微積分在生活應(yīng)用-閱讀頁
2025-07-05 06:07本頁面
【正文】 題中,常常碰到計(jì)算薄板豎直地放置在液體中時(shí),其一側(cè)所受到的壓力如何如何？由于壓強(qiáng)P是隨液體的深度變化而變化,所以薄板一側(cè)所受到的液體壓力就不能簡(jiǎn)單地應(yīng)用公式來計(jì)算,可以考慮用定積分的“微元法”去求解.修建一道形狀是等腰梯形的閘門,它的兩條底邊各長(zhǎng)6m和4m,高為6m,較長(zhǎng)的底邊與水面平齊,要計(jì)算閘門一側(cè)所受水的壓力.解：選取變量,確定區(qū)間,建立坐標(biāo)系,找出AB的方程為,取x微積分變量,[0,6]為積分區(qū)間. 取近似,找出微元,在x[0,6]上任意取一微小區(qū)間[],該區(qū)間上小曲邊平板所受的壓力可近似地看作長(zhǎng)為y,寬為的小矩形水平的放在距液體表面深度為x的位置上,壓力微元為 找出整量, 一般來說,液體壓力的計(jì)算公式為： 其中,是液體的密度,為平板曲邊的函數(shù)式. 研究物體的引力一根長(zhǎng)為的均勻細(xì)桿,質(zhì)量為M,在其中垂線上相距細(xì)桿為a處有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn),試求細(xì)桿對(duì)質(zhì)點(diǎn)的萬有引力 解：建立直角坐標(biāo)系,設(shè)細(xì)桿位于x軸上的[],質(zhì)點(diǎn)位于y軸上的點(diǎn)a,任取[,當(dāng)很小時(shí),可把這一小段細(xì)桿看作一質(zhì)點(diǎn), 由于細(xì)桿上各點(diǎn)對(duì)質(zhì)點(diǎn)m的引力方向各不相同,因此不能直接對(duì)進(jìn)行積分,為此，將分解到x軸和y軸兩個(gè)方向上,得 由于質(zhì)點(diǎn)m位于細(xì)桿的中垂線上,必使水平合力為0,即 又由,得垂直方向合力為 =— =—負(fù)號(hào)表示合力方向與y軸方向相反. 研究剛體轉(zhuǎn)動(dòng)問題半徑為R,質(zhì)量為M,密度均勻的圓盤繞過圓心且與盤面垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量. 我們用微積分的方法來求解,把圓盤分成許多無限薄的圓環(huán),圓盤的密度為,則半徑為,寬為的薄圓環(huán)的質(zhì)量為： 薄圓環(huán)對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 然后沿半徑積分得 其中,為圓盤體積,為圓盤質(zhì)量m,故圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為.此處不能用小結(jié)，換一個(gè)詞，物理應(yīng)用還有引力等盡可能寫的全一些，在查資料。注意： 通過借助微積分法來解決物理學(xué)中常見的棘手問題,進(jìn)而分析了怎樣應(yīng)用微積分的“數(shù)學(xué)微元”,體現(xiàn)的不僅僅是運(yùn)用數(shù)學(xué)工具去解決難以解決的物理學(xué)問題,更重要的是幫助我們正確的去理解物理概念、規(guī)律,形成物理觀念及物理量中“數(shù)學(xué)微分”微積分形式的物理意義,在不同的物理問題中建立物理模型,并且要全面理解掌握微積分及其應(yīng)用到實(shí)際的問題中去. 第四章 在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用 微積分產(chǎn)生于生產(chǎn)技術(shù)和理論科學(xué),將一些經(jīng)濟(jì)問題利用相關(guān)模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,用數(shù)學(xué)的方法對(duì)經(jīng)濟(jì)問題進(jìn)行研究和分析,把經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中的實(shí)際問題利用微積分的方法進(jìn)行量化,、需求、供給、利潤(rùn)等范疇,所有這些都以量的形式表現(xiàn)出來．經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象最復(fù)雜,在我們的日常生活中,數(shù)學(xué)已不再是單純的用作計(jì)數(shù)或統(tǒng)計(jì),還常用于對(duì)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中的一些復(fù)雜現(xiàn)象進(jìn)行分析．例如：風(fēng)險(xiǎn)利潤(rùn)、投資決策、等等,利用數(shù)學(xué)的知識(shí)與方法進(jìn)行分析,將有助于我們理解這些經(jīng)濟(jì)活動(dòng),找出其中的規(guī)律，并作出決策. 邊際分析在經(jīng)濟(jì)分析中的作用 經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊際問題,是指每一個(gè)自變量的變動(dòng)導(dǎo)致因變量變動(dòng)多少的問題,所以邊際函數(shù)就是對(duì)一個(gè)經(jīng)濟(jì)函數(shù)f(x)的因變量求導(dǎo),得出 ,其中在某一點(diǎn)的值就是該點(diǎn)的邊際值. 例1：已知某工廠某種產(chǎn)品的收益R（元）與銷售量p（噸）的函數(shù)關(guān)系是,求銷售 60 噸該產(chǎn)品時(shí)的邊際收益,并說明其經(jīng)濟(jì)含義. 解：根據(jù)題意得,銷售這種產(chǎn)品p 噸的總收益函數(shù)為 因而,銷售 60 噸該產(chǎn)品的邊際收益是 . 其經(jīng)濟(jì)學(xué)含義是：當(dāng)該產(chǎn)品的銷售量為60噸時(shí),銷售量再增加一噸（即）所增加的總收益188 ,：例2：某工廠生產(chǎn)某種機(jī)械產(chǎn)品,每月的總成本C（千元）與產(chǎn)量x（件）之間的函數(shù)關(guān)系為,若每件產(chǎn)品的銷售價(jià)為2 萬元,求每月生產(chǎn)6 件、9 件、15 件、24 件時(shí)的邊際利潤(rùn),并說明其經(jīng)濟(jì)含義. 解：根據(jù)題意得,該廠每月生產(chǎn)x 件機(jī)械產(chǎn)品的總收入函數(shù)為 因此,該廠生產(chǎn)的 x 件產(chǎn)品的利潤(rùn)函數(shù)為： 由此可得邊際利潤(rùn)函數(shù)為 那么每月該廠生產(chǎn)6 件、9 件、15 件、24 件時(shí)的邊際利潤(rùn)分別是： 這個(gè)經(jīng)濟(jì)學(xué)的含義是：當(dāng)該廠月產(chǎn)量為6件時(shí),若再增產(chǎn)1件,此時(shí)的利潤(rùn)將會(huì)增加18000元；當(dāng)該廠的月產(chǎn)量為9件時(shí),若再增產(chǎn)1件,利潤(rùn)將增加12000元,有所降低；當(dāng)月產(chǎn)量增加到15件時(shí),再增產(chǎn)1件,利潤(rùn)反而不會(huì)增加；當(dāng)月產(chǎn)量為24 件時(shí),若再增產(chǎn)1件,:產(chǎn)品的利潤(rùn)最大,并不是出現(xiàn)在最大量的時(shí)候,也就是說多增加產(chǎn)量必定能夠增加利潤(rùn),只有合理統(tǒng)籌安排工廠的生產(chǎn)量,這樣才能取得最大的利潤(rùn). 由此可得結(jié)論:當(dāng)產(chǎn)品的邊際收益等于產(chǎn)品的邊際成本時(shí),此時(shí)就已經(jīng)達(dá)到了最大利潤(rùn),如果再進(jìn)行擴(kuò)大生產(chǎn)了,產(chǎn)品反而會(huì)虧本. 彈性分析 在經(jīng)濟(jì)學(xué)中,研究的問題不同,彈性大,價(jià)格的變動(dòng)會(huì)造成很大的銷售變動(dòng)；有的商品反應(yīng)較緩慢,彈性小,價(jià)格的變動(dòng)對(duì)其沒什么影響. ①需求彈
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