平面幾何講座26題含答案(編輯修改稿)
2025-07-16 23:26 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 點(diǎn)為．求證：與平行．證明：首先指出，以下證明過程是在考慮線段有向性的情況下所寫，結(jié)果不依賴于圖形的位置關(guān)系．設(shè)交直線于點(diǎn)，則顯然、在的一側(cè)，、在的另一側(cè)．因?yàn)闉閮蓤A的公切線，所以由切割線定理得，所以．考慮線段有向性，上式可記為． ①由直線截得； ②由直線截得． ③根據(jù)①、②、③可得，從而與平行．12. 設(shè)D是的邊BC上的一點(diǎn)，點(diǎn)P在線段AD上，過點(diǎn)D作一直線分別與線段AB、PB交于點(diǎn)M、E，與線段AC、PC的延長線交于點(diǎn)F、N。如果DE=DF，求證：DM=DN .證：對(duì)和直線BEP用梅涅勞斯定理得：，對(duì)和直線NCP用梅涅勞斯定理得：，對(duì)和直線BDC用梅涅勞斯定理得：（1）（2）（3）式相乘得：，又DE=DF，所以有，所以DM=DN。13. 、如圖,非等腰的內(nèi)切圓⊙切于點(diǎn),直線交外接圓于點(diǎn),點(diǎn)對(duì)邊的旁切圓切于點(diǎn),過點(diǎn)作交于點(diǎn),交于點(diǎn). 求證: (1) 四點(diǎn)共圓。 (2) (1)證明:設(shè)邊長為,則,又因?yàn)?且平分,所以,從而 四點(diǎn)共圓,(2)因?yàn)?所以四點(diǎn)共圓,所以,則,從而.14. 銳角三角形ABC中，O、H分別為外心和垂心,BH交AC于點(diǎn)D,DE⊥OD交AB點(diǎn)E,F（異于點(diǎn)A）在外接圓上且FH//OD，證明：A,D,E,F四點(diǎn)共圓。證：延長BD交圓于點(diǎn)M，連MO并延長交圓于點(diǎn)N，連NH、FA、FE、FM，由垂心的性質(zhì)有DM=DH，O為MN的中點(diǎn)，故NH//OD,又由題設(shè)FH//OD，因此N、H、F三點(diǎn)共線。而MN為直徑，故有MF⊥FN, 又由題設(shè)DE⊥OD得MF//△MFH斜邊的中點(diǎn)，故∠FDE=∠∠EAF=∠BAF=∠BMF=BDE=∠,D,E,F四點(diǎn)共圓。 15. 如圖所示, 設(shè)是的三條高, 且交與點(diǎn)是邊上的中點(diǎn), 的外接圓圓與的外接圓圓交于兩點(diǎn), 直線與圓分別交于另一點(diǎn) 證明: 平分.證：輔助線如圖所示.因?yàn)樗狞c(diǎn)共圓, 所以, . 這表明, 點(diǎn)在圓與的根軸上. 因此, 三點(diǎn)共線. 于是, . 從而, 四點(diǎn)共圓. 又, 則, 即. 因此, . 同理, . 于是, PB//AD//QC. 注意到, . 則. 從而, 四點(diǎn)共圓. 故. 這表明, PM/
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