平面幾何講座26題含答案(已修改)
2025-07-01 23:26 本頁面
【正文】 ，平分交于，如圖，垂足為，為垂足。是中點(diǎn)，是中點(diǎn)。若的外接圓與的另一個(gè)交點(diǎn)為。求證：、四點(diǎn)共圓。.證明：作AQ延長(zhǎng)線交BC于N，則Q為AN中點(diǎn)，又M為AC中點(diǎn)，所以QM//BC.所以 .同理， . 所以QM ＝ PM. 又因?yàn)楣矆A. 所以.所以.所以P、H、B、C四點(diǎn)共圓. .故 .結(jié)合，知為HP中垂線，易知，所以O(shè)、H、E、M四點(diǎn)共圓.2. ABCDPENM如圖，在△中，∥，△的內(nèi)切圓與切于點(diǎn)，△的邊上的旁切圓切于點(diǎn)，點(diǎn)是與的交點(diǎn)。求證：、三點(diǎn)共線. 證 設(shè)與交于點(diǎn).因?yàn)椤危裕?故只需證明，或. ………………10分如圖, 設(shè)、分別為三角形的內(nèi)切圓與旁切圓的圓心，、為切點(diǎn)，則 ， ， ABCDPENMO1O2FGIH， .………………20分又 ∽，故可設(shè)，則 故結(jié)論成立． ………………40分3. 在中，點(diǎn)分別是三邊上的點(diǎn)，點(diǎn)分別是的重心，點(diǎn)分別是的重心。（1）求證：點(diǎn)共線；（2）直線共點(diǎn)的充要條件是直線共點(diǎn)。證明：由三點(diǎn)共線得，，且，其中，故，，，所以，，所以，共線；（2）設(shè)分別交邊于點(diǎn)，且，其中，由（1）得，由共線得，得，故，輪換得，又由得，故，由輪換得，，且，故由塞瓦定理，直線共點(diǎn)的充要條件是直線共點(diǎn)。4. 是銳角的一條高,是線段上一點(diǎn),延長(zhǎng)交于點(diǎn),延長(zhǎng)交于點(diǎn),又與交于點(diǎn),過點(diǎn)的任意一條直線交線段于點(diǎn),交線段于點(diǎn),求證:..如圖連接并延長(zhǎng)，又(利用平行線的性質(zhì))，得，從而又得.再證明，即要證：,設(shè),即上式①由于，則,同理,則①式即證明或②，而,又（角平分線定理）,即，又（梅涅勞斯定理），從而，即,②式得證.5. 設(shè)和分別為的外心和內(nèi)心，的內(nèi)切圓與邊分別相切于點(diǎn)，直線與相交于點(diǎn)，直線與相交于點(diǎn)，點(diǎn)分別為線段的中點(diǎn)，求證：證明：考慮與截線PFD，由梅涅勞斯定理，有,所以（為的半周長(zhǎng)）于是，因此，這樣，于是.因?yàn)镸E是點(diǎn)M到的內(nèi)切圓的切線長(zhǎng)，所以是點(diǎn)M到內(nèi)切圓的冪，而是點(diǎn)M到外接圓的冪，等式表明點(diǎn)M到到外接圓與內(nèi)切圓的冪相等，因此點(diǎn)M在外接圓與內(nèi)切圓的根軸上，同理，點(diǎn)N也在在外接圓與內(nèi)切圓的根軸上，故.
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