夾逼準則在求極限中的應用(編輯修改稿)
2025-07-21 17:09 本頁面
【文章內容簡介】 到左右兩邊均可直接求出極限，并且它們的極限值相同，均等于0。滿足夾逼準則的應用條件。證明 因為0＜≤，且=0；因此由夾逼準則得：=0。 計算（＞1）；分析 設= =1+++……+ ＞（0＜＜1），記=，其自變量包含在冪指數(shù)中，其中分子分母均出現(xiàn)了自變量。此時可以用伯努利不等式放大、縮小，即0＜＜。這樣放縮后左右兩端的極限均可以直接求出，并且它們的極限值相等，均等于0。滿足夾逼準則的應用條件。證明 設= =1+++……+ ＞（0＜＜1）從而有：0＜＜；因為=0，所以由夾逼準則知：=0。 計算分析 記=，其自變量包含在冪指數(shù)、根指數(shù)中，其中自變量出現(xiàn)了兩次。此時可以用伯努利不等式放大、縮小，即：0≤︱︱≤＜=，于是：－＜＜。這樣放縮后左右兩端的極限均可以直接求出，并且它們的極限值相等，均等于0。滿足夾逼準則的應用條件。解 由于0≤︱︱≤＜=，即是－＜＜，而且==0，所以由夾逼準則得：=0。 已知或者容易求出雙向不等式的數(shù)列（或者函數(shù)），可以用夾逼準則求它的極限。 求極限 (++……+)。分析 記=，易知{}關于單調遞增，即得＜＜當→+時，上式左、右兩端各趨于0和1，似乎無法利用迫斂性，原因在于放縮太過粗糙，應尋求更精致的放縮。解 對各項的分母進行放縮，而同時分子保持不變。就得如下不等關系：=＜＜= 令→+時，上式左、右兩端各趨于，由夾逼準則可得： (++……+)= 證明（++……+）=1。分析 記=，易知{}關于單調遞減，即得＜＜當→+時，上式左、右兩端均趨于1，滿足夾逼準則的應用條件。證明 由于＜++……+＜，而且=1；=1；故由夾逼準則知：（++……+）=1。 求極限（+ +……+）分析 記=，易知{}關于單調遞減，即得＜＜當→+時，上式左、右兩端均趨于0，滿足夾逼準則的應用條件。解 由于＜+ +……+＜而且=，又==0。于是由夾逼準則知：（+ +……+）=0。 設=，求。分析 因為==3，記=+1。由于對于任意的自然數(shù)有：0＜＜1，所以1＜＜3。兩邊同時乘以得：＜+1＜再兩邊分別求方根得：3＜＜3當→+時，上式左、右兩端均趨于3，此時可以運用夾逼準則求解。解 因為=3，對任意的有：1＜＜3所以：3＜＜3；又因為3=3，所以由夾逼準則知：=3。 對于含有較多乘除因子的數(shù)列，我們可以通過夾逼準則去分析。 設= , =,
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