微積分在生活應(yīng)用-在線瀏覽
2024-07-31 06:07本頁面
【正文】 限細(xì)分,再獲得無限和,也就是黃瓜的體積. 切菜應(yīng)用就是平行截面面積為已知的幾何體體積問題，舉一個例子，最好是生活化的例題 第三章 在物理學(xué)上的應(yīng)用 微積分不僅在數(shù)學(xué)中有重要的應(yīng)用而且在物理中也有十分廣泛的應(yīng)用,應(yīng)用微積分法去解決實際問題是非常廣泛的,把“數(shù)學(xué)微元”,微積分思想把復(fù)雜物理問題進(jìn)行有限次分割,在有限小范圍內(nèi)進(jìn)行近似處理,而近似處理就是要抓住問題的主要方面,則可以化整為零,把它分割成在小時間、小空間范圍內(nèi)的局部問題,只要局部范圍被分割到無限小,小到這些局部問題可近似處理為簡單的可研究的問題,把局部范圍內(nèi)的結(jié)果累加起來,就是問題的結(jié)果.在應(yīng)用微積分方法解物理問題時,微元的選取非常關(guān)鍵,選的恰當(dāng)有利于問題的分析和計算,其一要保證在所選取的微元內(nèi)能近似處理成簡單基本的物理模型,以便于分析物理問題；其二要盡量把微分選取的大,這樣可使積分運算更加簡單,因為微分和積分互為逆運算,微分微的越細(xì),越精確,但積分越繁瑣,計算工作量較大,所以還要在微分和積分這對矛盾之間協(xié)調(diào)處理. 微分在物理中的應(yīng)用在實際分析物理問題的過程中,利用微分解釋物理量變化率及實際有關(guān)函數(shù)極值的問題時,可加深對物理意義的理解,提高生活中問題的準(zhǔn)確性. 研究勻變速直線運動的問題 甲、乙兩車同時同地同向出發(fā),在同一水平公路上做直線運動,甲以初速度,加速度做減速運動,乙以初速度,加速度,做加速運動,求兩車再次相遇前的最大距離.分析與解： 時刻兩車的距離為： 對求導(dǎo)數(shù)得：令：（一階導(dǎo)數(shù)等于0函數(shù)有極值） 解得：將t=4s代入原式得：即：t=4s時兩車再次相遇前的最大距離,其值為. 利用隱函數(shù)求導(dǎo)實際問題中物體的速度、加速度 湖中有一小船,岸邊有人用繩子跨過離水面高為H的滑輪拉船靠岸,設(shè)繩的原長為,以勻速率拉繩,求在任意位置處,小船的速度和加速度. 小船可作為質(zhì)點并作一維運動,選取坐標(biāo)系,在任一位置處,繩長,位置坐標(biāo)x及高度H(常數(shù))之間有如下關(guān)系： (1)將（1）式兩邊同時對求導(dǎo),有 (2) 注意到（繩長l減小）,，則有 將（2）式兩邊再對t 求導(dǎo)有 注意到，為常數(shù),則上式為 即 .和a表達(dá)式中的負(fù)號表示的方向沿x軸負(fù)向,且隨著小船向岸邊的運動,速度和加速度的值越來越大. 積分在物理中的應(yīng)用 研究變力做功問題 設(shè)物體在變力作用下,沿X軸由a點處移動到b處,求變力所做的功？由于力F(x)是變力,所求功是區(qū)間[]上均勻分布的整體量,故可以用定積分來解決,利用微元法,由于變力F(x)是連續(xù)變化的,故可以設(shè)想在微小區(qū)間[]上作用力保持不變（“常代變”求微元的思想）,按常力做功公式得這一段上變力F(x)做功的近似值. (1)把變力F（x）近似為恒力,大小方向都不變； (2)把曲線軌跡近似為直線軌跡，即看成直線運動,其位移記為,把每段內(nèi)的功近似恒力作用下做直線運動的功計算,則=F(x)近似處理后,再把沿整個路徑的所有運動小段內(nèi)力所做的元功加起來,就得到整個過程中力對質(zhì)點所做的功．由于表示位移趨于零,對元功積分,使得變力F(x)從a到b所做的功為 W= 在實際應(yīng)用中,許多問題都可以轉(zhuǎn)化為物體受變力作用沿直線所做的功的情形,下面通過具體例子來說明. 例： 把一個帶+q電量的點電荷放在r軸上的坐標(biāo)原點處,它產(chǎn)生一個電場,如果一個單位正電荷放在這個電場中距離原點為r的地方,那么電場對它的作用力的大小為.試計算：當(dāng)這個單位正電荷在電場中從r=a處沿r軸移動到r=b處時,電場力F對它所做的功.解：注意到將單位正電荷在r軸上從點a移動到點b的過程中,電場對該單位正電荷的作用力是變化的,問題可歸結(jié)為變力沿直線做功的情形處理. 取r為積分變量,其變化區(qū)間為［a，b］,任取微元［，］,當(dāng)單位正電荷從r移動到時,電場力對它所做的功近似等于, 即功微元為 從而所求功為 在計算電場中某點的電位時,要考慮將單位正電荷從該點（r=a）移動到無窮遠(yuǎn)處時電場力所做的功W,此時有 . 研究液體的壓力 我們學(xué)習(xí)物理學(xué)知道在液體下深度為h處的壓強為(其中是液體的密度,重力加速度).如果有一面積為S的薄板水平地置于深度為h處,那么薄板乙側(cè)所受的液體壓力計算,但是在實際問
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