導數在研究函數中的應用含標準答案資料(編輯修改稿)
2025-07-17 12:25 本頁面
【文章內容簡介】 8．設函數f(x)＝(x－1)ex－kx2(其中k∈R)．(1)當k＝1時，求函數f(x)的單調區(qū)間和極值；(2)當k∈[0，＋∞)時，證明函數f(x)在R上有且只有一個零點． 《導數在研究函數中的應用》標準答案1． 自主歸納1.（1）f′(x)0 （2）f′(x)0 （3）f′(x)＝0 3. 小于 4. 大于 極值 不小于2． 自我查驗：函數定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝1＋0，故單調增區(qū)間是(0，＋∞)．答案：A：∵f(x)＝x3＋x2＋mx＋1，∴f′(x)＝3x2＋2x＋m.又∵f(x)在R上是單調增函數，∴f′(x)≥0恒成立，∴Δ＝4－12m≤0，即m≥.答案：：導函數f ′(x)的圖象與x軸的交點中，左側圖象在x軸下方，右側圖象在x軸上方的只有一個，故選A.答案：A：f ′(x)＝3x2＋2ax＋3，由題意知f ′(－3)＝0，即3(－3)2＋2(－3)a＋3＝0，解得a＝5.答案：D5..A【解析】，令，當時函數單調遞增，當時函數單調遞減，故選A.3． 典型例題【例題1】(1)f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝－≤0，則f′(x)0，所以f(x)在(0，＋∞)單調遞增．若a0，則當x∈時，f′(x)0；當x∈時，f′(x)(x)在單調遞增，在單調遞減．(2)由(1)知，當a≤0時，f(x)在(0，＋∞)無最大值；當a0時，f(x)在x＝處取得最大值，最大值為f＝ln＋a＝－ln a＋a－1.因此f2a－2等價于ln a＋a－10.令g(a)＝ln a＋a－1，則g(a)在(0，＋∞)單調遞增，g(1)＝0.于是，當0a1時，g(a)0；當a1時，g(a)0.因此，a的取值范圍是(0,1)．【變式訓練1】（1）當時，∴，∴切線斜率為，又，∴切點坐標為，∴所求切線方程為，即．（2），由，得或，由，得∴函數的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為和．【例題2】（1）當時，，令，解得，所以函數在上單調遞增；令，解得，所以函數在上單調遞減；所以當時取極大值，極大值為，無極小值.（2）函數的定義域為，. 當時，在上恒成立，所以函數在上單調遞增；當時，令，解得，所以函數在上單調遞增；令，解得，所以函數在上單調遞減. 綜上所述，當時，函數的單調增區(qū)間為；當時，函數的單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為.【變式訓練2】解 對f(x)求導得f′(x)＝ex. 當a＝時，若f′(x)＝0， 則4x2－8x＋3＝0，解得x1＝，x2＝.結合①，可知x(－∞，)(，)(，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)極大值 極小值所以x1＝是極小值點，x2＝是極大值點.【例題3】1）.（2）由得，故，則，由，故，.
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