【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 51 頁(yè)） 第 2n 個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為 22n﹣ 1，第 2n﹣ 1 個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為 22n﹣ 2， Sn= ?22n﹣ 2?22n﹣ 2=24n﹣ 5． 故答案為： 24n﹣ 5． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形的面積，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，依次求出各正方形的邊長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于求出陰影 Sn 所在的正方形和正方形的邊長(zhǎng)． 11．如圖，點(diǎn) G 是正方形 ABCD 對(duì)角線 CA 的延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)，以線段 AG 為邊作一個(gè)正方形 AEFG，線段 EB 和 GD 相交于點(diǎn) H．若 AB= ， AG=1，則 EB= ． 【考 點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理． 【專(zhuān)題】幾何圖形問(wèn)題． 【分析】首先連接 BD 交 AC 于 O，由四邊形 ABCD、 AGFE 是正方形，即可得 AB=AD， AE=AG， ∠ DAB=∠ EAG，然后利用 SAS 即可證得 △ EAB≌△ GAD，則可得 EB=GD，然后在 Rt△ ODG 中，利用勾股定理即可求得 GD 的長(zhǎng)，繼而可得 EB 的長(zhǎng)． 【解答】解：連接 BD 交 AC 于 O， ∵ 四邊形 ABCD、 AGFE 是正方形， ∴ AB=AD， AE=AG， ∠ DAB=∠ EAG， ∴∠ EAB=∠ GAD， 在 △ AEB 和 △ AGD 中， 第 22 頁(yè)（共 51 頁(yè)） ， ∴△ EAB≌△ GAD（ SAS）， ∴ EB=GD， ∵ 四邊形 ABCD 是正方形， AB= ， ∴ BD⊥ AC， AC=BD= AB=2， ∴∠ DOG=90176。， OA=OD= BD=1， ∵ AG=1， ∴ OG=OA+AG=2， ∴ GD= = ， ∴ EB= ． 故答案為： ． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意掌握輔助線的作法． 12．（ 2022?齊齊哈爾）已知正方形 ABCD 的邊長(zhǎng)為 2cm，以 CD 為邊作等邊三角形 CDE，則 △ ABE 的面積為 （ 2+ ）或（ 2﹣ ） cm2． 【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)． 【專(zhuān)題】分類(lèi)討論． 【分析】作出圖形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出點(diǎn) E 到 CD 的距離，從而得到點(diǎn) E 到 AB 的距離，再利用三角形的面積公式列式計(jì)算即可得解． 【解答】解：如圖， ∵△ CDE 是等邊三角形， ∴ 點(diǎn) E 到 CD 的距離為 2 = cm， ∴ 點(diǎn) E 到 AB 的距離 =2+ cm 或 2﹣ cm， 第 23 頁(yè)（共 51 頁(yè)） ∴△ ABE 的面積 = 2 （ 2+ ） =2+ cm2， 或 △ ABE 的面積 = 2 （ 2﹣ ） =2﹣ cm2． 故答案為：（ 2+ ）或（ 2﹣ ）． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查 了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并求出點(diǎn) E 到 AB 邊的距離是解題的關(guān)鍵，易錯(cuò)點(diǎn)在于點(diǎn) E 的位置不確定要分情況討論，作出圖形更形象直觀． 13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) A 和點(diǎn) B 分別在 x 軸和 y 軸的正半軸上， OA=OB=a，以線段 AB 為邊在第一象限作正方形 ABCD， CD 的延長(zhǎng)線交 x 軸于點(diǎn) E，再以 CE 為邊作第二個(gè)正方形 ECGF， …，依此方法作下去，則第 n 個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是 a?2n﹣ 1 ． 【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；等腰直角三角形． 【專(zhuān)題】規(guī)律型． 【分析】判斷出 △ AOB 是等腰直角 三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出第一個(gè)正方形的邊長(zhǎng) AB，然后判斷出 △ ADE 是等腰直角三角形，再求出 AD=DE，從而求出第二個(gè)正方形的邊長(zhǎng)等于第一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)的 2 倍，同理可得后一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)等于前一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)的 2 倍，然后求解即可． 【解答】解： ∵ OA=OB， ∴△ AOB 是等腰直角三角形， ∴ 第一個(gè)正方形的邊長(zhǎng) AB= a， ∠ OAB=45176。， ∴∠ DAE=180176。﹣ 45176。﹣ 90176。=45176。， ∴△ ADE 是等腰直角三角形， ∴ AD=DE， ∴ 第二個(gè)正方形的邊長(zhǎng) CE=CD+DE=2AB， 第 24 頁(yè)（共 51 頁(yè)） …， 后一個(gè)正方 形的邊長(zhǎng)等于前一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)的 2 倍， 所以，第 n 個(gè)正方形的邊長(zhǎng) =2n﹣ 1AB= a?2n﹣ 1． 故答案為： a?2n﹣ 1． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，判斷出后一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)等于前一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)的 2 倍是解題的關(guān)鍵． 14．如圖，正方形 ABCD 的邊長(zhǎng)是 1，點(diǎn) M， N 分別在 BC， CD 上，使得 △ CMN 的周長(zhǎng)為 2，則 △ MAN的面積最小值為 ﹣ 1 ． 【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；二次函數(shù)的最值；全等三角形的判定與性質(zhì)． 【專(zhuān)題】幾何圖形問(wèn)題． 【分析】如圖，延長(zhǎng) CB 至 L，使 BL=DN，則 Rt△ ABL≌ Rt△ AND，故 AL=AN，進(jìn)而求證 △ AMN≌△AML，即可求得 ∠ MAN=∠ MAL=45176。設(shè) CM=x， CN=y， MN=z，根據(jù) x2+y2=z2，和 x+y+z=2，整理根據(jù) △=4（ z﹣ 2） 2﹣ 32（ 1﹣ z） ≥ 0 可以解題． 【解答】解：延長(zhǎng) CB 至 L，使 BL=DN， 則 Rt△ ABL≌ Rt△ ADN， 故 AL=AN， ∵ CM+CN+MN=2， CN+DN+CM+BM=1+1=2， ∴ MN=DN+BM=BL+BM=ML， ∴△ AMN≌△ AML（ SSS）， 設(shè) CM=x， CN=y， MN=z x2+y2=z2， ∵ x+y+z=2， 則 x=2﹣ y﹣ z ∴ （ 2﹣ y﹣ z） 2+y2=z2， 整理得 2y2+（ 2z﹣ 4） y+（ 4﹣ 4z） =0， 第 25 頁(yè)（共 51 頁(yè)） ∴△ =4（ z﹣ 2） 2﹣ 32（ 1﹣ z） ≥ 0， 即（ z+2﹣ 2 ）（ z+2+2 ） ≥ 0， 又 ∵ z＞ 0， ∴ z≥ 2 ﹣ 2 此時(shí) S△ AMN=S△ AML= ML?AB= z 因此，當(dāng) z=2 ﹣ 2， S△ AMN 取到最小值為 ﹣ 1． 故答案為： ﹣ 1． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理在直角三角形中的應(yīng)用，考查了正方形各邊相等，各內(nèi)角是直角的性質(zhì)，本題求證三角形全等是解題的關(guān)鍵． 15．（ 2022?哈爾濱）如圖，在正方形 ABCD 中， AC 為對(duì)角線，點(diǎn) E 在 AB 邊上， EF⊥ AC 于點(diǎn) F，連接EC， AF=3， △ EFC 的周長(zhǎng)為 12，則 EC 的長(zhǎng)為 5 ． 【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；勾股定理；等腰直角三角形． 【專(zhuān)題】幾何圖形問(wèn)題． 【分析】由四邊形 ABCD 是正方形， AC 為對(duì)角線，得出 ∠ EAF=45176。，又因?yàn)?EF⊥ AC，得到 ∠ AFE=90176。得出 EF=AF=3，由 △ EFC 的周長(zhǎng)為 12，得出線段 FC=12﹣ 3﹣ EC=9﹣ EC，在 Rt△ EFC 中，運(yùn)用勾股定理EC2=EF2+FC2，求出 EC=5． 【解答】解： ∵ 四 邊形 ABCD 是正方形， AC 為對(duì)角線， ∴∠ EAF=45176。， 又 ∵ EF⊥ AC， 第 26 頁(yè)（共 51 頁(yè)） ∴∠ AFE=90176。， ∠ AEF=45176。， ∴ EF=AF=3， ∵△ EFC 的周長(zhǎng)為 12， ∴ FC=12﹣ 3﹣ EC=9﹣ EC， 在 Rt△ EFC 中， EC2=EF2+FC2， ∴ EC2=9+（ 9﹣ EC） 2， 解得 EC=5． 故答案為： 5． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正方形的性質(zhì)及等腰直角三角形，解題的關(guān)鍵是找出線段的關(guān)系．運(yùn)用勾股定理列出方程． 三、解答題（共 15 小題） 16．如圖，在正方形 ABCD 中，點(diǎn) M 是對(duì)角線 BD 上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) M 作 ME∥ CD 交 BC 于點(diǎn) E，作 MF∥ BC 交 CD 于點(diǎn) F．求證： AM=EF． 【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；矩形的判定與性質(zhì)． 【專(zhuān)題】證明題． 【分析】過(guò) M 點(diǎn)作 MQ⊥ AD，垂足為 Q，作 MP 垂足 AB，垂足為 P，根據(jù)題干條件證明出 AP=MF， PM=ME，進(jìn)而證明 △ APM≌△ FME，即可證明出 AM=EF． 【解答】證明：過(guò) M 點(diǎn)作 MQ⊥ AD，垂足為 Q，作 MP⊥ AB，垂足為 P， ∵ 四邊形 ABCD 是正方形， 第 27 頁(yè)（共 51 頁(yè)） ∴ 四邊形 MFDQ 和四邊形 PBEM 是正方形，四邊形 APMQ 是矩形， ∴ AP=QM=DF=MF， PM=PB=ME， ∵ 在 △ APM 和 △ FME 中， ， ∴△ APM≌△ FME（ SAS）， ∴ AM=EF． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正方形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定定理以及矩形的性質(zhì)等知識(shí)，此題正確作出輔助線很易解答． 17．如圖， P 為正方形 ABCD 的邊 AD 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)， AE⊥ BP， CF⊥ BP，垂足分別為點(diǎn) E、 F，已知 AD=4． （ 1）試說(shuō)明 AE2+CF2 的值是一個(gè)常數(shù)； （ 2）過(guò)點(diǎn) P 作 PM∥ FC 交 CD 于點(diǎn) M，點(diǎn) P 在何位置時(shí)線段 DM 最長(zhǎng)，并求出此時(shí) DM 的值． 【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì) ；二次函數(shù)的最值；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】（ 1）由已知 ∠ AEB=∠ BFC=90176。， AB=BC，結(jié)合 ∠ ABE=∠ BCF，證明 △ ABE≌△ BCF，可得 AE=BF，于是 AE2+CF2=BF2+CF2=BC2=16 為常數(shù)； （ 2）設(shè) AP=x，則 PD=4﹣ x，由已知 ∠ DPM=∠ PAE=∠ ABP， △ PDM∽△ BAP，列出關(guān)于 x 的一元二次函數(shù)，求出 DM 的最大值． 【解答】解：（ 1）由已知 ∠ AEB=∠ BFC=90176。， AB=BC， 第 28 頁(yè)（共 51 頁(yè)） 又 ∵∠ ABE+∠ FBC=∠ BCF+∠ FBC， ∴∠ ABE=∠ BCF， ∵ 在 △ ABE 和 △ BCF 中， ， ∴△ ABE≌△ BCF（ AAS）， ∴ AE=BF， ∴ AE2+CF2=BF2+CF2=BC2=16 為常數(shù)； （ 2）設(shè) AP=x，則 PD=4﹣ x， 由已知 ∠ DPM=∠ PAE=∠ ABP， ∴△ PDM∽△ BAP， ∴ = ， 即 = ， ∴ DM= =x﹣ x2， 當(dāng) x=2 時(shí)，即點(diǎn) P 是 AD 的中點(diǎn)時(shí)， DM 有最大值為 1． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正方形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定定理以及三角形相似等知識(shí)，此題有一定的難度，是一道不錯(cuò)的中考試題． 18．如圖正方形 ABCD 的邊長(zhǎng)為 4， E、 F 分別為 DC、 BC 中點(diǎn)． （ 1）求證： △ ADE≌△ ABF． （ 2）求 △ AEF 的面積． 【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)． 【專(zhuān)題】幾何圖形問(wèn)題． 第 29 頁(yè)（共 51 頁(yè)） 【分析】（ 1）由四邊形 ABCD 為正方形，得到 AB=AD， ∠ B=∠ D=90176。， DC=CB，由 E、 F 分別為 DC、BC 中點(diǎn)，得出 DE=BF，進(jìn)而證明出兩三角形全等； （ 2）首先求出 DE 和 CE 的長(zhǎng)度，再根據(jù) S△ AEF=S 正方形 ABCD﹣ S△ ADE﹣ S△ ABF﹣ S△ CEF 得出結(jié)果． 【解答】（ 1）證明： ∵ 四邊形 ABCD 為正方形， ∴ AB=AD， ∠ D=∠ B=90176。， DC=CB， ∵ E、 F 為 DC、 BC 中點(diǎn)， ∴ DE= DC， BF= BC， ∴ DE=BF， 在 △ ADE 和 △ ABF 中， ， ∴△ ADE≌△ ABF（ SAS）； （ 2）解：由題知 △ ABF、 △ ADE、 △ CEF 均為直角三角形， 且 AB=AD=4， DE=BF= 4=2， CE=CF= 4=2， ∴ S△ AEF=S 正方形 ABCD﹣ S△ ADE﹣ S△ ABF﹣ S△ CEF =4 4﹣ 4 2﹣ 4 2﹣ 2 2 =6． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正方形的性質(zhì)和全等三角形的證明 ，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定定理，此題難度不大． 19．如圖 1，在正方形 ABCD 中， E、 F 分別是邊 AD、 DC 上的點(diǎn)，且 AF⊥ BE． （ 1）求證： AF=BE； （ 2）如圖 2，在正方形 ABCD 中， M、 N、 P、 Q 分別是邊 AB、 BC、 CD、 DA 上的點(diǎn)，且 MP⊥ NQ． MP與 NQ 是否相等？并說(shuō)明理由． 第 30 頁(yè)（共 51 頁(yè)） 【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)． 【專(zhuān)題】證明題．