微積分在生活應用(編輯修改稿)
2024-07-17 06:07 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 對求導數(shù)得：令：（一階導數(shù)等于0函數(shù)有極值） 解得：將t=4s代入原式得：即：t=4s時兩車再次相遇前的最大距離,其值為. 利用隱函數(shù)求導實際問題中物體的速度、加速度 湖中有一小船,岸邊有人用繩子跨過離水面高為H的滑輪拉船靠岸,設繩的原長為,以勻速率拉繩,求在任意位置處,小船的速度和加速度. 小船可作為質(zhì)點并作一維運動,選取坐標系,在任一位置處,繩長,位置坐標x及高度H(常數(shù))之間有如下關(guān)系： (1)將（1）式兩邊同時對求導,有 (2) 注意到（繩長l減?。?，則有 將（2）式兩邊再對t 求導有 注意到，為常數(shù),則上式為 即 .和a表達式中的負號表示的方向沿x軸負向,且隨著小船向岸邊的運動,速度和加速度的值越來越大. 積分在物理中的應用 研究變力做功問題 設物體在變力作用下,沿X軸由a點處移動到b處,求變力所做的功？由于力F(x)是變力,所求功是區(qū)間[]上均勻分布的整體量,故可以用定積分來解決,利用微元法,由于變力F(x)是連續(xù)變化的,故可以設想在微小區(qū)間[]上作用力保持不變（“常代變”求微元的思想）,按常力做功公式得這一段上變力F(x)做功的近似值. (1)把變力F（x）近似為恒力,大小方向都不變； (2)把曲線軌跡近似為直線軌跡，即看成直線運動,其位移記為,把每段內(nèi)的功近似恒力作用下做直線運動的功計算,則=F(x)近似處理后,再把沿整個路徑的所有運動小段內(nèi)力所做的元功加起來,就得到整個過程中力對質(zhì)點所做的功．由于表示位移趨于零,對元功積分,使得變力F(x)從a到b所做的功為 W= 在實際應用中,許多問題都可以轉(zhuǎn)化為物體受變力作用沿直線所做的功的情形,下面通過具體例子來說明. 例： 把一個帶+q電量的點電荷放在r軸上的坐標原點處,它產(chǎn)生一個電場,如果一個單位正電荷放在這個電場中距離原點為r的地方,那么電場對它的作用力的大小為.試計算：當這個單位正電荷在電場中從r=a處沿r軸移動到r=b處時,電場力F對它所做的功.解：注意到將單位正電荷在r軸上從點a移動到點b的過程中,電場對該單位正電荷的作用力是變化的,問題可歸結(jié)為變力沿直線做功的情形處理. 取r為積分變量,其變化區(qū)間為［a，b］,任取微元［，］,當單位正電荷從r移動到時,電場力對它所做的功近似等于, 即功微元為 從而所求功為 在計算電場中某點的電位時,要考慮將單位正電荷從該點（r=a）移動到無窮遠處時電場力所做的功W,此時有 . 研究液體的壓力 我們學習物理學知道在液體下深度為h處的壓強為(其中是液體的密度,重力加速度).如果有一面積為S的薄板水平地置于深度為h處,那么薄板乙側(cè)所受的液體壓力計算,但是在實際問題中,常常碰到計算薄板豎直地放置在液體中時,其一側(cè)所受到的壓力如何如何？由于壓強P是隨液體的深度變化而變化,所以薄板一側(cè)所受到的液體壓力就不能簡單地應用公式來計算,可以考慮用定積分的“微元法”去求解.修建一道形狀是等腰梯形的閘門,它的兩條底邊各長6m和4m,高為6m,較長的底邊與水面平齊,要計算閘門一側(cè)所受水的壓力.解：選取變量,確定區(qū)間,建立坐標系,找出AB的方程為,取x微積分變量,[0,6]為積分區(qū)間. 取近似,找出微元,在x[0,6]上任意取一微小區(qū)間[],該區(qū)間上小曲邊平板所受的壓力可近似地看作長為y,寬為的小矩形水平的放在距液體表面深度為x的位置上,壓力微元為 找出整量, 一般來說,液體壓力的計算公式為： 其中,是液體的密度,為平板曲邊的函數(shù)式. 研究物體的引力一根長為的均勻細桿,質(zhì)量為M,在其中垂線上相距細桿為a處有一質(zhì)量為m的質(zhì)點,試求細桿對質(zhì)點的萬有引力 解：建立直角坐標系,設細桿位于x軸上的[],質(zhì)點位于y軸上的點a,任取[,當很小時,可把這一小段細桿看作一質(zhì)點, 由于細桿上各點對質(zhì)點m的引力方向各不相同,因此不能直接對進行積分,為此，將分解到x軸和y軸兩個方向上,得 由于質(zhì)點m位于細桿的中垂線上,必使水平合力為0,即 又由,得垂直方向合力為 =— =—負號表示合力方向與y軸方向相反. 研究剛體轉(zhuǎn)動問題半徑為R,質(zhì)量為M,密度均勻的圓盤繞過圓心且與盤面垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量. 我們用微積分的方法來求解,把圓盤分成許多無限薄的圓環(huán),圓盤的密度為,則半徑
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