【文章內(nèi)容簡介】 每射一箭得到環(huán)數(shù)或者是“0”(脫靶)，或者是不超過10的自然數(shù)。兩人五箭所得環(huán)數(shù)的乘積都是1764，但甲的總環(huán)數(shù)比乙的少4環(huán)求甲、乙兩人的總環(huán)數(shù)各是多少？解：1764=4441=4212=223272, 由4411=440=2220,220=111026．證明：（1） (a，[b，c]) = [(a，b)，(a，c)]（2）.此題13已證明，在此要求用分解質(zhì)因數(shù)方法證明。（采用教材p成分的說法，可使證明敘述起來簡捷一些：設(shè)p為質(zhì)數(shù)，a，r∈N+,如果pr | a，　且 pr+1 | a，這時稱 pr 為 a 的 p 成分，用 p(a) 表示a的p成分的冪指數(shù)，即p(a) =r. ）證明：設(shè)p(a) =l，p(b) = m，p(c) =n，且不妨設(shè)l≥m≥n。（1）p (a，[b，c]) =min{ p(a),max{ p(b), p(c)} }= min{l, m}=m， p [(a，b)，(a，c)]= max{ min{ p(a), p(b) }, min{ p(a), p(c)}}= max{m,n}= mr.由于p是任意質(zhì)數(shù)，所以(a，[b，c]) = [(a，b)，(a，c)]。（2）∵∴?！摺　?。由于p是任意質(zhì)數(shù)，所以題設(shè)等式成立。7.　自然數(shù)555 555的約數(shù)中，最大的三位數(shù)是多少？解：555 555=5111 111= 3571113 37. 約數(shù)最小的三個相乘已經(jīng)是三位數(shù)，那么在種取法中， 3537=555顯然太小，故3,5只能取一個：51113　=5513=715，再調(diào)大如71113=1001就超出了；3737=777，調(diào)大如311 37=1 111,已經(jīng)超出，故777即為所求。 2836，4582，5164，6522 四個數(shù)被同一個自然數(shù)相除，所得余數(shù)相同，求除數(shù)和余數(shù)各是多少？解：45822836=1746=2873=2997, 51644582=582=2291=2397, 65225164=1358=2679=2797, （1746，582，1358）=297所以，除數(shù)為97時，余數(shù)為23；除數(shù)為194時，余數(shù)為120．9. (1) 所有正約數(shù)之和＝15的最小自然數(shù)是多少？ (2) 所有正約數(shù)之積＝64的最小自然數(shù)是多少？ (3) 有沒有這樣的自然數(shù)，其所有正的真約數(shù)之積等于它本身？解 (1) 15=115=35，若15=115，a有唯一質(zhì)因數(shù)，即a=，由公式=，p只能是2.令自然數(shù)a=2k，此時，得k=3，即a=8；若=35，即35，無解。故=35為不可能。因此所求最小自然數(shù)就是8.（2）。　(2)=2≠12, (4)=3≠6, (64)=7≠2, (8)=4, 因此所求最小自然數(shù)就是8. (3) 自然數(shù)a的所有正約數(shù)之積=，由題設(shè)有，即=22，故分解式或 ⑴ 只含1個質(zhì)因數(shù) p，此時 p 的指數(shù)為3, 即, 或 ⑵ 為2 個質(zhì)數(shù)的乘積，即，這樣的自然數(shù)，其所有正的真約數(shù)之積都等于它本身。10. 若a，b，c∈N+,　且 a2= bc，(b，c)=1，則b，c均為平方數(shù)。證明：已知故得　結(jié)論成立。11. 975935972（?。┮惯@個乘積的最后 4個數(shù)字都是 0，括號中最小應(yīng)填什么自然數(shù)？解：20．四個數(shù)分解質(zhì)因數(shù)后一共應(yīng)該有且只有4個2與4個5，需補充2個2與1個5。12.　 （1）設(shè)[a，b]=72，且a≠b，那么a + b有多少種不同的值？（2）已知（a，b）=12, [a，c]= [b，c]=300,滿足上述條件的自然數(shù)共有多少組（a=12, b=c=300與a= c=300, b=12算不同的兩組）？解：（1）72=2332, 由充要條件a，b只含有2,3的質(zhì)因數(shù)且不超過72, 見下表a23=8233=242332=72b3223222323223222321322322232a+b172644334260738190108由于a，b是對稱的，所以一共10種不同的值。（2）300=1225, 因此a，b，c只含有2，3，5的質(zhì)因數(shù)且不超過300, 見下表a12125=601252=300b1212512521212c125212521252同左同左一共5組。13. 求：（1）(180)；（2）(180)；（3）1 (180).解：180=22325, ∴(1)332=18． (2)=546 (3)1809．14．求出最小的正整數(shù)n，使其恰有144個正約數(shù)，并且其中有十個是連續(xù)的整數(shù)。解：144=122=63222,　表明n的標(biāo)準(zhǔn)分解式應(yīng)含有五個不同質(zhì)數(shù),并應(yīng)該從2開始取，且使2的次數(shù)為5，3的次數(shù)為2，其他皆為1，故所求即25325711=110880。它不僅有10個甚至有12連續(xù)的約數(shù):1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12.附）廣西師范大學(xué)趙繼源主編的《初等數(shù)論》習(xí)題1—4中的部分題目(與以上相同的不列) 10個正約數(shù)的自然數(shù)有幾個？并一一求出 .：（1）(180)；（2）(180)；（3）1 (180).［A，B］=42，［B，C］=66，（A，C）=3，求 A，B，C . 21個正約數(shù)，而另一個自然數(shù)有 10個正約數(shù)，這兩個數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)分解式中僅含有不大于 3的質(zhì)因數(shù)，且這兩個數(shù)的最大公約數(shù)是 18，求此兩數(shù)是多少？，他的書的五分之一放在第一層，七分之幾（這個幾記不清了）放在第二層，而第三層有書 303本，問小明共有書多少本？（50人左右）在王老師帶領(lǐng)下去植樹，學(xué)生恰好能分成人數(shù)相等的 3 組，如果老師與學(xué)生每人種樹的棵數(shù)一樣多，共種了884棵，那么每人種多少棵樹？ 200個彩色燈泡，這 200個燈泡按 1耀200編號，它們的亮暗規(guī)則是：第 1秒：全部燈泡變亮；第 2秒：凡編號為 2的倍數(shù)的燈泡由亮變暗；第 3秒：凡編號為 3的倍數(shù)的燈泡改變原來的亮暗狀態(tài)，即亮的變暗，暗的變亮 .一般地，第 n 秒凡編號為 n 的倍數(shù)的燈泡改變原來的亮暗狀態(tài)。這樣繼續(xù)下去，每 4分鐘一個周期，問第 200 秒時，明亮的燈泡有多少個？習(xí)題 14解答6．有5個，10=25=110因此所求的數(shù)應(yīng)該為或后者即令c=2也已經(jīng)超出200,因此分別令a==3。 a==5。 a==7。 a=3,b=2。 a==11。 得48，80，112，162，176．8．因為B | , B |, 所以B是66，42的公約數(shù)，因而B是6的約數(shù)。又所以7|A，11|C，從而設(shè) 由因為若B不含2的話，由，A，C就必須同時含2, 與矛盾?！嘤谑枪驳?組解，分別為：（自行寫出）9. 576和162 。解：由題目可知小明的書的冊數(shù)是35的倍數(shù), 設(shè)為35k, 可列出方程28k－5xk=（28－5x）k=303=3101知k=101.11. 分解質(zhì)因數(shù)：884=41317=1752=6813，884的因數(shù)中有4, 13, 52都具有3k+1形式，只有52=符合50人左右的題設(shè)，因此學(xué)生51人。12. 燈的一次“改變”對應(yīng)著它的編號的一個因子. 要使燈仍舊亮著需要奇數(shù)次“改變”．什么樣的數(shù)有奇數(shù)個因子呢? ⑴知只有完全平方數(shù)! 200以內(nèi)的完全平方數(shù)只有14個。即為答案. 此題也可先考慮10個燈泡。用歸納得出“只有完全平方數(shù)”的結(jié)論。習(xí)題16部分習(xí)題解答1. 若集A=,B=,求A∩B,A∪B.解：A={－1,1}, B=Z(全體整數(shù)集合)，∴A∩B=A,A∪B=Z.2.　設(shè) ，試求的值。解：, 代入得10。3.　求的值。解：顯然，；設(shè)則，即。，繼續(xù)下去有，這顯然是不可能的，因此=1.4. 證明：若（p, q）=1，則。證：對于1≤k≤q－1,均有q k p，即，故于是=∴。5. 求的值。解：===12+222+323+…+929+10=1 (222)+2(2322)+3(2423)+…+9(21029)+10=22223…29+9210+10=+9210+10=7210+12=7180.6.　求使為整數(shù)的最大自然數(shù)k的值。解：即求的標(biāo)準(zhǔn)分解式中7的冪指數(shù)。=1000!247。100!所以7(1000!247。100!)= 7(1000!)－ 7(100!)所以k==142+20+2142=148.7. 解方程：（1）解：故解得　代入原方程得3x=20, 　或解：由已知得設(shè)其為y，則，解得 （2）原式化為，即，把x當(dāng)作常數(shù)，由一元二次方程求根公式得 ，與相乘的積為整數(shù)，只能是。8. 設(shè)x，y滿足下列方程組，且不是一個整數(shù)，則x+ y在哪兩個整數(shù)之間。解：，可得［x］=4,∴4≤x 5，y=2［x］+3=11　　　∴15 x+ y16.9. 試證方程[x]+[2x]+[4x]+[8x]+[16x]+[32x]=12345無實數(shù)解.證:　假設(shè)方程有實數(shù)解x=n+a,其中n∈Z,　0≤a1,于是,，[x]=n，[2x]=2n+[2a]，[4x]=4n+[4a]，[8x]=8n+[8a]，[16x]=16n+[16a]，[32x]=32n+[32a]。代入原方程化簡、變形，得　[2a]+[4a]+[8a]+[16a]+[32a]=1234563n。由于0≤a1，因而0≤[ka]≤k1故0≤1234563n≤1+3+7+15+31=57，即12288/63≤n≤12345/63≤n≤，與n∈Z矛盾，故原方程無實數(shù)解。10. 1到120這120個正整數(shù)中所有質(zhì)數(shù)的和是多少？解：2+3+5+7+11+13+17+19+23+29+31+37+41+43+47+53+59+61+67+71+73+79+83+89+97+101+103+107+109+113=1593.或解：應(yīng)用逐步淘汰原則，所求的和=1到120這120個正整數(shù)的和－(120以內(nèi)，下同)2的倍數(shù)的和－3的倍數(shù)的和－5的倍數(shù)的和－7的倍數(shù)的和－11的倍數(shù)的和+6的倍數(shù)的和+10的倍數(shù)的和+14的倍數(shù)的和+22的倍數(shù)的和+15的倍數(shù)的和+21的倍數(shù)的和+33的倍數(shù)的和+35的倍數(shù)的和+55的倍數(shù)的和+77－30的倍數(shù)的和－42的倍數(shù)的和－66－70－110－105==+33(1+2+3)+105+165+77－30(1+2+3+4)－42－84－66－70－110－105=7260－6160－6160－34120－52512－7178－11115+62110+10136+1494+2235+1594+2135+336+105+165+77－300－42－84－66－70－110－105=1593.11. 求25！的標(biāo)準(zhǔn)分解式。解：25！=222310567311213171923. 。12. 2000! 末尾有多少個連續(xù)的零?解：個連續(xù)的零、理、化三科測試。數(shù)、理、化成績優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)依次是30,28,25, 數(shù)理、理化、化數(shù)兩科成績都優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)依為20,16,17。數(shù)理化三科都優(yōu)秀的學(xué)生有10人。問：數(shù)理兩科至少有一科優(yōu)秀的學(xué)生有多少人，數(shù)理化三科至少有一科優(yōu)秀的學(xué)生又有多少人。解：數(shù)理兩科至少有一科優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)為30+28－20=38。數(shù)理化三科至少有一科優(yōu)秀的學(xué)生30+28+25－20－16－17+10=4014.　從自然數(shù)列1,2,3,4,…中依次劃去3的倍數(shù)和4的倍數(shù)，但是其中凡是5的倍數(shù)的數(shù)均保留，劃完之后的數(shù)依次構(gòu)成一個新的數(shù)列：a1=1,a2=2,a3=5,a4=7,求a2000的值。解：考慮1到3000這3000個數(shù)中這個數(shù)列中的數(shù)的個數(shù)為=3000－1000750+250+200+15050=1800=180=30－107+2+2+1=18可知3330= a1998, 而3332是4的倍數(shù)，3333是3的倍數(shù),所以a2000=3334.附）廣西師范大學(xué)趙繼源主編的《初等數(shù)論》習(xí)題1—6中的部分題目(與以上相同的不列)3. 若證：可見，三種情況都有。：（1）解： =9312+0+…+0+19+40+57+76=9504. （2）解：　。從而=1.8. 在前2001個自然數(shù)中，既不是5 的倍數(shù)，又不是7的倍數(shù)的數(shù)有多少個？. =2001－400－285+57=1373個10. 有100盞亮著的燈，各有一個拉線開關(guān)控制著，,現(xiàn)將其按順序編上號碼1,2, …,100,然后將編號為2的倍數(shù)的燈線拉一下，再將編號為3的倍數(shù)的燈線拉一下，最后將編號為5 的倍數(shù)的燈線拉一下，3次拉完之后還有幾盞燈是亮的？49盞11. 解方程：解：已知?。? ∴ －2≤ x－1或 2≤ x3或 x= －1/2 或 x= 0. 12. 若=546,求［100x］的值、解：等式左側(cè)為73個數(shù)相加，而且可知等式左側(cè)從右向左有且只有35項滿足，這35項中最小的是等式左側(cè)從右向左第35項，∴ 成立有，移項得 習(xí)題211．計算m取何值時，下列各式成立：(1)32≡11(mod m)。 (2)1001≡1(mod m)。 (3)480≡26(mod m)。 (4)28≡1(mod m).解：由充要條件知(1)32－11=21,所以m取21，7，3，1.　(2)1001－1=1000所以m取1000的所有正約數(shù)，共16個；(3)480－26=454=2227, 所以m取454，227, 2，1.(4)28－1=(24+1)( 22+1) ( 22－1)= 1753, 所以m