【正文】 對一切 .0)()(),0( ?????? xxfxFx 從而當(dāng) .,0)(,0)(0 ）內(nèi)單調(diào)增加在（故時，恒有 ????? xfxfx 所以 當(dāng) .0In2In1,0)1()(1 2 ??????? xaxxfxfx 即時， 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 2020 屆畢業(yè)論文 15 故 ,當(dāng) .1In2In1 2 ???? xaxxx 時，恒有 例 23（ 2020 浙江卷文科） 設(shè)函數(shù) axxxaxf ??? 22 ln)( ， 0?a ??1 求 )(xf 的單調(diào)區(qū)間 . ??2 求所有實數(shù) a ，使 2)(1 exfe ??? 對 ],1[ ex? 恒成立． 解 （ 1）因為 22( ) l n . 0f x a x x ax x? ? ? ?其 中, 所以 2 ( ) ( 2 )( ) 2a x a x af x x axx ??? ? ? ? ? ?, 由于 0a? ，所以 ()fx的增區(qū)間為 (0, )a ，減區(qū)間為 ( , )a?? ??2 證明 由題意得， (1 ) 1 1,f a c a c? ? ? ? ?即. 由 ??1 知 ( ) [1, ]f x e在 內(nèi)單調(diào)遞增， 要使 21 ( ) [1 , ]e f x e x e? ? ? ?對恒成立， 只要2 2 2(1 ) 1 1,()f a ef e a e a e e? ? ? ??? ? ? ? ?? , 解得 .ae? 例 24（ 2020 安徽文 20/22） 設(shè)函數(shù) 323( ) ( 1 ) 1 ,32af x x x a x a? ? ? ? ? 其 中為實數(shù) . 若對任意 (0, )a? ?? 都成立，求實數(shù) x 的取值范圍 . 解 （方 法一變量轉(zhuǎn)換，最值控制法） 223 ( 1 ) 1ax x a x x a? ? ? ? ? ? ?對任意 (0, )a? ??都成立 . 即 22( 2 ) 2 0a x x x? ? ? ?對任意 (0, )a? ?? 都成立 . 設(shè) 22( ) ( 2 ) 2 ( )g a a x x x a R? ? ? ? ?，則對任意 xR? ， ()ga為單調(diào)遞增函數(shù) ()aR? , 所以對任意 (0, )a? ?? ， ( ) 0ga? 恒成立的充分必要條件是 (0) 0g ? . 即 2 20xx? ? ? ，所以 02 ??? x ， 于是 x 的取值范圍是 ?? | 2 0xx? ? ? . (方法二變量分離法） 由題設(shè)知 223 ( 1 ) 1ax x a x x a? ? ? ? ? ? ?對任意 (0, )a? ?? 都成立 . 即 22( 2 ) 2 0a x x x? ? ? ?對任意 (0, )a? ?? 都成立 . 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 2020 屆畢業(yè)論文 16 于是 22 22xxa x?? ?對任意 (0, )a? ?? 都成立，即 22 2 02xxx? ??. 解得 x 的取值范圍是?? | 2 0xx? ? ? . 【 點評 】 變量分離法可以任何一個變量分離出來，例如本題也可以求出二次方程的根，這樣就是將變量 x 分離出來了，但過程較復(fù)雜，不宜在此處選用 . 4 積分 微積分的兩大部分微分與積分 .微分實際上是函數(shù)的微小的增量，函數(shù)在某一點的導(dǎo)數(shù)值乘以自變量以這點為起點的增量，得到的就是函數(shù)的微分；它近似等于函數(shù)的實際增量（這里主要是針對一 元函數(shù)而言 ).而積分是已知一函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求這一函數(shù) .所以，微分與積分互為逆運算 . 積分的概念 設(shè) f 是定義在 ? ?,ab 上的一個函數(shù)， J 是一個確定的實數(shù) ． 若對任何給的正數(shù) ? 總存在某一正數(shù) ? ，使得對 ? ?,ab 的任何 分割 T ，以及在其上任意選取的點集 ??i? ，只要T ?? ，就有 1 ()niii f x J??? ? ? ??. 則稱函數(shù) f 在區(qū)間 ? ?,ab 上可積或黎曼可積；數(shù) J 稱為 f 在 ? ?,ab 上的定積分或黎曼積分，記作 ()baJ f x dx?? . 其中， f 稱為被積函數(shù)， x 稱為積分變量， ? ?,ab 稱為積分區(qū)間， a 、 b 分別稱為這個定積分的下限和上限． 積分 簡單幾何應(yīng)用 連續(xù)曲線 ??xfy? ， x 軸二直線 bxax ??, 所 圍 成 的 曲 邊 梯 形 的 面 積?? ba dxxfA |)(| ． 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 2020 屆畢業(yè)論文 17 例 25 求 由兩條曲線 2xy? 與 xy? 圍成的平面區(qū)域 的面積。f ξ) 0? . 定理 2（拉格朗日中值定理）設(shè)函數(shù) )(xf 滿足條件 ??1 在閉區(qū)間 ],[ ba 上連續(xù)； ??2 在開區(qū)間 ),( ba 內(nèi)可導(dǎo)； 則在 ),( ba 內(nèi)至少存在一個點 ? ，使得 (39。 xg 0? ； 則在 ),( ba 內(nèi)至少存在一個點 ξ，使得 ab afbf ?? )()( = )(39。39。 xxf ? 又 ),( ba?? 根據(jù)微數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 2020 屆畢業(yè)論文 19 分中值定理的條件 , 有?1lnln ???ab ab,而 ?b1 ??1 a1,因此 b1 ? ab ab??lnln ? a1 ,即bab? ? abln ? aab? . 例 28 1 1, ?? yx ,證明 ｜ arcsin arcsinxy? ｜ ? ｜ yx? ｜ . 證 f (z)= arcsinz ，它在 ]1,1[? 上連續(xù)且可導(dǎo) ,239。()fx? x?112)1( 1x??=2)1( xx?0? , 且 0)( ?xf ,所以函數(shù)在 (0 , + ∞) 內(nèi)單調(diào)增加 ,因此)1ln( x? xx??1 ? 0, 即 )1ln( x? ? xx?1 。 xf 1ln ?x , ?)(39。 xf x1 ? 0 , ),0( ???x .因此 ,函數(shù)在 ),0( ???x .上是凹函數(shù) ,由凹函數(shù)的定義有 12()2xxf ? ? 12( ) ( )2f x f x? 即 2ln2 yxyx ?? ? 2 lnln yyxx ? ,所以 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 2020 屆畢業(yè)論文 20 )lnln( yyyx ? ? 2ln)( yxyx ?? . 利用函數(shù)的凹凸性來證明不等式就是根據(jù)函數(shù)凹凸性定義中的不等式關(guān)系 ,即12()2xxf ? ? 12( ) ( )2f x f x? 或 12()2xxf ? ? 12( ) ( )2f x f x? , 構(gòu)造一個凸函數(shù)或凹函數(shù)來證明 . 微積分在高中數(shù)學(xué)競賽中的應(yīng)用 例 31 (浙江省競賽題 )已知函數(shù) axxxf ??? 3)( 在（ 0， 1）上是增函數(shù) . ??1 求實數(shù) a 的取值集合 A. ??2 當(dāng) a 取 A 中最小值時，定義數(shù)列 }{na 滿足： )(2 1 nn afa ?? ，且 bba )(1,0(1 ? 為常數(shù)），試比較 nn aa 與1? 的大小 . ??3 在 ??2 的條件下，問是否存在正實數(shù) C，使 20 ???? ca cann對一切 Nn? 恒成立？ 解 ??1 設(shè) ))(()()(,10 222121122121 axxxxxxxfxfxx ????????? 則 由題意知 0)()( 21 ?? xfxf ，且 012 ??xx . 因 )3,0(, 222121222121 ?????? xxxxaxxxx 則 故 }3|{,3 ??? aaAa 即 . （ 解法 2 )1,0(,03)( 2 ?????? xaxxf 對恒成立，求出 3?a ） . ??2 當(dāng) a=3 時，由題意 )1,0(,2321131 ?????? baaaa nnn 且 以下用數(shù)學(xué)歸納法證明 ??? Nnan 對),1,0( 恒成立 . 1 當(dāng) 1?n 時， )1,0(1 ??ba 成立； 2 假設(shè) n=k 時， )1,0(?ka 成立，那么當(dāng) 1??kn 時， kkk aaa 2321 31 ???? ，由 1 知)3(21)( 3 xxxg ??? . 在（ 0， 1）上單調(diào)遞增， 10)1()()0( 1 ???? ?kk agagg 即，由 1 2 知對一切 ??Nn都有 )1,0(?na ,而 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 2020 屆畢業(yè)論文 21 0)1(212121 231 ???????? nnnnnn aaaaaa nn aa ??1 ??3 若存在正實數(shù) c，使 20 ???? ca cann 恒成立 .令 ,21 cx ccx cxy ?????? 在 ),( ??c 上是減函數(shù)，故nnn aca ca 隨著??增大而減小，又 }{na 為遞增數(shù)列，所以要使20 ???? ca cann 恒成立，只須 30,30201111 bcaccacaca??????????????即. 例 32 (全國競賽題 )已知 )(22)(2 Rxx axxf ????在區(qū)間 [－ 1， 1]上是增函數(shù) . ??1 求實數(shù) a 的值所組成的集合 A. ??2 設(shè)關(guān)于 x 的方程 xxf 1)( ? 的兩根為 1x , 2x ，試問 是否存在實數(shù) m，使得不等式||1 212 xxtmm ???? 對任意 ]1,1[??? tAa 及 恒成立？若存在，求出 m 的取值范圍；若不存在，請說明理由 解 ??1222)2( )2(2)( ? ????? x axxxf ]1,1[)( ?在xf 是是增函數(shù) ]1,1[,0)( ???? xxf 對 恒成立 . 設(shè) 110)1( 0)1(,2)( 2 ??????? ?? ???? aaxxx ??? 則有. )(],1,1[ xfx ??對 是連續(xù)函數(shù)，且只有當(dāng) 0)1(,1 ???? fa 時 ， 以及當(dāng) }11|{,0)1(,1 ???????? aaAfa 時 . ??2 由 02,122 22 ?????? axxxx ax 得 , 212 ,08 xxa ???? 是方程 022 ???axx 的兩實根 , ??? ???? 22121xx axx 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 2020 屆畢業(yè)論文 22 從而 84)(|| 22122121 ?????? axxxxxx 8||11 221 ?????? axxa , 要 使 不 等 式 ||1 212 xxtmm ???? 對任意 ]1,1[??? tAa 及 恒 成 立 ， 當(dāng) 且 僅 當(dāng)]1,1[312 ????? ttmm 對任意 恒成立，即 022 ???tmm 對任意 ]1,1[??t 恒成立 . 設(shè) 22)( 22 ?????? mmttmmtg 則有 222)1(02)1(22 ???????????????? mmmmgmmg 或. 故 存在 m ，其范圍為 }22|{ ??? mmm 或 . 微積分在高考中的應(yīng)用 例 33 已知函數(shù) xxf ?)( )ln2(2 xax ?? )0( ?a.討論 )(xf 的單調(diào)性 . 求出 )(39。 xf 0? 此時 )(xf 在 ).0( ??上是增函數(shù) . ??2 當(dāng) 82?a 0? ，即 ?a 22 時，僅對 ?x 2 和 0?x ,對其余的 0?x 都 )(39。 ?f 有 , 22?a 從而 , 1?a . ??2 由 ??1 知， 2( ) ( 0 )xeg x kxk??? , 2 22( 2 )( ) ( 0 )()xe x x kg x kxk??? ??? 令 2( ) 0 , 2 0g x x x k? ? ? ? ?有 . 1 當(dāng) ,044 ?? k 即當(dāng) 1?k 時， 0