積為[2（2+）﹣2]2=24+8；綜上所述，正方形的面積為24+8或24﹣8．（3）設BC所在直線解析式為y=px+q，把點B（3，0）、C（0，﹣3）代入表達式，得：，解得：，∴直線BC的函數(shù)表達式為y=x﹣3，設點M的坐標為（t，t2﹣2t﹣3），其中t＜1，則點N（2﹣t，t2﹣2t﹣3），點D（t，t﹣3），∴MN=2﹣t﹣t=2﹣2t，MD=|t2﹣2t﹣3﹣t+3|=|t2﹣3t|．∵MD=MN，∴|t2﹣3t|=2﹣2t，分兩種情況：①當t2﹣3t=2﹣2t時，解得t1=﹣1，t2=2（不符合題意，舍去）．②當3t﹣t2=2﹣2t時，解得t3=，t2=（不符合題意，舍去）．綜上所述，點M的橫坐標為﹣1或．4.(2015 貴州省畢節(jié)地區(qū)) 如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，頂點M關于x軸的對稱點是M′．（1）求拋物線的解析式；（2）若直線AM′與此拋物線的另一個交點為C，求△CAB的面積；（3）是否存在過A，B兩點的拋物線，其頂點P關于x軸的對稱點為Q，使得四邊形APBQ為正方形？若存在，求出此拋物線的解析式；若不存在，請說明理由．分析： （1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；（2）根據(jù)軸對稱，可得M′的坐標，根據(jù)待定系數(shù)法，可得AM′的解析式，根據(jù)解方程組，可得B點坐標，根據(jù)三角形的面積公式，可得答案；（3）根據(jù)正方形的性質，可得P、Q點坐標，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式．解
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