定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用(編輯修改稿)
2025-05-26 05:59 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 x ?? 、直線 cy ? 、 dy ? 及 y 軸所圍成的曲邊梯形 繞 y 軸旋轉(zhuǎn) 一周而成的立體，體積為 xyo)( yx ??cddyy 2)]([??? dcV ?ydyy?dV機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 【 例 8】 計(jì)算橢圓 12222?? byax繞 x軸及 y軸旋轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積 Vx， Vy． (ab0) 【 解 】 (1)繞 x軸旋轉(zhuǎn) 22 xaaby ??? ?? aax dxxaabV 222 )(?? ?? a dxxaa b 0 222 2 )( 2 ? 2 34 ab?? (2)繞 y軸旋轉(zhuǎn) 22 ybbax ??? ?? bbx dyybbaV 222 )(?? ?? b dyybb a 0 222 2 )( 2 ? ba 2 34?? 當(dāng) a=b=R時(shí)，即得球體的體積公式 V= 3 34 R?機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 【 例 9】 求由拋物線 y = x的 平面圖形，繞 y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積 Vy． 與 y=1和 y軸圍成 【 解 】 拋物線方程改寫為 x = y 2， y?[0， 1]． ?? 1 0 22 ])[( dyyV y ?551 0 51 0 4 ??? ??? ? ydyy機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 a? aoyx【 例 1 0 】 求星形線 323232ayx ?? )0( ?a 繞 x 軸旋轉(zhuǎn) 構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積 . 【 解 】 ,323232 xay ??? 332322???????? ??? xay],[ aax ??旋轉(zhuǎn)體的體積 dxxaV aa33232???????? ??? ?? .1 0 532 3a??機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 【 例 1 1 】 求擺線 )s in( ttax ?? ， )co s1( tay ??的一拱與 0?y 所圍成的圖形分別繞 x 軸、 y 軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積 . 【 解 】 繞 x 軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積 dxxyV ax )(220? ? ??? ? ????? 20 22 )c o s1()c o s1( dttata? ? ????? 20 323 )coscos3cos31( dtttta .5 32 a??a?2a?)(xy機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 繞 y 軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積 可看作平面圖 O A B C 與 O B C 分別繞 y 軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積之差 . dyyxV ay )(220 2?? ? dyyxa )(220 1?? ?oyxa?2 ABCa2 )(2 yxx ?)(1 yxx ?? ?? ???? 2 22 s i n)s i n( t d tatta? ? ???? 0 22 s i n)s i n( t d tatta? ? ??? 20 23 s i n)s i n( t d ttta .6 33a??機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線 )( xfy ? 、直線ax ? 、 bx ? 及 x 軸所圍成的曲邊梯形繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，體積為 【 補(bǔ)充 】 dxxfxV bay |)(|2 ???利用這個(gè)公式，可知上例中 dxxfxV ay |)(|2 20? ???? ? ?????? 20 )]s i n([)c o s1()s i n(2 ttadtatta? ? ???? 20 23 )c o s1)(s i n(2 dtttta .6 33a??—— 柱殼法 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 【 例 1 2 】 求由曲線 24 xy ?? 及 0?y 所圍成的圖形繞直線 3?x 旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積 . 【 解 Ⅰ 】 取積分變量為 y , ]4,0[?y體積元素為 dyQMPMdV ][ 22 ????dyyy ])43()43([ 22 ????????,412 dyy???dyyV ? ???? 40 412 .64??3dyP Q M【 注意 】 本題易犯的一個(gè) 錯(cuò)誤 是 dyQMPMdV ])([ 2?? ?
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