初等數(shù)論1——整除性(編輯修改稿)
2025-07-15 12:50 本頁面
【文章內容簡介】 另一個整數(shù)的完全平方，那么我們就稱這個數(shù)為完全平方數(shù)，也叫做平方數(shù).性質1：完全平方數(shù)的末位數(shù)只能是0,1,4,5,6,9. 性質2：奇數(shù)的平方的個位數(shù)字為奇數(shù)，十位數(shù)字為偶數(shù). 性質3奇數(shù)的平方是8n+1型；偶數(shù)的平方為8n或8n+4型.性質4不能被5整除的數(shù)的平方為5k177。1型，能被5整除的數(shù)的平方為5k型.性質5：平方數(shù)的形式具有下列形式之一：16m,16m+1, 16m+4,16m+9.上述性質比較簡單，同學們可自行證明之.對任一正整數(shù)n，定義n的階乘為 四、自然數(shù)唯一分解定理、約數(shù)個數(shù)公式每個大于1的自然數(shù)n均可分解為有限個素數(shù)之積，如不計素數(shù)在乘積中的順序，那么這種分解方式是唯一的（證明略）.將相同的素因子寫在一起，那么n可以唯一地寫成：其中為互不相同的素數(shù)，而是正整數(shù)，上式稱為n的標準分解. 自然數(shù)n的正約數(shù)個數(shù)公式為 例題精講 【例1】 （熱身問題）證明以上理論部分給出的一些性質：（1）、一個三位以上的整數(shù)能否被7（11或13）整除，只須看這個數(shù)的末三位數(shù)字表示的三位數(shù)與末三位以前的數(shù)字組成的數(shù)的差（以大減小）能否被7（11或13）整除．（2）奇數(shù)的平方都可表為8m+1形式，偶數(shù)的平方都可表為8m或8m+4的形式（m∈Z）（3）素數(shù)的性質1：若p為素數(shù)，a,b為整數(shù),如p|ab,那么p必整除a,b之一.（4）證明約數(shù)個數(shù)公式.【例2】 （1）如自然數(shù)n的正約數(shù)個數(shù)為奇數(shù)，證明n為平方數(shù).（2）【例3】 （1）證明不是平方數(shù)；（2）證明連續(xù)三個自然數(shù)之積非平方數(shù).（3）證明十進制表示中有3個數(shù)位為1，其它數(shù)位均為0的數(shù)n非平方數(shù)【例4】 記，證明：（1）有無窮多個正整數(shù)n使得f(n)為合數(shù)；（2）有無窮多個正整數(shù)n使得43|f(n)【例5】 試求所有這樣的質數(shù)p,使得恰有6個不同的正約數(shù).
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