【正文】 （共 51 頁） 【分析】（ 1）根據(jù)角平分線的定義求出 ∠ CBM=∠ CDN=45176。 ∴∠ GCF=∠ GCE=45176。 ∴ FD=DP． ∵ CD=2PC， ∴ DP=CP， ∴ FD=CP． 在 △ BCP 與 △ CDF 中， 第 42 頁（共 51 頁） ， ∴△ BCP≌△ CDF（ SAS）． ∴∠ FCD=∠ CBP， ∵∠ CBP+∠ BPC=90176。再根據(jù)同角的余角相等求出 ∠ AOE=∠ OBG，然后利用 “角角邊 ”證明 △ AOE 和 △ OBG 全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得 OG=AE， OE=BG，再根據(jù) AF﹣ EF=AE，整理即可得證；選擇圖 3 同理可證． 【解答】（ 1）證明：如圖，過點(diǎn) B 作 BG⊥ OE 于 G， 第 39 頁（共 51 頁） 則四邊形 BGEF 是矩形， ∴ EF=BG， BF=GE， 在正方形 ABCD 中， OA=OB， ∠ AOB=90176。 ∴∠ AOC+∠ COD=∠ DOF+∠ COD， 即 ∠ AOD=∠ COF， 在 △ AOD 和 △ COF 中， ， ∴△ AOD≌△ COF（ SAS）， 第 34 頁（共 51 頁） ∴ AD=CF； （ 2）與（ 1）同理求出 CF=AD， 如圖，連接 DF 交 OE 于 G，則 DF⊥ OE， DG=OG= OE， ∵ 正方形 ODEF 的邊長為 ， ∴ OE= OD= =2， ∴ DG=OG= OE= 2=1， ∴ AG=AO+OG=3+1=4， 在 Rt△ ADG 中， AD= = = ， ∴ CF=AD= ． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角，對(duì)角線相等且互相垂直平分是解題的關(guān)鍵，（ 2）作輔助線構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵． 22．如圖，在邊長為 3 的正方形 ABCD 中，點(diǎn) E 是 BC 邊上的點(diǎn)， BE=1， ∠ AEP=90176。 DC=CB，由 E、 F 分別為 DC、BC 中點(diǎn)，得出 DE=BF，進(jìn)而證明出兩三角形全等； （ 2）首先求出 DE 和 CE 的長度，再根據(jù) S△ AEF=S 正方形 ABCD﹣ S△ ADE﹣ S△ ABF﹣ S△ CEF 得出結(jié)果． 【解答】（ 1）證明： ∵ 四邊形 ABCD 為正方形， ∴ AB=AD， ∠ D=∠ B=90176。從而得到直線與正方形的邊圍成的三角形是等腰直角三角形，再根據(jù)點(diǎn) A 的坐標(biāo)求出正方形的邊長并得到變化規(guī)律表示出第 n 個(gè)正方形的邊長，然后根據(jù)陰影部分的面積等于一個(gè)等腰直角三角形的 面積加上梯形的面積再減去一個(gè)直角三角形的面積列式求解并根據(jù)結(jié)果的規(guī)律解答即可． 【解答】解： ∵ 函數(shù) y=x 與 x 軸的夾角為 45176。﹣ 60176。﹣ 45176。 ∠ DCE=30176。 ∴∠ DTG=180176。 △ CGF 不是等邊三角形， FG≠ FC，判斷 ②錯(cuò)誤；先求出 △CGE 的面積，再求出 EF： FG，然后根據(jù)等高的三角形的面積的比等于底邊長的比求解即可得到 △ FGC 的面積，判斷 ③正確． 【解答】解： ∵ 正方形 ABCD 中， AB=3， CD=3DE， ∴ DE= 3=1， CE=3﹣ 1=2， ∵△ ADE 沿 AE 對(duì)折至 △ AFE， ∴ AD=AF， EF=DE=1， ∠ AFE=∠ D=90176。 ∴∠ BAE+∠ DAF=90176。 ∴ EF=AF=3， ∵△ EFC 的周長為 12， ∴ FC=12﹣ 3﹣ EC=9﹣ EC， 在 Rt△ EFC 中， EC2=EF2+FC2， ∴ EC2=9+（ 9﹣ EC） 2， 解得 EC=5． 故答案為： 5． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正方形的性質(zhì)及等腰直角三角形，解題的關(guān)鍵是找出線段的關(guān)系．運(yùn)用勾股定理列出方程． 三、解答題（共 15 小題） 16．如圖，在正方形 ABCD 中，點(diǎn) M 是對(duì)角線 BD 上的一點(diǎn)，過點(diǎn) M 作 ME∥ CD 交 BC 于點(diǎn) E，作 MF∥ BC 交 CD 于點(diǎn) F．求證： AM=EF． 【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；矩形的判定與性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】過 M 點(diǎn)作 MQ⊥ AD，垂足為 Q，作 MP 垂足 AB，垂足為 P，根據(jù)題干條件證明出 AP=MF， PM=ME，進(jìn)而證明 △ APM≌△ FME，即可證明出 AM=EF． 【解答】證明：過 M 點(diǎn)作 MQ⊥ AD，垂足為 Q，作 MP⊥ AB，垂足為 P， ∵ 四邊形 ABCD 是正方形， 第 27 頁（共 51 頁） ∴ 四邊形 MFDQ 和四邊形 PBEM 是正方形，四邊形 APMQ 是矩形， ∴ AP=QM=DF=MF， PM=PB=ME， ∵ 在 △ APM 和 △ FME 中， ， ∴△ APM≌△ FME（ SAS）， ∴ AM=EF． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正方形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定定理以及矩形的性質(zhì)等知識(shí)，此題正確作出輔助線很易解答． 17．如圖， P 為正方形 ABCD 的邊 AD 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)， AE⊥ BP， CF⊥ BP，垂足分別為點(diǎn) E、 F，已知 AD=4． （ 1）試說明 AE2+CF2 的值是一個(gè)常數(shù)； （ 2）過點(diǎn) P 作 PM∥ FC 交 CD 于點(diǎn) M，點(diǎn) P 在何位置時(shí)線段 DM 最長，并求出此時(shí) DM 的值． 【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì) ；二次函數(shù)的最值；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】（ 1）由已知 ∠ AEB=∠ BFC=90176。 ∴∠ DPE=58176。 ∠ 3+∠ ABH=∠ ABC=90176。 ∴∠ CPE=45176。又 ∠ GCE=45176。求出 ∠ BAM+∠ NAD=45176。 ∵ CF⊥ DE， ∴∠ CFD=∠ CFG=90176。 ∴∠ AOE+∠ AOG=90176。 ∴∠ ECP=135176。 ∵ AF⊥ BE， 第 31 頁（共 51 頁） ∴∠ ABE+∠ BAF=90176。 ∴△ ADE 是等腰直角三角形， ∴ AD=DE， ∴ 第二個(gè)正方形的邊長 CE=CD+DE=2AB， 第 24 頁（共 51 頁） …， 后一個(gè)正方 形的邊長等于前一個(gè)正方形的邊長的 2 倍， 所以，第 n 個(gè)正方形的邊長 =2n﹣ 1AB= a?2n﹣ 1． 故答案為： a?2n﹣ 1． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，判斷出后一個(gè)正方形的邊長等于前一個(gè)正方形的邊長的 2 倍是解題的關(guān)鍵． 14．如圖，正方形 ABCD 的邊長是 1，點(diǎn) M， N 分別在 BC， CD 上，使得 △ CMN 的周長為 2，則 △ MAN的面積最小值為 ﹣ 1 ． 【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；二次函數(shù)的最值；全等三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】幾何圖形問題． 【分析】如圖，延長 CB 至 L，使 BL=DN，則 Rt△ ABL≌ Rt△ AND，故 AL=AN，進(jìn)而求證 △ AMN≌△AML，即可求得 ∠ MAN=∠ MAL=45176。 ∴ 四邊形 OMEN 是矩形， ∴∠ MON=90176。然后判定△ BDE 是等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出 ∠ BDE=60176。再求出 ∠ GDT=45176。到 DC′處，連接 AC′， BC′， CC′，寫出圖中所有的等腰三角形，并寫出推理過程． 第 10 頁（共 51 頁） 浙江省衢州市 2022 年中考數(shù)（浙教版）專題訓(xùn)練（二）：正方形 參考答案與試題解析 一、選擇題（共 9 小題） 1．如圖，邊長分別為 4 和 8 的兩個(gè)正方形 ABCD 和 CEFG 并排放在一起，連結(jié) BD 并延長交 EG 于點(diǎn) T，交 FG 于點(diǎn) P，則 GT=（ ） A． B． 2 C． 2 D． 1 【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)． 【專題】壓軸題． 【分析】根據(jù)正方形的對(duì)角線平分一組對(duì)角可得 ∠ ADB=∠ CGE=45176。 ∴∠ 1=∠ 2， 在 Rt△ ABE 中， AE＞ AB， ∵ 四邊形 AEFG 是正方形， ∴ AE=AG， ∴ AG＞ AB， ∴∠ 3＞∠ 4． 故選 D． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的四條邊都相等，每一個(gè)角都是直角的性質(zhì)，同角的余角相等的性質(zhì)，要注意在同一個(gè)三角形中，較長的邊所對(duì)的角大于較短的邊所對(duì)的角的應(yīng)用． 3．附圖為正三角形 ABC 與正方形 DEFG 的重疊情形，其中 D、 E 兩點(diǎn)分別在 AB、 BC 上，且 BD=BE．若AC=18， GF=6，則 F 點(diǎn)到 AC 的距離為何？（ ） 第 12 頁（共 51 頁） A． 2 B． 3 C． 12﹣ 4 D． 6 ﹣ 6 【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)． 【分析】過點(diǎn) B 作 BH⊥ AC 于 H，交 GF 于 K，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出 ∠ A=∠ ABC=60176。角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可得 DE= CD，再利用勾股定理列式求出 CE，根據(jù)正方形的性質(zhì)求出 OC=OD= a，然后利用四邊形 OCED 的面積列出方程求出 a2，再根據(jù) 正方形的面積公式列式計(jì)算即可得解． 【解答】解：如圖，過點(diǎn) O 作 OM⊥ CE 于 M，作 ON⊥ DE 交 ED 的延長線于 N， 第 17 頁（共 51 頁） ∵∠ CED=90176。=45176。 ∴∠ DAF+∠ BAF=90176。 ∵ CP 平分外角， ∴∠ DCP=45176。 ∴∠ AOE=∠ OBG， ∵ 在 △ AOE 和 △ OBG 中， ， ∴△ AOE≌△ OBG（ AAS）， ∴ OG=AE， OE=BG， ∵ AF﹣ EF=AE， EF=BG=OE， AE=OG=OE+GE=OE+BF， ∴ AF﹣ OE=OE+BF， ∴ AF﹣ BF=2OE； 若選圖 3，其證明方法同上． 作 OG⊥ BF 于 G， 則四邊形 EFGO 是矩形， ∴ EF=GO， GF=EO， ∠ GOE=90176。從而得到 ∠ AGD=∠ CFD，再根據(jù)同角的余角相等求出 ∠ ADG=∠ DCF，然后利用 “角角邊 ”證明 △ DCF 和 △ ADG 全等即可； （ 2）設(shè)正方形 ABCD 的邊長為 2a，表示出 AE，再利用勾股定理列式求出 DE，然后根據(jù)銳角的正弦等于對(duì)邊比斜邊求出 ∠ ADG 的正弦，即為 α的正弦． 【解答】（ 1）證明：在正方形 ABCD 中， AD=DC， ∠ ADC=90176。然后根據(jù)正方形的每一個(gè)角都是 90176。所以可得 ∠GCE=∠ GCF，故可證得 △ ECG≌△ FCG，即 EG=FG=GD+DF．又因?yàn)?DF=BE，所以可證出 GE=BE+GD成立． 【解答】（ 1）證明：在正方形 ABCD 中， ∵ ， ∴△ CBE≌△ CDF（ SAS）． ∴ CE=CF． （ 2）解： GE=BE+GD 成立． 理由是： ∵ 由（ 1）得： △ CBE≌△ CDF， ∴∠ BCE=∠ DCF， ∴∠ BCE+∠ ECD=∠ DCF+∠ ECD，即 ∠ ECF=∠ BCD=90176。 ∴∠ FPD=∠ CPE=45176。 第 38 頁（共 51 頁） ∴∠ ABH=∠ CDE． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等角或同角的余角相等的性質(zhì)，本題難點(diǎn)在于兩次證明三角形全等，用阿拉伯?dāng)?shù)字加弧線表示角可以更形象直觀． 24．正方形 ABCD 的頂點(diǎn) A 在直線 MN 上，點(diǎn) O 是對(duì)角線 AC、 BD 的交點(diǎn)，過點(diǎn) O 作 OE⊥ MN 于點(diǎn) E，過點(diǎn) B 作 BF⊥ MN 于點(diǎn) F． （ 1）如圖 1，當(dāng) O、 B 兩點(diǎn)均在直線 MN 上方時(shí)，易證： AF+BF=2OE（不需證明） （ 2）當(dāng)正方形 ABCD 繞點(diǎn) A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖 圖 3 的位置時(shí)，線段 AF、 BF、 OE 之間又有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)直接寫 出你的猜想，并選擇一種情況給予證明． 【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；矩形的性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】（ 1）過點(diǎn) B 作 BG⊥ OE 于 G，可得四邊形 BGEF 是矩形，根據(jù)矩形的對(duì)邊相等可得 EF=BG，BF=GE，根據(jù)正方形的對(duì)角線相等且互相垂直平分可得 OA=OB， ∠ AOB=90176。． 故答案為： 58． 第 33 頁（共 51 頁） 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等邊對(duì)等角的性質(zhì)，熟記正方形的性質(zhì)確定出 ∠ BCP=∠ DCP 是解題的關(guān)鍵． 21．在數(shù)學(xué)活動(dòng)課中，小輝將邊長為 和 3 的兩個(gè)正方形放置在直線 l 上，如圖 1，他連結(jié) AD、 CF，經(jīng)測(cè)量發(fā)現(xiàn) AD=CF． （ 1）他將正方形 ODEF 繞