【正文】 是 x xfxxfxy xx ? ?????? ???? )()(limlim 0000 ， 我們稱它為函數(shù) )(xfy? 在 0xx? 處的導(dǎo)數(shù)，記作 xf(39。y |oxx?,即 )(0xf = x xfxxfxy xx ? ?????? ???? )()(limlim 0000 例 7（ 2020 海南） 曲線 yey? x 12 ?? x 在 )1,0( 處的切線方程 解 yey? x 12??x ，則 ey?39。y | 0?x 3? 故在點 )1,0( 處的切線方程為 xy 31?? ,即 13 ?? xy . 例 8 求函數(shù) 12 2?? xy 在 [ 0x , 0x + x? ]內(nèi)的平均變化率 . 解 ? 0(xfy? + )() xfx ?? = [ 0(2x + x? ) 2 ]1? — （ x2 02 +1） =4 0x x? +2 2)( x? 所以 xy?? =[4 0x x? +2 2)( x? ]∕x? =4 0x +2 x? . 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 為了方便，今后我們直接使用下面的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 . 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 2020 屆畢業(yè)論文 5 1 若 ?)(xf c(c 為常數(shù) )，則 ?)(39。 xf 1??x 。 xf xcos 。 xf xsin? 。 xf a x aln 。 xf e x 。 xf axln1 。 xf x1 。()([ xgxf ? = )(39。 xgxf ? . 2 )]39。)()()(39。)( )([ xgxf= )]()(39。[ xfxgxgxf ? )(/ xg 2 xg(( ≠)0 ) . 4 ?)]39。()]39。 解 )(39。111 22 xxxx ???? = ???????????? 22 1111xxxx =211x? . 導(dǎo)數(shù)在函數(shù)的應(yīng)用 函數(shù)是描述描述客觀世界規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，研究函數(shù)時，了解函數(shù)的增與減，增減的快與慢以及函數(shù)的最大值或最小值等性質(zhì)是非常重要的，通過研究函數(shù)的這些性質(zhì)，我們可以對數(shù)量的變化規(guī)律有一個基本的了解，科學(xué)家們對數(shù)量的變化規(guī)律進(jìn)行長數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 2020 屆畢業(yè)論文 6 期的研究，導(dǎo)致了微積分的創(chuàng)立 . 1 單調(diào)性與導(dǎo)數(shù) 一般地，函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)有關(guān) . 在某區(qū)間 ),( ba 內(nèi)，如果 )(39。 xf 0? , 那么函數(shù) )(xfy? 在這個區(qū)間上單調(diào)遞減 . 求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟 . (1)確定函數(shù) )(xf 的定義域 . (2)求導(dǎo)數(shù) )(39。 xf 0? （ )(39。 xf 0? 時， )(xf (4)在相應(yīng)的區(qū)間上是減函數(shù)；當(dāng) )(39。 xf 在方程 )(39。 ?? xxf ，令 01ln ??x ，得 ex /1? ． 又因為 由表中可知， ex 1? 為函數(shù) )(xf 的極小值點， ey 1??極?。? 當(dāng) ex??0 時， 0)( ?xf ，所以在區(qū)間 ],0( e 上最大值為 ，最小值為 e1? . 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 2020 屆畢業(yè)論文 7 例 11（ 2020 年全國卷） 設(shè)2() 1xefx ax? ? ，其中 a 為正實數(shù) . )1( 當(dāng) a 43? 時，求 ()fx的極值點； )2( 若 ()fx為 R 上的單調(diào)函數(shù)，求 a 的取值范圍 . 解 對 )(xf 求導(dǎo)得222)1( 21)( ax axaxexf x ? ????. )1( 當(dāng) 34?a 時，若 0)( ?? xf ，則 0384 2 ??? xx ，解得 21,23 21 ?? xx ,可知 x )21,(?? 21 )23,21( 23 ),23( ?? )(xf? + 0 _ 0 + )(xf ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ 所以， 231?x是極小值點， 212?x是極大值點 . )2( 若 )(xf 為 R 上的單調(diào)函數(shù)，則 )(xf? 在 R 上不變號，結(jié)合 1 與條件 0?a ，知 0122 ??? axax , 0)1(444 2 ?????? aaaa , 在 R 上恒成立，因此，由此 并結(jié)合 0?a ，知 10 ??a . 例 12（ 2020 江蘇文科） 已知 ab， 是實數(shù)， 1和 1? 是函數(shù) 32()f x x ax bx? ? ?的兩個極值點． )1( 求 a 和 b 的值； )2( 設(shè)函數(shù) ()gx的導(dǎo)函數(shù) ( ) ( ) 2g x f x? ??，求 ()gx的極值點； 解 )1( 由 32()f x x ax bx? ? ?，得 2( ) 3 2f39。 a b? ? ? ， ( 1) 3 2 = 0f39。 23 ???????? xxxxxfxg ， 解得 2,1 321 ???? xxx . 當(dāng) 2??x 時， 0)(39。 ?xg , 2??x 是 )(xg 的極值點 . 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 2020 屆畢業(yè)論文 8 當(dāng) 12 ??? x 或 1?x 時， 0)(39。 ???? xxaxf ，所以 01064)3(39。( ) 3 1 2h x x x?? ? ?，記 12 21( ) 3 1 2x x x? ?? ? ?，則 32139。( ) 0x? ? ，因此 ()x? 在 (0, )?? 上單調(diào)遞增，則 ()x? 在 (0, )?? 內(nèi)至多只有一個零點 .又因為 3(1) 0, ( ) 03????，則 ()x? 在 3( ,1)3 內(nèi)有零點，所以 ()x? 在(0, )?? 內(nèi)有且只有一個零點 .記此零點為 1x ，則當(dāng) 1(0, )xx? 時， 1( ) 39。( ) 0xx????,所以 當(dāng) 1(0, )xx? 時， ()hx單調(diào)遞減，而 (0) 0h ? ，則 ()hx在 1(0, ]x 內(nèi)無零點； 當(dāng) 1( , )xx? ?? 時， ()hx單調(diào)遞增， 則 ()hx在 1( , )x ?? 內(nèi)至多只有一個零點； 從而在 (0, )?? 內(nèi)至多只有一個零點 .綜上所述， ()hx有且只有兩個零點 . 例 15（ 2020 天津文 21） 設(shè)函數(shù) 0),(,)1(31)( 223 ??????? mRxxmxxxf 其中 （ 2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值 . 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 2020 屆畢業(yè)論文 9 （ 3）已知函數(shù) ??xf 有三個互不相同的零點 21,0 xx 且 21 xx? .若對任意的 ? ?21,xxx? ? ? ??1fxf ? 恒成立，求 m 的取值范圍 . 解 （ 2） ? ? 12 22 ??????? mxxxf ，令 ? ? 0??xf ，得到 mxmx ???? 1,1 21 因為 mmm ???? 11,0 所以 ，當(dāng) x 變化時， ? ? ? ?xfxf ?, 的變化情況如下表 x )1,( m??? m?1 )1,1( mm ?? m?1 ),1( ???m )(39。 2 22 32 ??????? nnnn nnnnf . 當(dāng) 1? n? 5 時， 0)(39。 ?nf ， 故 675)5()( m in ?? fnf . 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 2020 屆畢業(yè)論文 11 導(dǎo)數(shù)在代數(shù)式中的應(yīng)用 用微積分知識證明恒等式的實質(zhì)是將等式問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)問題，進(jìn)而求導(dǎo)證明恒等關(guān)系，依據(jù) cxgxfxgxf ???? )()()(39。 ． 例 18 證明 ???? 2c osc os3c oss in3s in 333 ?? a 證 設(shè) ??? 33 c o s3c o ss in3s in)( axf ?? xxg 2cos)( 3? xxxxxxxxxxxf 3s i nc o s33c o ss i nc o s3c o ss i n3s i n3s i n3c o s3)(39。 2?? 故 cxgxfxgxf ???? )()()(39。 , 又 0?x 時， 1)0()0( ??gf ．從而 039。 ?xf ； )2( 若對所有 0?x 都有 axxf ?)(39。 ?xf ．（當(dāng)且僅當(dāng) 0x? 時，等號成立） . )2( 令 ( ) ( )g x f x ax??，則 ( ) ( ) e exxg x f x a a???? ? ? ? ?. 1 若 2?a ，當(dāng) 0x? 時， 02)(39。 ??? xxxv ? ?3604612 ??? xx ? ?? ?361012 ??? xx 令 ? ? 0??xv ,得 36,10 21 ?? xx （舍去） 當(dāng) 100 ??x 時， ? ? 0??xv ，那么 ??xv 為增函數(shù) . 當(dāng) 2410 ??x 時， ? ? 0??xv 那么 ??xv 為減函數(shù) . 因此，在定義域 )24,0( 內(nèi)，函數(shù)只有當(dāng) x 取得 10 時有最大值，其最大值為 ? ? ? ?? ? 31 9 0 0204820901010 cmv ????? . 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 2020 屆畢業(yè)論文 13 答 當(dāng)容器的高為 cm10 時，容器的容積最大，最大容積為 cm1900 3 . 例 21（ 2020 年山東卷） 某企業(yè)擬建造如圖所示的容器（不計厚度，長度單位：米），其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設(shè)計要求容器的容積為 803? 立方米，且 2lr? .假設(shè)該容器的建造費用僅與其表面積有關(guān) .已知圓柱形部分每平方米建造費用為 3 千元，半球形部 分每平方米建造費用為 ( 3)cc? 千元 .設(shè)該容器的建造費用為 y 千元 . ??1 寫出 y 關(guān)于 r 的函數(shù)表達(dá)式，并求該函數(shù)的定義域； ??2 求該容器的建造費用最小值時的 r . 解 ??1 設(shè)容器的容積為 V . 由題意知 2343V r l r????，又 803V ?? ， 故 32 2 24 8 0 4 4 2 03()3 3 3Vrl r rr r r???? ? ? ? ? 由于 2lr? ， 因此 02r?? . 所以建造費用 2224 2 02 3 4 2 ( ) 3 43y r l r c r r r cr? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?. 因此 2 1604 ( 2 ) , 0 2y c r rr ??? ? ? ? ? ??2 由 ??1 得， 3221 6 0 8 ( 2 ) 2 039。 ( ) ( )cy r m r r m mr? ?? ? ? ?. 1 當(dāng) 02m??即 92c? 時，當(dāng) rm? 時， 39。 當(dāng) (0, )rm? 時， 39。 當(dāng) ( ,2)rm? 時， 39。0y? ，函數(shù)單調(diào)遞減， 所以， 2r? 是函數(shù) y 的最小值點 . 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 2020 屆畢業(yè)論文 14 綜上所述，當(dāng) 93 2c?? 時，建造費用最小時 2r? . 當(dāng) 92c? 時，建造費用最小時 3 202r c? ?. 【規(guī)律方法】 再求 實際問題中的最大值或最小值時，確定自變量，因變量，建立 數(shù)關(guān)系式，并確定 . 恒成立性問題的應(yīng)用 例 22 (2020 安徽卷 ) 設(shè) 0?a ， 1ln2ln)( 2 ??? xaxxf )0( ?x ??1 令 )(39。 xF ? 0 + )(xF ↓ 極小值 )2(F ↑ 故知 )(xF 在 )2,0( 內(nèi)是減函數(shù)，在 ),2( ?? 內(nèi)是增函數(shù)，所以，在 2?x 處取得極小值aF 22ln2)2( ??? . ??2 證明 由 .022In2)2()(0 ????? aFxFa 的極小值知，