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應用微積分授課教案-閱讀頁

2024-10-14 15:13本頁面
  

【正文】 情況計算t年末本利和的復利公式.若計息的“期”的時間間隔無限縮短,從而計息次數(shù)n→∞.這時,由于==,所以,若以連續(xù)復利計算利息,其復利公式是=. ()在公式(),()和按連續(xù)情況計算復利的公式()中,現(xiàn)有本金稱為現(xiàn)在值,.例19 已知現(xiàn)有本金100元,年利率r=8%,t=1年,則一年計息1期,一年終的本利和 一年計息2期,一年終的本利和 一年計息12期,一年終的本利和一年計息100期,一年終的本利和 連續(xù)復利計算,一年終的本利和 由例19知,年利率相同,而一年計息期數(shù)不同,一年所得之利息也不同。這樣,若年利率給定,對于年期以下的復利,稱年利率8%為名義利率或虛利率,而實際計息利率為實利率。2. 貼現(xiàn)公式若已知未來值,求現(xiàn)在值,則稱貼現(xiàn)問題,這時,利率r稱為貼現(xiàn)率.由復利公式()易推得,若以年為期貼現(xiàn),貼現(xiàn)公式是=. ()若一年均分n期貼現(xiàn),由復利公式()可得,貼現(xiàn)公式是=.  ()由復利公式()可得,連續(xù)貼現(xiàn)公式是=. ()例20 設年利率為9%,現(xiàn)投資多少元,10年之末可得12000元?(1) 按離散情況計息,每年計息4期; (2)按連續(xù)復利計算.解 (1) 用公式(),其中=12000,n=4,r=,t==12000==(元) (2) 用公式(),其中=12000,r=,t==12000==(元).四、 無窮小的比較我們已經(jīng)知道,不同的無窮小收斂于零的速度有快有慢;當然,我們通過考察兩個無窮小之比,引進無窮小階的概念.例如,當x→0時,,2x,,=0, =∞, =2, =1.顯然,當x→0時,它們收斂于零的速度與x相比是不同的,其中較x為快,這時,稱是比x較高階的無窮?。惠^x為慢,稱是比x較低階的無窮小;2x與x只是相差一個倍數(shù),稱2x與x是同階無窮??;sinx與x應該說幾乎是一致的,稱sinx與x是等價無窮小. 設α(α≠0)和β是同一變化過程中的無窮?。喝簦?,則稱β是比α較高階的無窮小,記作β=o(α);若=∞,則稱β是比α較低階的無窮小;若=C (C是不為零的常數(shù)),則稱β與α是同階無窮??;若=1,則稱β與α是等價無窮小,記作β~α.例20 當x→0時,試將下列無窮小與無窮小x進行比較:
(1) 。(3) ln(1+)。 函數(shù)的連續(xù)性一、 連續(xù)性概念1. 改變量的概念為以下敘述需要,先介紹改變量的概念和記號.如圖131所示,設函數(shù)當自變量由初值起改變到終值+Δx,自變量實際改變了Δ,函數(shù)值相應地由()改變到(+Δ).在曲線上,點的坐標為(,()),點的坐標為(+Δ,(+Δ)).若函數(shù)相應地改變量記作Δy為,則 Δy=(+Δ)().若記=+Δ,則Δ=,相應地函數(shù)的改變量為 Δy=()(). 圖131 2.函數(shù)連續(xù)的定義客觀世界的許多現(xiàn)象都是連續(xù)變化的,氣溫是時間的函數(shù),當時間(自變量)變化很微小時,氣溫(函數(shù)),這就是連續(xù)函數(shù),它反映了變量逐漸變化的過程.觀察圖131,,當橫坐標(自變量)的改變量Δ時,相應地縱坐標(函數(shù))的改變量Δ.由以上分析得到函數(shù)在一點連續(xù)的定義. 設函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義,若 ()則稱函數(shù)在點連續(xù),稱為函數(shù)的連續(xù)點.注意到Δy=(),顯然()式也可記作,或 ()依()式,函數(shù)在點連續(xù)須下述三個條件皆滿足: (1) 在點的某鄰域內(nèi)有定義;(2) 極限 存在;(3) 極限 的值等于該點的函數(shù)值.我們常用()式,即上述三個條件來討論函數(shù)f(x)在某點處是否連續(xù).例1 討論函數(shù)= 在x=0處是否連續(xù)?解 依()式來判定.(1) 在x=0處有定義,且(0)=1。g(x),乘積f(x) 曲線的漸近線若曲線y=上的點P(x,)沿著曲線無限地遠離原點時,點P與某條定直線的距離趨于零,則稱該直線是曲線y=的漸近線. 一、 曲線的水平漸近線,對曲線y=,若=b 或 =b,則直線y=b是曲線y=的水平漸近線.例如,曲線向左右兩側(cè)無限延伸,都以直線y=1為水平漸近線(見圖121).曲線y=arctanx向左無限延伸,以直線y=為水平漸近線;向右無限延伸,以直線y=為水平漸近線 (見圖16), ,二、 曲線的鉛垂?jié)u近線對曲線y=,若=∞, =∞,則直線x=x0是曲線的鉛垂?jié)u近線.上述極限中的點x0可能是函數(shù)的間斷點,也可能是函數(shù)有定義區(qū)間的端點(在端點處無定義).例1 對曲線y=,x=是其間斷點,由于=∞, =+∞,所以,曲線y=沿y軸的負方向、正方向延伸都以直線x=為鉛垂?jié)u近線(圖134).圖134例2 函數(shù)y=lnx在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)有定義,在區(qū)間端點x=0處,由于lnx=∞,所以,曲線y=lnx沿y軸的負方向延伸以直線x=0為鉛垂?jié)u近線(見圖125).例3 對曲線y=,由于[]=2, []=∞,所以,直線y=2為其水平漸近線;直線x=3為其鉛垂?jié)u近線. 第二章 導數(shù)與微分【本章教學目標】通過本章的學習,使學生:1.了解高階導數(shù)的概念;函數(shù)連續(xù)與可導的關系。3.熟練掌握導數(shù)(微分)的基本公式和運算法則;熟練地求初等函數(shù)的一、二階導數(shù)。 導 數(shù) 概 念一、 引出導數(shù)概念的實例在自然科學、工程技術和經(jīng)濟科學中,. 我們從經(jīng)濟中的總成本變化率和幾何學中的曲線的切線斜率談起。為此我們的基本想法是:雖然從整體來說,隨著產(chǎn)量的變化,產(chǎn)品總成本的變化率是變化的,但局部說來可以近似地看成不變,即當產(chǎn)量由改變到+時,這里表示產(chǎn)量的增量。從產(chǎn)量到產(chǎn)量+,產(chǎn)品總成本的改變量為。我們自然會令,取極限于是得到,這時產(chǎn)量為個單位時的總成本變化率就作為平均變化率的極限求出來了。或者說,邊際成本就是每增加或減少一個單位產(chǎn)品而使總成本變動的數(shù)值. 邊際成本記作.若用初等數(shù)學(即離散的情況)表達, 總成本與邊際成本的關系見下表.產(chǎn)量(Q) 總成本(C) 邊際成本 0123456 8 20 1230 1036 640 445 560 15上表說明,生產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本是8(當Q=0時),生產(chǎn)一個產(chǎn)品,總成本為C=20,即生產(chǎn)第一個產(chǎn)品所花費的成本為12,因而,生產(chǎn)第一個產(chǎn)品的邊際成本=12. 生產(chǎn)兩個產(chǎn)品,總成本為C=30,即生產(chǎn)第二個產(chǎn)品所花費的成本為10,因而,生產(chǎn)第二個產(chǎn)品的邊際成本=.在數(shù)學中,假設總成本函數(shù)是連續(xù)的,在此產(chǎn)出水平上,產(chǎn)量增至,則比值就是產(chǎn)量由增至這一生產(chǎn)過程中,每增加單位產(chǎn)量總成本的增量.由于假設產(chǎn)量是連續(xù)變化的,令,則極限 就表示產(chǎn)量為某一值的“邊緣上”,稱為產(chǎn)量為時的邊際成本,記作,即邊際成本就是總成本C對產(chǎn)量的導數(shù),邊際成本函數(shù)為.按上述討論,一般情況,邊際成本可解釋為:生產(chǎn)第個單位產(chǎn)品,總成本增加(實際上是近似的)的數(shù)量,即生產(chǎn)第個單位產(chǎn)品所花費的成本.對其他經(jīng)濟函數(shù),“邊際”概念有類似的意義,即對經(jīng)濟學中的函數(shù)而言,因變量對自變量的導數(shù),統(tǒng)稱為“邊際”.例如,對總收益函數(shù),則對的導數(shù)稱為邊際收益,記作MR=167。已用導數(shù)定義得到了常量函數(shù)y=C、冪函數(shù)y= (n是正整數(shù))、正弦函數(shù)y=sinx、余弦函數(shù)y=cosx和指數(shù)函數(shù)y=、y=的導數(shù)公式.其余基本初等函數(shù)的導數(shù)公式將在下文中陸續(xù)推導出來.為了使讀者記住基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和盡快進行導數(shù)運算,我們先將其全部列舉出來.
基本初等函數(shù)的導數(shù)公式(1) (C)′=0 (C為任意常數(shù));(2) (α為任意實數(shù));(3) ()′=lna (a>0,a≠1);(4) ()′=;(5) (a>0, a≠1);(6) ;(7) ()′=;(8) ()′=;(9) ()′=;(10) ()′=;(11) ()′=;(13) ()′=;(14) ()′=;(15) (arctanx)′=;(16) (arccotx)′=.二、 導數(shù)的運算法則(四則運算法則) 設函數(shù),都是可導函數(shù),則(1) 代數(shù)和[u(x)177。v(x)]′=u′(x)177。v(x)可導,且[u(x)v(x)+u(x)v′(x),特別的,當C是常數(shù)時,[Cv(x)]′=Cv′(x).(3) 若v(x)≠0,商可導,且[]′=,特別的[]′=.我們只證明乘積的導數(shù)運算法則,其他法則可類似證明.證 設函數(shù)y=u(x)v(x)v(x)v′(x)v(x).證 由商的導數(shù)法則()′=()′=.同樣可證()′=()′=.例5 設,求y′,y′|x=1.解 由商的導數(shù)法則 =,y′|x=1=|x=1=1.(復合函數(shù)的導數(shù)) 設函數(shù)在點可導,而函數(shù)在對應的點可導,則復合函數(shù)在點可導,且,或記作 []′==.證 因為在點可導,有.,有,其中當Δ→0時,α→Δ≠0,用Δ乘上式兩邊,得Δ.以Δ (≠0)除上式兩端,得 . ()由于在點可導,故;又因連續(xù),所以當Δ→0時,有Δ→0,從而α→()式右端當Δ→0時的極限存在,而且,即 []′==.當Δ =0時,可以證明上式仍然成立.上式就是復合函數(shù)的導數(shù)公式,復合函數(shù)的導數(shù)等于已知函數(shù)對中間變量的導數(shù)乘以中間變量對自變量的導數(shù).說明 符號[]′表示復合函數(shù)對自變量x求導數(shù),而符號表示復合函數(shù)對中間變量求導數(shù).例6 設,求y′.解 將已知函數(shù)看成是由下列函數(shù)構成的復合函數(shù):=,于是y′==.例7 設,求y′.解 將看成是由下列函數(shù)復合而成:,于是 =.例8 設,求y′.解 設,,于是.注意 在求復合函數(shù)的導數(shù)時,因設出中間變量,已知函數(shù)要對中間變量求導數(shù),所以計算式中出現(xiàn)中間變量,最后必須將中間變量以自變量的函數(shù)代換.例9 設α為實數(shù),求冪函數(shù)的導數(shù).解 可寫成指數(shù)函數(shù)形式:,于是.這就得到了冪函數(shù)的導數(shù)公式.,由,復合成函數(shù),則,或==.例10 設,求y′.解 設,于是=.求復合函數(shù)的導數(shù),可設出中間變量,可不寫出中間變量,按復合函數(shù)的構成層次,.例11 設,求y′.解 =.例12 設,求y′.解 ==.現(xiàn)在,已有基本初等函數(shù)的導數(shù)公式、導數(shù)的四則運算法則和復合函數(shù)的導數(shù)法則,因此,在求初等函數(shù)的導數(shù)時,只要將其按基本初等函數(shù)的四則運算和復合形式分解,便可求出導數(shù).例13 設,求y′.解 ==.要熟練掌握求初等函數(shù)的導數(shù),應達到一步就寫出其導數(shù).例14 設,求y′.解 =.167。高階導數(shù)一、 隱函數(shù)的導數(shù)1. 隱函數(shù)的導數(shù)若因變量用自變量的數(shù)學式直接表出,即等號一端只有,而另一端是的解析表示式,, 都是顯函數(shù).若兩個變量與之間的函數(shù)關系用方程F(, )=0來表示,, ,則可用167。 ++1=0 得=2.于是 ′|=0=′=例3 證明:(1) 若=,則′=;(2) 若=,則′=;(3) 若=,則′=.證 (1) 由于=,∈(1,1),兩端對求導,得1=,于是′=.這里,根號前取正號是因為y∈時,cosy>0.同樣可證()′=.(2) 由于=,∈(∞,+∞)是正切函數(shù),∈,兩端對求導,得1=,于是′==.同樣可證()′=.(3) 由于=,∈(0,+∞)是指數(shù)函數(shù),y∈(∞,+∞),將兩端對x求導數(shù),得1=ln,注意到ln是的復合函數(shù),可得,等式兩端乘以′= (),將已知的表達式代入,得所求導數(shù)′= (
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