微積分在物理學(xué)上應(yīng)用-wenkub.com
2025-04-01 02:24 本頁(yè)面
【正文】 解：在圓環(huán)上取一線元dl，其上電荷可視為點(diǎn)電荷，在圓心O處產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)大小為 dE0=λdl4πε0R2=λ0cosφRdφ4πε0R2 =λ0cosφdφ4πε0R 其方向如圖（3）所示 又 dE0=dExi+dEyj =dEcos(φ+π)i+dEsin(φ+π)j =dEcosφidEsinφj所以 E0=dEcosφidEsinφj =λ0cosφ2dφ4πε0Riλ0cosφsinφdφ4πε0R (3) =λ04ε0Ri圓心0處的電勢(shì)為 V0=dV0=02πλdl4πε0R=02πλ0cosφdφ4πε0R=0例2:如圖所示，一半徑為R的均勻帶電圓盤，電荷面密度為σ0，在其軸線上有一點(diǎn)電荷q00，距盤中心為x，求二者的相互作用能。該題利用角動(dòng)量定理，再對(duì)其進(jìn)行積分，以此求出速度v。解：應(yīng)用積分轉(zhuǎn)動(dòng)定律，當(dāng)桿轉(zhuǎn)動(dòng)到如圖（1）的位置時(shí) 有 M合=Iβ其中M合=mgl4cosθ+2mg34lcosθmgl4cosθ =32mglcosθ (1)I為各物體對(duì)軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和，即 I=[112ml2+ml4)2+2m(34l)2+m(l4)2 =43ml2結(jié)合上述式子 M合=Idωdt=Idθdθdωdt=Idθdθdtdω=Iωdωdθ即 θ0π232mglcosθdθ=0ωd(12?43ml2ω2)得到 ω=32gl(1+sinθ0)質(zhì)心速度為 vc=l4ω=38lg?(1+sinθ0)質(zhì)心加速度為 ac=ω2l4=916g(1+sinθ0)在熟練掌握定理的同時(shí)運(yùn)用微積分來(lái)解答此類問(wèn)題是對(duì)我們是十分有幫助的，因此在解題過(guò)程中我們要把兩者結(jié)合好，才更有利于我們解決此類問(wèn)題。 解：如圖所示，設(shè)設(shè)船與輪子的距離為l,船的瞬時(shí)位移為x，由圖可知 x2=l2h2那么船的瞬時(shí)速度為v=dxdy=dl2h2dt=ddldtl2h2根據(jù)題意可知 v0=dldt所以 v=ll2h2v0在解決此類問(wèn)題時(shí)，我們要善于從幾何關(guān)系中找到質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程，而在一般情況下運(yùn)動(dòng)方程往往是t的隱函數(shù)形式。運(yùn)用微積分可以得出質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程以及他的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。，根據(jù)題意，對(duì)于一個(gè)暫態(tài)過(guò)程寫出一個(gè)平衡等式，然后對(duì)兩邊微分，在得到一個(gè)微元結(jié)果后，對(duì)這個(gè)分式進(jìn)行積分操作。選取微元要遵循以下幾個(gè)原則：，由于在題目中我們所
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