【正文】 ?f 有 , 22?a 從而 , 1?a . ??2 由 ??1 知， 2( ) ( 0 )xeg x kxk??? , 2 22( 2 )( ) ( 0 )()xe x x kg x kxk??? ??? 令 2( ) 0 , 2 0g x x x k? ? ? ? ?有 . 1 當 ,044 ?? k 即當 1?k 時， 0)(39。 xf x1 ? 0 , ),0( ???x .因此 ,函數(shù)在 ),0( ???x .上是凹函數(shù) ,由凹函數(shù)的定義有 12()2xxf ? ? 12( ) ( )2f x f x? 即 2ln2 yxyx ?? ? 2 lnln yyxx ? ,所以 數(shù)學與統(tǒng)計學院 2020 屆畢業(yè)論文 20 )lnln( yyyx ? ? 2ln)( yxyx ?? . 利用函數(shù)的凹凸性來證明不等式就是根據(jù)函數(shù)凹凸性定義中的不等式關系 ,即12()2xxf ? ? 12( ) ( )2f x f x? 或 12()2xxf ? ? 12( ) ( )2f x f x? , 構造一個凸函數(shù)或凹函數(shù)來證明 . 微積分在高中數(shù)學競賽中的應用 例 31 (浙江省競賽題 )已知函數(shù) axxxf ??? 3)( 在（ 0， 1）上是增函數(shù) . ??1 求實數(shù) a 的取值集合 A. ??2 當 a 取 A 中最小值時，定義數(shù)列 }{na 滿足： )(2 1 nn afa ?? ，且 bba )(1,0(1 ? 為常數(shù)），試比較 nn aa 與1? 的大小 . ??3 在 ??2 的條件下，問是否存在正實數(shù) C，使 20 ???? ca cann對一切 Nn? 恒成立？ 解 ??1 設 ))(()()(,10 222121122121 axxxxxxxfxfxx ????????? 則 由題意知 0)()( 21 ?? xfxf ，且 012 ??xx . 因 )3,0(, 222121222121 ?????? xxxxaxxxx 則 故 }3|{,3 ??? aaAa 即 . （ 解法 2 )1,0(,03)( 2 ?????? xaxxf 對恒成立，求出 3?a ） . ??2 當 a=3 時，由題意 )1,0(,2321131 ?????? baaaa nnn 且 以下用數(shù)學歸納法證明 ??? Nnan 對),1,0( 恒成立 . 1 當 1?n 時， )1,0(1 ??ba 成立； 2 假設 n=k 時， )1,0(?ka 成立，那么當 1??kn 時， kkk aaa 2321 31 ???? ，由 1 知)3(21)( 3 xxxg ??? . 在（ 0， 1）上單調遞增， 10)1()()0( 1 ???? ?kk agagg 即，由 1 2 知對一切 ??Nn都有 )1,0(?na ,而 數(shù)學與統(tǒng)計學院 2020 屆畢業(yè)論文 21 0)1(212121 231 ???????? nnnnnn aaaaaa nn aa ??1 ??3 若存在正實數(shù) c，使 20 ???? ca cann 恒成立 .令 ,21 cx ccx cxy ?????? 在 ),( ??c 上是減函數(shù)，故nnn aca ca 隨著??增大而減小，又 }{na 為遞增數(shù)列，所以要使20 ???? ca cann 恒成立，只須 30,30201111 bcaccacaca??????????????即. 例 32 (全國競賽題 )已知 )(22)(2 Rxx axxf ????在區(qū)間 [－ 1， 1]上是增函數(shù) . ??1 求實數(shù) a 的值所組成的集合 A. ??2 設關于 x 的方程 xxf 1)( ? 的兩根為 1x , 2x ，試問 是否存在實數(shù) m，使得不等式||1 212 xxtmm ???? 對任意 ]1,1[??? tAa 及 恒成立？若存在，求出 m 的取值范圍；若不存在，請說明理由 解 ??1222)2( )2(2)( ? ????? x axxxf ]1,1[)( ?在xf 是是增函數(shù) ]1,1[,0)( ???? xxf 對 恒成立 . 設 110)1( 0)1(,2)( 2 ??????? ?? ???? aaxxx ??? 則有. )(],1,1[ xfx ??對 是連續(xù)函數(shù)，且只有當 0)1(,1 ???? fa 時 ， 以及當 }11|{,0)1(,1 ???????? aaAfa 時 . ??2 由 02,122 22 ?????? axxxx ax 得 , 212 ,08 xxa ???? 是方程 022 ???axx 的兩實根 , ??? ???? 22121xx axx 數(shù)學與統(tǒng)計學院 2020 屆畢業(yè)論文 22 從而 84)(|| 22122121 ?????? axxxxxx 8||11 221 ?????? axxa , 要 使 不 等 式 ||1 212 xxtmm ???? 對任意 ]1,1[??? tAa 及 恒 成 立 ， 當 且 僅 當]1,1[312 ????? ttmm 對任意 恒成立，即 022 ???tmm 對任意 ]1,1[??t 恒成立 . 設 22)( 22 ?????? mmttmmtg 則有 222)1(02)1(22 ???????????????? mmmmgmmg 或. 故 存在 m ，其范圍為 }22|{ ??? mmm 或 . 微積分在高考中的應用 例 33 已知函數(shù) xxf ?)( )ln2(2 xax ?? )0( ?a.討論 )(xf 的單調性 . 求出 )(39。()fx? x?112)1( 1x??=2)1( xx?0? , 且 0)( ?xf ,所以函數(shù)在 (0 , + ∞) 內單調增加 ,因此)1ln( x? xx??1 ? 0, 即 )1ln( x? ? xx?1 。39。f ξ) 0? . 定理 2（拉格朗日中值定理）設函數(shù) )(xf 滿足條件 ??1 在閉區(qū)間 ],[ ba 上連續(xù)； ??2 在開區(qū)間 ),( ba 內可導； 則在 ),( ba 內至少存在一個點 ? ，使得 (39。0y? ，函數(shù)單調遞減， 所以， 2r? 是函數(shù) y 的最小值點 . 數(shù)學與統(tǒng)計學院 2020 屆畢業(yè)論文 14 綜上所述，當 93 2c?? 時，建造費用最小時 2r? . 當 92c? 時，建造費用最小時 3 202r c? ?. 【規(guī)律方法】 再求 實際問題中的最大值或最小值時，確定自變量，因變量，建立 數(shù)關系式，并確定 . 恒成立性問題的應用 例 22 (2020 安徽卷 ) 設 0?a ， 1ln2ln)( 2 ??? xaxxf )0( ?x ??1 令 )(39。 當 (0, )rm? 時， 39。 ??? xxxv ? ?3604612 ??? xx ? ?? ?361012 ??? xx 令 ? ? 0??xv ,得 36,10 21 ?? xx （舍去） 當 100 ??x 時， ? ? 0??xv ，那么 ??xv 為增函數(shù) . 當 2410 ??x 時， ? ? 0??xv 那么 ??xv 為減函數(shù) . 因此，在定義域 )24,0( 內，函數(shù)只有當 x 取得 10 時有最大值，其最大值為 ? ? ? ?? ? 31 9 0 0204820901010 cmv ????? . 數(shù)學與統(tǒng)計學院 2020 屆畢業(yè)論文 13 答 當容器的高為 cm10 時，容器的容積最大，最大容積為 cm1900 3 . 例 21（ 2020 年山東卷） 某企業(yè)擬建造如圖所示的容器（不計厚度，長度單位：米），其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設計要求容器的容積為 803? 立方米，且 2lr? .假設該容器的建造費用僅與其表面積有關 .已知圓柱形部分每平方米建造費用為 3 千元，半球形部 分每平方米建造費用為 ( 3)cc? 千元 .設該容器的建造費用為 y 千元 . ??1 寫出 y 關于 r 的函數(shù)表達式，并求該函數(shù)的定義域； ??2 求該容器的建造費用最小值時的 r . 解 ??1 設容器的容積為 V . 由題意知 2343V r l r????，又 803V ?? ， 故 32 2 24 8 0 4 4 2 03()3 3 3Vrl r rr r r???? ? ? ? ? 由于 2lr? ， 因此 02r?? . 所以建造費用 2224 2 02 3 4 2 ( ) 3 43y r l r c r r r cr? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?. 因此 2 1604 ( 2 ) , 0 2y c r rr ??? ? ? ? ? ??2 由 ??1 得， 3221 6 0 8 ( 2 ) 2 039。 ?xf ； )2( 若對所有 0?x 都有 axxf ?)(39。 2?? 故 cxgxfxgxf ???? )()()(39。 ?nf ， 故 675)5()( m in ?? fnf . 數(shù)學與統(tǒng)計學院 2020 屆畢業(yè)論文 11 導數(shù)在代數(shù)式中的應用 用微積分知識證明恒等式的實質是將等式問題轉化成函數(shù)問題，進而求導證明恒等關系，依據(jù) cxgxfxgxf ???? )()()(39。( ) 0xx????,所以 當 1(0, )xx? 時， ()hx單調遞減，而 (0) 0h ? ，則 ()hx在 1(0, ]x 內無零點； 當 1( , )xx? ?? 時， ()hx單調遞增， 則 ()hx在 1( , )x ?? 內至多只有一個零點； 從而在 (0, )?? 內至多只有一個零點 .綜上所述， ()hx有且只有兩個零點 . 例 15（ 2020 天津文 21） 設函數(shù) 0),(,)1(31)( 223 ??????? mRxxmxxxf 其中 （ 2）求函數(shù)的單調區(qū)間與極值 . 數(shù)學與統(tǒng)計學院 2020 屆畢業(yè)論文 9 （ 3）已知函數(shù) ??xf 有三個互不相同的零點 21,0 xx 且 21 xx? .若對任意的 ? ?21,xxx? ? ? ??1fxf ? 恒成立，求 m 的取值范圍 . 解 （ 2） ? ? 12 22 ??????? mxxxf ，令 ? ? 0??xf ，得到 mxmx ???? 1,1 21 因為 mmm ???? 11,0 所以 ，當 x 變化時， ? ? ? ?xfxf ?, 的變化情況如下表 x )1,( m??? m?1 )1,1( mm ?? m?1 ),1( ???m )(39。( ) 3 1 2h x x x?? ? ?，記 12 21( ) 3 1 2x x x? ?? ? ?，則 32139。 ?xg , 2??x 是 )(xg 的極值點 . 數(shù)學與統(tǒng)計學院 2020 屆畢業(yè)論文 8 當 12 ??? x 或 1?x 時， 0)(39。 a b? ? ? ， ( 1) 3 2 = 0f39。 xf 在方程 )(39。 xf 0? （ )(39。111 22 xxxx ???? = ???????????? 22 1111xxxx =211x? . 導數(shù)在函數(shù)的應用 函數(shù)是描述描述客觀世界規(guī)律的重要數(shù)學模型，研究函數(shù)時，了解函數(shù)的增與減，增減的快與慢以及函數(shù)的最大值或最小值等性質是非常重要的，通過研究函數(shù)的這些性質，我們可以對數(shù)量的變化規(guī)律有一個基本的了解，科學家們對數(shù)量的變化規(guī)律進行長數(shù)學與統(tǒng)計學院 2020 屆畢業(yè)論文