平面幾何中幾個(gè)重要定理的證明(編輯修改稿)
2025-07-16 22:03 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 /共線(xiàn)．所以與互補(bǔ)．由于，所以與互補(bǔ)，即A、B、C、D四點(diǎn)共圓．7．托勒密定理的推廣及其證明 定理：如果凸四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)不在同一個(gè)圓上，那么就有 ABCD + BCAD ACBD證明：如圖，在凸四邊形ABCD內(nèi)取一點(diǎn)E，使得，則∽．可得ABCD = BEAC ————（1）且 ————（2）則由及（2）可得∽．于是 ADBC = DEAC ————（3）由（1）+（3）可得 ABCD + BCAD = AC( BE + DE )因?yàn)锳、B、C、D四點(diǎn)不共圓，據(jù)托勒密定理的逆定理可知ABCD + BCADACBD所以BE + DEBD，即得點(diǎn)E不在線(xiàn)段BD上，則據(jù)三角形的性質(zhì)有BE + DE BD．所以ABCD + BCAD ACBD．四、 西姆松定理8．西姆松定理及其證明定理：從ABC外接圓上任意一點(diǎn)P向BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線(xiàn)引垂線(xiàn)，垂足分別為D、E、F，則D、E、F三點(diǎn)共線(xiàn)．證明：如圖示，連接PC，連接 EF 交BC于點(diǎn)D/，連接PD/．因?yàn)镻EAE，PFAF，所以A、F、P、E四點(diǎn)共圓，可得FAE =FEP．因?yàn)锳、B、P、C四點(diǎn)共圓，所以BAC =BCP，即FAE =BCP．所以，F(xiàn)EP =BCP，即D/EP =D/CP，可得C、D/、P、E四點(diǎn)共圓．所以，CD/P +CEP = 1800。而CEP = 900，所以CD/P = 900，即PD/BC．由于過(guò)點(diǎn)P作BC的垂線(xiàn)，垂足只有一個(gè)，所以點(diǎn)D與D/重合，即得D、E、F三點(diǎn)共線(xiàn)．注：（1）采用同一法證明可以變被動(dòng)為主動(dòng)，以便充分地調(diào)用題設(shè)條件．但需注意運(yùn)用同一法證明時(shí)的唯一性．（2）反復(fù)運(yùn)用四點(diǎn)共圓的性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵，要掌握好四點(diǎn)共圓的運(yùn)用手法．五、 歐拉定理9．歐拉定理及其證明定理：設(shè)ΔABC的重心、外心、垂心分別用字母G、O、H表示．則有G、O、H三點(diǎn)共線(xiàn)（歐拉線(xiàn)），
環(huán)評(píng)公示相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1