【正文】 x2時(shí)，若總有(1) f(x1)＜f(x2)，則稱函數(shù)f(x)在I上是單調(diào)增加的；(2) f(x1)＞f(x2)，則稱函數(shù)f(x)在I上是單調(diào)減少的.(x)在區(qū)間I上是單調(diào)函數(shù)，則稱I是該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.若沿著x軸的正方向看，單調(diào)增加函數(shù)的圖形是一條上升的曲線；單調(diào)減少函數(shù)的圖形是一條下降的曲線.3. 函數(shù)的周期性我們已經(jīng)知道，正弦函數(shù)y=sinx是周期函數(shù)，即有sin(x+2nπ)＝sinx， n＝177。3．掌握：經(jīng)濟(jì)函數(shù)的建立；復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程；極限的四則運(yùn)算法則；用兩個(gè)重要極限求極限。連續(xù)【本章教學(xué)目標(biāo)】通過本章的學(xué)習(xí)，使學(xué)生：1．了解：反函數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、有界性、周期性的概念；無窮小和無窮大的概念及其相互關(guān)系；閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。《應(yīng)用微積分》授課教案北京市經(jīng)濟(jì)管理干部學(xué)院 信息系第一章 函數(shù)極限2．理解：函數(shù)、基本初等函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、初等函數(shù)、分段函數(shù)的概念；極限的描述性定義；無窮小的性質(zhì)；函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的概念。函數(shù)；函數(shù)的極限和連續(xù)性的基本知識(shí)是研究微分學(xué)和積分學(xué)所必須具備的.本章講述函數(shù)概念、函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)；介紹極限概念及其運(yùn)算；討論函數(shù)連續(xù)性概念和連續(xù)函數(shù)的性質(zhì).167。1，177。2π，177。2T，177。 初等函數(shù)一、 基本初等函數(shù)基本初等函數(shù)通常是指以下六類函數(shù)： 常量函數(shù)，冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)和反三角函數(shù).1. 常量函數(shù)y=C (常數(shù))，x∈(∞，+∞)，其圖形見圖19. 圖192. 冪函數(shù) (α為實(shí)數(shù)).該函數(shù)的定義域隨α而異，但不論α取何值，它在區(qū)間(0，+∞)內(nèi)總有定義，且其圖形均過點(diǎn)(1，1).例如當(dāng)α=1時(shí)，y=x,x∈(∞,+∞)，見圖110. 圖110 圖111當(dāng)α=2時(shí)，y=,x∈(∞,+∞)，見圖14.當(dāng)α=3時(shí)，y=,x∈(∞,+∞)，見圖13.當(dāng)α=1時(shí)，y=,x∈(∞,0)∪(0,+∞)，見圖111.3. 指數(shù)函數(shù) (a＞0，a≠1)，x∈(∞，+∞)， y∈(0,+∞).該函數(shù)，當(dāng)a1時(shí)，是單調(diào)增加的；當(dāng)a1時(shí)，＝1，且總有y0，所以，指數(shù)函數(shù)的圖形過y軸上的點(diǎn)(0，1)且位于x軸的上方(圖112). 圖112 圖113本課程，e≈….4. 對(duì)數(shù)函數(shù) (a0,a≠1),x∈(0,+∞), y∈(∞,+∞).1時(shí)，是單調(diào)增加的；當(dāng)a1時(shí)，是單調(diào)減少的，因=0且總有x0，所以，它的圖形過x軸上的點(diǎn)(1，0)且位于y軸的右側(cè)(圖113).本課程，常用以e為底的對(duì)數(shù)函數(shù)y=lnx，稱之為自然對(duì)數(shù).5. 三角函數(shù)三角函數(shù)是如下六種函數(shù)的統(tǒng)稱，分別為：(1)正弦函數(shù)y=sinx, x∈(∞,+∞), y∈［1,1］. (2)余弦函數(shù)y=cosx, x∈(∞,+∞), y∈［1,1］. (3)正切函數(shù),n=0,177。2，…，y∈(∞,+∞).(4)余切函數(shù)y=cotx, x≠nπ, n=0,177。2，…，y∈(∞,+∞).(5)正割函數(shù).(6)余割函數(shù).其中，y=sinx(圖15)與y=cosx(圖114)都是以2π為周期的周期函數(shù)，且都是有界函數(shù)：|sinx|≤1, |cosx|≤1. 圖114y=sinx是奇函數(shù)，y=cosx是偶函數(shù).y=tanx(圖115)與y=cotx(圖116)都是以π為周期的周期函數(shù)，且都是奇函數(shù). 圖115 圖1166. 反三角函數(shù)： (1)反正弦函數(shù) y=arcsinx, x∈［1,1］, y∈. (2)反余弦函數(shù) y=arccosx, x∈［1,1］, y∈［0，π］.(3)反正切函數(shù)y=arctanx,x∈(∞,+∞), y∈. (4)反余切函數(shù)y=arccotx, x∈(∞,+∞), y∈(0，π).=sinx在其定義域(∞,+∞)內(nèi)不具備單調(diào)性，則它是單調(diào)增加的，稱為反正弦函數(shù)的主值(圖117)，記作y=arcsinx， x∈［1，1］，其值域是區(qū)間. 圖117 圖118 圖119類似地，函數(shù)y=cosx,y=tanx,y=cotx分別在其單調(diào)區(qū)間［0，π］， (0，π)內(nèi)得到相應(yīng)的反余弦函數(shù)y=arccosx(圖118)，反正切函數(shù)y=arctanx(圖16)，反余切函數(shù)y=arccotx(圖119).二、 復(fù)合函數(shù)對(duì)函數(shù)，x是自變量，對(duì)給定的x值，應(yīng)先計(jì)算sinx；若令u=sinx，再由已求得的u值計(jì)算，便得到y(tǒng)值：y=.這里，可把y=理解成y是u的函數(shù)；把u==sinx代入函數(shù)y=，函數(shù)就是由y=和u=sinx這兩個(gè)函數(shù)復(fù)合在一起構(gòu)成的，稱為復(fù)合函數(shù). 已知兩個(gè)函數(shù)y=f(u), u∈D1, y∈Z1,u=φ(x), x∈D2, u∈Z2,則函數(shù)y=f(φ(x))是由函數(shù)y=f(u)和u=φ(x)(u)是外層函數(shù)，稱φ(x)是內(nèi)層函數(shù)，稱u為中間變量.函數(shù)y=f(φ(x))看作是將函數(shù)φ(x)代換函數(shù)y=f(u)中的u得到的.復(fù)合函數(shù)不僅可用兩個(gè)函數(shù)復(fù)合而成，也可以由多個(gè)函數(shù)相繼進(jìn)行復(fù)合而成.例1 已知函數(shù)y=f(u)= , u=φ(x)=tanx，則函數(shù)就是由已知的兩個(gè)函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù).例2已知函數(shù)，則函數(shù)就是由已知的三個(gè)函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù).需要指出，只有當(dāng)內(nèi)層函數(shù)u=φ(x)的值域Z2與外層函數(shù)y=f(u)的定義域D1的交集非空時(shí)，即Z2∩Ｄ１≠時(shí)，這兩個(gè)函數(shù)才能復(fù)合成復(fù)合函數(shù)y=f(φ(x)).例如，函數(shù)y=lnu，u∈(0,+∞)， y∈(∞，+∞)，u=，x∈(∞，+∞)， u∈(∞，0).雖然能寫成y=ln()，(∞，0)∩(0,+∞)＝. ，今后經(jīng)常要將一個(gè)給定的函數(shù)看成是由若干個(gè)基本初等函數(shù)復(fù)合而成的形式，從而把它分解成若干個(gè)基本初等函數(shù).例3 下列函數(shù)由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成?(1) y=； (2) y=.解 (1) 由內(nèi)層函數(shù)向外層函數(shù)分解，就是按由x確定y的運(yùn)算順序進(jìn)行： 對(duì)給定的x，先計(jì)算冪函數(shù)，令v=；再由v計(jì)算正弦函數(shù)sinv,令u=sinv；最后，由u計(jì)算冪函數(shù)，得y=.于是，y=是由基本初等函數(shù)y=, u=sinv， v=復(fù)合而成.(2) 由外層函數(shù)向內(nèi)層函數(shù)分解，由最外層函數(shù)起，層層向內(nèi)進(jìn)行，直到自變量x的基本初等函數(shù)為止.令y=lnu(對(duì)數(shù)函數(shù))，則u=；令u=tanv(正切函數(shù))，則v=.因v= (冪函數(shù))已是自變量x的基本初等函數(shù)，所以，y=是由以下三個(gè)基本初等函數(shù)復(fù)合而成：y=lnu， u=tanv， v=.三、 初等函數(shù)由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和復(fù)合所構(gòu)成的函數(shù)，統(tǒng)稱為初等函數(shù).初等函數(shù)的構(gòu)成既有函數(shù)的四則運(yùn)算，又有函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算；我們必須掌握把初等函數(shù)按基本初等函數(shù)的四則運(yùn)算和復(fù)合形式分解.例4 將 函數(shù)y=按基本初等函數(shù)的復(fù)合與四則運(yùn)算形式分解 解 令y=lnu，則u=；于是y=由下列函數(shù)構(gòu)成：y=lnu，u=；.本課程研究的函數(shù)，主要是初等函數(shù).167。Q，Q取非負(fù)數(shù)，且，即未出售商品時(shí)，總收益的值為0.，記作AR，即AR＝＝(Q)＝P，它就是商品的價(jià)格.圖124四、 利潤(rùn)函數(shù)在假設(shè)產(chǎn)量與銷量一致的情況下，總利潤(rùn)函數(shù)定義為總收益函數(shù)R＝R(Q)與總成本函數(shù)C＝C(Q)，則總利潤(rùn)函數(shù)(簡(jiǎn)稱利潤(rùn)函數(shù))π＝π(Q)＝R(Q)C(Q).顯然，若產(chǎn)量為Q，當(dāng)R(Q)＞C(Q)時(shí)，為盈利，當(dāng)R(Q)＜C(Q)時(shí)，使得π()＝0，即R()＝C()，則稱為盈虧分界點(diǎn).167。 (2) 。 (4) 。 (6) 。 極 限 運(yùn) 算一、 極限運(yùn)算法則 (四則運(yùn)算法則) 設(shè)=A, =B，則(1) 代數(shù)和的極限 存在，且=177。B.(2) 乘積的極限存在，且=g(x)=(A+α)(B+β)＝AB+αB+βA+αβ.由無窮小的性質(zhì)知，αB+βA+αβ是無窮小.，便有=AB. (復(fù)合函數(shù)的極限) 設(shè)，則復(fù)合函數(shù)的極限存在，且.上式顯然可以寫成=.上式表明，求復(fù)合函數(shù)的極限時(shí)，函數(shù)符號(hào)“f”與極限符號(hào)“”可以交換，即極限運(yùn)算可移到內(nèi)層函數(shù)上去施行.例1 求.
解 由極限的四則運(yùn)算法則原式＝+3x4＝2+ 3x4＝2+3+32+4＝12≠0,用商的極限法則. 例3 求 .解 易看出，分母的極限為0，不能用商的極限法則，但分子的極限為4≠0，可將分式的分母與分子顛倒后再用商的極限法則，即＝0. 由無窮小與無窮大的倒數(shù)關(guān)系，得原式＝∞.例4 求 .解 顯然，→2時(shí)，分母、分子有以0為極限的公因子(x2).我們進(jìn)行因式分解,約去公因子,再求極限. 原式＝＝＝4. 例例例4的計(jì)算方法與結(jié)果，(x)是有理分式＝＝，在求 時(shí)，(1) 若 ≠0，則＝；(2) 若＝0，而≠0，則＝∞；(3) 若＝0且＝0，則，一定有以0為極限的()型公因子，將,因式分解，消去公因子后，再求極限.求分式的極限時(shí)，若分母與分子的極限都是0，通常稱為型未定式.例5 求 .解 分母、分子都以0為極限，這時(shí)可將分母、分子同乘上分子（）的有理化因子，再求極限.＝＝＝.例6 求.解 顯然，分母、分子的極限都不存在，將分母與分子同除以x的最高次冪，再用極限的四則運(yùn)算法則.原式＝＝.例7 求 .解 用除分母與分子，并利用例3的思路原式＝＝∞.由例6,例7，可得如下一般結(jié)論：若R(x)是有理分式，則＝＝求分式的極限時(shí)，若分母、分子的極限都是無窮大∞，通常稱為型未定式.例8 求 .解 當(dāng)x→0時(shí)，→0，而| |≤1，由無窮小與有界變量乘積的極限，有原式＝0. 二、 兩個(gè)重要極限1.極限＝1.當(dāng)?shù)孟卤恚簒1由表易看出，當(dāng)x取值越接近0，則相應(yīng)的的取值越接近1.綜上所述，可以看出，有第一個(gè)重要極限＝1.這個(gè)極限要作為一個(gè)公式來用，若在極限式中有三角函數(shù)或反正弦函數(shù)、反正切函數(shù)，且為型未定式，求極限時(shí)，常用到該公式.2極限＝e.： n110由表看出，該數(shù)列是單調(diào)增加的；若再仔細(xì)分析表中的數(shù)值會(huì)發(fā)現(xiàn)，隨著n增大，數(shù)列后項(xiàng)與前項(xiàng)的差值在減少，：＝，可以嚴(yán)格證明，該數(shù)列有極限，且＝e.將該極限中的n，改為實(shí)數(shù)x時(shí)，同樣有＝e.或?qū)懽鳎絜.這個(gè)極限，通常稱為第二個(gè)重要極限.由于當(dāng)x→∞時(shí)，→1，若limf(x)＝1,limg(x)＝∞，這看作是型未定式，?？紤]用第二個(gè)重要極限.例9 求 .解 注意到tanx＝，于是，由乘積的極限法則＝＝.例16 求.解 用對(duì)數(shù)性質(zhì)，并由復(fù)合函數(shù)的極限法則＝＝ln＝lne＝1.例17 證明 .證 .令t＝,則x＝ln(t+1),當(dāng)x→0時(shí)，t→0，故＝＝＝1.同樣方法可求得: .若將第二個(gè)重要極限中的自變量x換成x的函數(shù)φ(x)，則有公式＝e, ()或＝e. ()例18 求 .解 注意到x→0時(shí)，tanx→0，()，有原式＝＝＝.說明 這里,按公式()，應(yīng)寫成 原式＝.由于當(dāng)x→0時(shí)，tanx→0這是很顯然的事實(shí)，故按上述寫法也可. 三、 復(fù)利與貼現(xiàn)作為公式 ＝e在經(jīng)濟(jì)方面的應(yīng)用，在此介紹復(fù)利與貼現(xiàn)問題.1． 復(fù)利公式現(xiàn)有本金，以年利率r貸出，若以復(fù)利計(jì)息，t年末將增值到，試計(jì)算.所謂復(fù)利計(jì)息，就是將每期利息于每期之末加入該期本金，就是利滾利.若以年為1期計(jì)算利息，一年終的本利和為＝（１＋r）,二年末的本利和為＝（１＋r）＝（１＋r）（１＋r）＝,類推，t年末的本利和為＝ ()若仍以年利率為r，一年不是計(jì)息1期，而是一年計(jì)息n期，易推得，t年末的本利和為＝. ()上述計(jì)息的“期”是確定的時(shí)間間隔，()可認(rèn)為是按離散