極限的存在性、求法、應(yīng)用與推廣(編輯修改稿)
2025-07-21 02:43 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 證明 由平均值不等式故有下界。 此外由可得，故為遞減數(shù)列。 由單調(diào)性定理，收斂，記， 對(duì)遞推式兩邊取極限，得，即。小結(jié)：定理只適合用于判別單調(diào)數(shù)列的收斂性，有很大的局限性。但對(duì)于遞推數(shù)列此方法還是較為有效的。利用此定理解題，往往先用其證明極限存在，再設(shè)出極限，利用關(guān)系式求出極限。（五）利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件求數(shù)列極限。例求極限解 考察級(jí)數(shù)，令，則 ，故級(jí)數(shù)收斂，小結(jié)：當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí)，必有，對(duì)比較復(fù)雜的借助級(jí)數(shù)收斂求極限有時(shí)比較容易。但這種方法的局限性很大，只能用于極限為0的情況且需要計(jì)算另一個(gè)極限。四、數(shù)列極限在購(gòu)房按揭貸款分期償還問(wèn)題中的應(yīng)用。例設(shè)按揭貸款額為，月利率為，每月償還額為（常數(shù)），則第個(gè)月的欠款為。（1）求（2）求出每月償還額，使在個(gè)月后正好償還清全部按揭貸款本息。解?。?）由此可以遞推的導(dǎo)出：從而得到（2）從式可以看出，若每月償還額，則欠款額將越來(lái)越大，在此情況下貸款永遠(yuǎn)還不清。若，則欠款恒為常數(shù)，仍然是還不清的。只有當(dāng)時(shí)，由于，必存在，使，即在個(gè)月后可還清貸款本息。令，則由式得，解得：Ⅱ、函數(shù)極限一、函數(shù)極限的概念（一）趨于時(shí)函數(shù)的極限 設(shè)為定義在上的函數(shù)，為常數(shù)。若對(duì)任給的，存在正數(shù)，有，則稱函數(shù)當(dāng)趨于時(shí)以為極限，記作：或。（二）趨于時(shí)函數(shù)的極限 設(shè)為定義在上的函數(shù)，為常數(shù)。若對(duì)任給的，存在正數(shù)，時(shí)有，則稱函數(shù)當(dāng)趨于時(shí)以為極限，記作：或。注：若為定義在上的函數(shù)則（三）趨于時(shí)函數(shù)的極限（函數(shù)極限的定義） 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)空心鄰域內(nèi)有定義，為常數(shù)。若對(duì)任給的，存在正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)有，則稱函數(shù)當(dāng)趨于時(shí)以為極限。記作：或。（四）趨于時(shí)的左右極限 設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義，為常數(shù)。若對(duì)任給的，存在正數(shù)，是使得當(dāng)時(shí)有，則稱數(shù)為函數(shù)當(dāng)趨于時(shí)的左右極限，記作：或。右極限與左極限稱為單側(cè)極限。在點(diǎn)的右極限與左極限又分別記為：與注：函數(shù)極限與相應(yīng)的左、右極限之間的關(guān)系：二、函數(shù)極限的性質(zhì)上面共敘述了六種類型的函數(shù)極限，下面以為代表來(lái)敘述函數(shù)極限的性質(zhì)。惟一性：若極限存在，則此極限是惟一的。局部有界性：表述一：若存在則在的某個(gè)空心鄰域內(nèi)有界表述二：若，則有。局部保號(hào)性：表述一：若，則對(duì)任何正數(shù)存在，使得對(duì)一切有。表述二：若，且，則，有。保不等式性：設(shè)與都存在，且在某鄰域內(nèi)有，則。保序性：表述一：若與，且，則，有。表述二：若與，且，有，則。迫斂性：設(shè)，且在某鄰域內(nèi)有，則。四則運(yùn)算法則：若極限，則：又若，則再若，則復(fù)合函數(shù)極限設(shè)復(fù)合函數(shù)。若，則三、函數(shù)極限的存在條件（一）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的去心鄰域上有定義。則極限存在的充分必要條件是兩個(gè)單側(cè)極限存在且相等即則。例1討論極限是否存在解 在點(diǎn)的左右兩側(cè)極限附近，當(dāng)時(shí)有，當(dāng)（限定）時(shí)有，故由迫斂性知：，從而，故不存在（二）海涅歸結(jié)原則設(shè)在內(nèi)有定義。極限存在的充分必要條件是：對(duì)于任何含于且以為極限的數(shù)列，極限都存在且相等。即：有例1討論極限是否存在解 設(shè)則顯然有但，故由海涅歸結(jié)原則知：不存在。例1極限存在，證明：。證明 設(shè)，則 故由海涅歸結(jié)原則知： 解得：，即。同理可證：（三）柯西收斂準(zhǔn)則設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義。極限存在的充分必要條件是：任給，存在正數(shù)，使得對(duì)任何有：。例1討論極限是否存在。解 取，對(duì)任何，設(shè)正整數(shù)，令，則有，而故由柯西收斂準(zhǔn)則知極限不存在。四、函數(shù)極限的求法及推廣（一）用函數(shù)極限定義證明極限成立例1按定義證明：證明 ，若要證明命題成立，就要找到，使得當(dāng)時(shí)有顯然當(dāng)時(shí)有故只要，即時(shí)式就能成立。故可取，取，則，式成立。故由定義可得：例1
范文總結(jié)相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1