基與維數(shù)的幾種求法(編輯修改稿)
2025-07-19 02:09 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 項(xiàng)式所構(gòu)成的線性空間的一組基，證明為這空間的一組基。證明 則解得于是線性無(wú)關(guān)，它們皆可由線性表示，因此與等價(jià)，從而中任意多項(xiàng)式皆可由線性表示，故為的基。方法六 利用下面兩個(gè)定理：定理一：對(duì)矩陣施行行初等變換和列變換，不改變矩陣列向量間的線性關(guān)系。定理二：任何一個(gè)矩陣，總可以通過(guò)行初等變換和列變換它為標(biāo)準(zhǔn)階梯矩陣：，其中表示階單位矩陣。依據(jù)這兩個(gè)定理，我們可以很方便地求出的一個(gè)基，從而確定了維數(shù)。例7 設(shè)是數(shù)域上四維線性空間的子空間，且求的一個(gè)基與維數(shù)。解 若，則存在，使……（1）即有……（2）若線性無(wú)關(guān)，（2）僅當(dāng)時(shí)成立那么是零子空間，因而沒有基，此時(shí)維數(shù)為，是直和若存在不全為零的數(shù)使（2）成立，則有可能是非零子空間若為非零子空間，由（1）便可得到基向量。以為列向量作矩陣，經(jīng)行初等變換將化為標(biāo)準(zhǔn)階梯形矩陣。是的一個(gè)基同時(shí)知，是的一個(gè)基，是的一個(gè)基，是的一個(gè)基，方法七 在線性空間中任取一向量，將其表成線性空間一線性無(wú)關(guān)向量組的線性組
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