定積分在幾何學上的應用(1)(編輯修改稿)
2025-05-26 06:12 本頁面
【文章內容簡介】 ?2)s i n( ttax ??變量代換 0?20a?2tta d)c o s1( ?? 22 )c o s1( ta ?)c o s1(),s i n( tayttax ????定積分的幾何應用 24 O xya?2a?a2o?yV yyx d)(21?? ?)(2 yxx ??? ?繞 y軸 旋轉的旋轉體體積 ABC可看作平面圖 OABC 與 OBC 分別繞 y軸 旋轉構成的旋轉體的體積之差 . yyx d)(22? ????????)c os1()s i n(tayttax擺線 22 )s in( tta ? tta ds in??2?22 )s in( tta ? tta ds in?????00 )(Aa2 )(B0 )(Oa2 )(B)(1 yxx ?? ??? ?? 20 23 dsi n)si n( tttta? ??? ?20 322 d)s i ns i n2s i n( tttttt??? tu令 .6 33 a??定積分的幾何應用 25 例 9 求由曲線 ? ?s i n 0y x x ?? ? ?與 x軸所圍的圖形分別繞 x軸和 y軸 及 y=1 旋轉而成的立體的體積 . 20( 1 ) xV y dx??? ?22??? ?11 2 200( 2) a r c si n a r c si nyV y dy y dy? ? ?? ? ???22??定積分的幾何應用 26 或 ,選 x為積分變量 , 02yV xyd x??? ?22??(3) 平移坐標 ? ? ? ?221 001 si n 1yV d x x d x????? ? ? ? ???242????定積分的幾何應用 27 解 取坐標如圖所示 . 圓的方程為 222 )( rRyx ???o x y R ? 和下半圓下的曲邊梯形 兩個旋轉體的體積之差 . ?? ??? r r xxrR d)( 222??V例 10 xxrRr r d)( 222?? ???22 xrRy ???22 xrRy ???所求圓環(huán)體可看成是 上半圓下的 曲邊梯形 繞 x軸 旋轉一周 . r? r條直線的圓繞同平面內圓外一求半徑為 r設圓心到直線的旋轉成的圓環(huán)體的體積 .).( rRR ?距離為定積分的幾何應用 28 xxrR r r d4 22?? ?? ?xxrR r d8 0 22? ?? ?482rR ?? ?? 222 Rr?? 對稱性 四分之一圓面積 22 Rr????定積分的幾何應用 29 2. 平行截面面積為已知的立體的體積 上垂直于一定軸的各個截面面積 , xxAV d)(d ?.d)(?? xxAV立體體積 如果一個立體不是旋轉體 , 但卻知道該立體 的體積也可用定積分來計算 . 那么 ,這個立體 )(xA 表示過點 x 且垂直于 x軸的 截面面積 , )(xA為 x的已知連續(xù)函數(shù) . 采用元素法 體積元素 baa ?x bxx d?xO x)(xA定積分的幾何應用 30 解 ?取坐標系如圖 底圓方程 222 Ryx ??x,22 xRy ?? ,t a n22 ?xRh ??例 11 一平面經(jīng)過半徑為 R 的圓柱體的底圓中心 , 并與底面交成角 ,? 計算這平面截圓柱體所得 立體的體積 . 垂直于 x軸的截面為直角三角形 . 底 高 ?截面面積 ,t a n)(21)( 22 ?xRxA ??立體體積 .ta n32 3 ?R?hxxR dt a n)(21 22 ??R?? ba xxAV d)(02RR?Oxyh??V定積分的幾何應用 31 ?作一下垂直于 y軸 的截面是 截面長為 ,2x 寬為 .tan ?y矩形 截面面積 ?t a n2)( yxyA ???t a n2 22 yRy ???? yyAV d)(? ?? R yyRy0 22 dt a n2 ? .ta n32 3 ?R? 可否選擇 y作積分變量 ? 此時截面面積函數(shù)是什么 ? 如何用定積分表示體積 ? R0),( yxR?OxyR定積分的幾何應用 32 解 取坐標系如圖 底圓方程為 222 Ryx ??截面面積 ?)( xA立體體積 xxRhV RR d22?? ?? hR221 ??垂直于 x軸的截面為等腰三角形 例 12 ?? yh 22 xRh ?求以半徑為 R的圓為底、平行且等于底圓直徑 的線段為頂、高為 h的正劈錐體的體積 . xO xyR定積分的幾何應用 33 例 13 求心形線 )c o s1( ??? arxyO 2? ?1 c o sra ???繞極軸旋轉而成的立體的體積 . 利用參數(shù)方程 ? ?? ?c o s 1 c o s c o ss in 1 c o s s inx r ay r a? ? ?? ? ?? ? ???? ? ? ???002 0 02 2 21
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