【文章內(nèi)容簡介】 884=41317=1752=6813，884的因數(shù)中有4, 13, 52都具有3k+1形式，只有52=符合50人左右的題設(shè)，因此學(xué)生51人。12. 燈的一次“改變”對應(yīng)著它的編號的一個(gè)因子. 要使燈仍舊亮著需要奇數(shù)次“改變”．什么樣的數(shù)有奇數(shù)個(gè)因子呢? ⑴知只有完全平方數(shù)! 200以內(nèi)的完全平方數(shù)只有14個(gè)。即為答案. 此題也可先考慮10個(gè)燈泡。用歸納得出“只有完全平方數(shù)”的結(jié)論。習(xí)題16部分習(xí)題解答2. , 代入得10。3. 若證：可見，三種情況都有。4. 解方程：（1）解： （2）原式化為，整理后再由一元二次方程求根公式得 ，與相乘后的積為整數(shù)，只能是。5. 15 x+ y16.6. 25！=222310 56 7311213171923. 。7.（1）解： =9312+0+…+0+19+40+57+76=9504. （2）。從而=1.8. 1373個(gè) . 9. 14人 .10. 49盞 .11. ； ∴ －2≤ x－1或 2≤ x3或 x= －1/2 或 x= 0. 12. 解： 且可知有且只有滿足由第35項(xiàng)移項(xiàng)得 習(xí)題215. 若69, 90和125關(guān)于某數(shù) d 同余, 證明對于d, 81與 4同余.證明：由69和90關(guān)于 d 同余, d | 90－ 69, d | 21,90和125關(guān)于某數(shù) d 同余, d | 125－ 90, d | 35,∴ d | (21, 35) , d=1或7.9. 由 (n, 8)=1可知,n為奇數(shù). 設(shè)n=2k+1, n2－1= 4k (k+1),8 | (n2－1).12. 4+1=5, 因此個(gè)位為4的2n, 加1后都能被5整除. 先考察n=1, 2, … , n 較小的情況:個(gè)位為6的冪間隔4次得重復(fù)出現(xiàn), 又6 4=24. 因此即n=4k+2(k∈Z+).14. 任意平方數(shù)的末位數(shù)字都不能是 2, 3, 7, 8的某一個(gè). 證：令a=(10x+y), 則a2=(10x+y)2 ≡y 2 (mod 10). 令=0,1…9， y 2的個(gè)位不能是2, 3, 7, 8. 因此，數(shù)字 a (1≤a≤9) 的平方 a2 的末位數(shù)字也沒有2, 3, 7, 8.習(xí)題22 3. 4. ,1, …m－1中一個(gè)數(shù)同余,故均可寫成mkr+r,r= 0,1, …m－.其他的都是較基本的題目, 請看書后的答案或提示.習(xí)題23 20，21，22，…，29能否構(gòu)成模 11的一個(gè)簡化剩余系？解：i j時(shí)，2i－2j=2j(2i－j－1), 112j, 通過驗(yàn)證可知，對任何i，j，也有11(2i－j－1)，φ (11) = 10，而20，21，22，…，29為10個(gè)不同的整數(shù)，所以它們構(gòu)成模 11的一個(gè)簡化剩余系 m 為 10，11，12，…，18等值時(shí)的最小簡化剩余系及相應(yīng)的φ (m).m最 小 簡 化 剩 余 系φ (m)1013794111234567891010121571141312345678910111212141359111361512478111314816135791113158171234567891011121314151616181571113176 .證明:（必要性）∵ x1，x2，…，xk是模 m 的簡化剩余系，∴ k=φ(m)，且當(dāng) i ≠ j時(shí)，xixj（mod m），（xi，m）=1，i = 1，2，…，φ(m).（充分性）k=φ（m），∴ x1，x2，…，xk共有φ（m）個(gè).又 xixj（mod m），（i ≠ j，1≤i，j≤ k），（xi，m）=1（i=1，2，…，k），∴ x1，x2，…，xk各屬于φ(m) 個(gè)不同的且與 m 互質(zhì)的剩余類，∴ x1，x2，…，xk是模 m 的簡化剩余系.4. 驗(yàn)證：（1）8，16，24，32，40，48是模 7的簡化剩余系；（2）11，13，77，99是模 10的簡化剩余系. 解：（1）∵（4，7）=1，可化為2，4，6，8，5，12，又5≡12（mod 7），∴ 8，16，24，32，40，48不是模 7的簡化剩余系。（2）10的最小簡化剩余系是1, 3, 7, 9。11，13，77，99分別與1, 3, 7, 9關(guān)于模10同余。∴ 11，13，77，99是模 10的簡化剩余系.5. 當(dāng) m 取下列各值時(shí)，計(jì)算φ（m）的值 .25，32，40，48，60，120，100，200，4200，9450. 答案：φ（25）= 20，φ（32）=16，φ（40）=16，φ（48）= 16，φ（60）=16，φ（120）= 32，φ（100）= 40，φ（200）= 80，φ（4200）= 960，φ（9450）= 2160.6. 若φ（m）是奇數(shù)，試求 m 的值.解：(參看下一題) m = 1或 m =2.7. 當(dāng) m 2時(shí)，證明φ（m）是偶數(shù) .證：設(shè) m = p1α1p2α2… pkαk，∵ m 2，∴ 至少存在 i，αi 1或存在 j，pj是奇數(shù)，∴ p1α1 p1α1 1，…，pkαk pkαk1中至少有一個(gè)為偶數(shù)，知 φ（m）必為偶數(shù)或證： 8. 試證：使φ(m) =14的數(shù) m 不存在.證：φ(m) =14=27= p1α1 1…pkαk1 (p1－1)…(pk－1)，2,7是質(zhì)數(shù)，所以必有p1=2，p1=7，這是不可能的。9. 已知φ(m) = 4，求 m .解：設(shè)m = p1α1p2α2… pkαk，由φ(m)= (p1α1 p1α1 1)…(pkαk pkαk1)，φ(m) = 4=41=22，得m = 5，φ(m) =5－1= 4，或 m =8=23，φ(m) = 22或 m = 10=52，φ(m) =41，或 m =12.10. 如果 n =2m，（2，m）=1，那么φ（n）= φ（m）.11. 若 m 是奇數(shù)，則φ（4m）=2φ（m）.12.（1）分母是正整數(shù) n 的既約真分?jǐn)?shù)的個(gè)數(shù)是多少？為什么？（2）分母不大于 n 的既約真分?jǐn)?shù)的個(gè)數(shù)是多少？為什么？解 10.∵（2，m）= 1，∴ φ（n）=φ（2m）=φ（2）φ（m）=φ（m）.11. ∵ m 是奇數(shù)，∴（4，m）= 1，則φ（4m）=φ（4）φ（m）.∵ φ（4）= 2，∴ φ（4m）=2φ（m）.12.（1）φ（n）. （2）φ（2）+φ（3）+ … +φ（n）.習(xí)題 24（a，m）=1是不可缺少的條件 .：（1）84965除以13； （2）541347除以17；（3）477385除以19； （4）7891432除以18； （5）(127156+34)28除以111.解答：1. 當(dāng) a= 2，m =4時(shí)，(4) =2，此時(shí) 22≡0（mod 4），可見（a，m）= 1是歐拉定理的不可缺少的條件 .2.（1）8. （2）10. （3）16. （4）1. （5）70. （1）84965除以13；（13，8）=1, ∴ 812≡1（mod 13），84965=(812)41389≡1(1)4 8（mod 13） 或解：82≡－1（mod 13），84965=(82)24828 ≡ (1) 2482 8 ≡ 8（mod 13）。 p，q是兩個(gè)大于 3的質(zhì)數(shù)，求證：p2≡ q2（mod 24）. p是大于 5的質(zhì)數(shù)，求證：p4≡1（mod 240）.解答：3. 24=38，（3，8）= 1. 由條件，( p，3 ) = ( q，3 ) = 1，由費(fèi)爾馬小定理有 p2≡1（mod 3）， q2≡1（mod3）. ∴ p2 ≡ q2（mod 3）. 又 ∵ p，q 必為奇數(shù)，由習(xí)題21第9題的結(jié)論，有p2≡1（mod 8），q2≡1（mod8）.∴ p2 ≡ q2（mod 8）. ∴ p2 ≡ q2（mod 24）.4. 240 = 3516，由條件，( p，3 ) = ( p，5 ) = 1，∴ p4≡1（mod5），p4≡（p2）2≡1（mod3）. 又 p為奇質(zhì)數(shù)，從而 2 |（p2+ 1），8 |（p21），∴ 16 |（p41），即 p4≡1（mod 16）. 而（3，5）=（3，16）=（5，16）= 1. ∴ p4≡1（mod 240）.5. 已知 p是質(zhì)數(shù)，（a，p）=1，求證：（1）當(dāng) a 是奇數(shù)時(shí)，ap1+(p－1)a ≡ 0（mod p）；（2）當(dāng) a 是偶數(shù)時(shí)，ap1－(p－1)a ≡ 0（mod p）.6. 已知 p，q 是 兩 相 異 的 質(zhì) 數(shù)，且 ap1≡1（mod q），aq1≡1（mod p），求證：apq≡ a（mod pq）.解答：5.（1）由 p 是 質(zhì) 數(shù)，（a，p）= 1，a 為 奇 數(shù)，有 ap1≡ 1（mod p