初等數(shù)學(xué)研究習(xí)題解答(編輯修改稿)
2025-05-01 03:52 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 先將此函數(shù)分別沿x軸向左右兩邊拉伸為原來(lái)的兩倍，再分別向左、向上平移3個(gè)單位，求所得函數(shù)的解析式。解：函數(shù)的變化過(guò)程如下： 初等周期函數(shù)的周期1．求下列各組實(shí)數(shù)的最小公倍數(shù)：（1） （2）解：（1），所以的最小公倍數(shù)為。（2），而，所以的最小公倍數(shù)為2．討論函數(shù)的周期性。解：其中的最小正周期為，的最小正周期為，而，所以是以為最小正周期的周期函數(shù)。3．證明函數(shù)不是周期函數(shù)。證明：由于的最小正周期為，的最小正周期為，但不可公度，所以不是周期函數(shù)。4．直接證明函數(shù)不是周期函數(shù)。證明：假若不然，存在非零實(shí)數(shù)使，即于是即由于是任意實(shí)數(shù)，所以只能是，那么是整數(shù)），于是。即，這與都是整數(shù)相矛盾。所以這樣的實(shí)數(shù)不存在，即函數(shù)不是周期函數(shù)。5．求函數(shù)的最小正周期。解：的最小正周期為，的最小正周期為，而，所以函數(shù)的最小正周期為。 取整函數(shù)[x]及其應(yīng)用1．求適合的一切實(shí)數(shù)。解： 由于，所以這樣就有 即 2．設(shè)，求證或。證明：由于所以而所以 如果是整數(shù)，那么有；如果不是整數(shù)，那么有3．求整數(shù)，使整除且不能整除。解：4．求的標(biāo)準(zhǔn)分解式。解：由于30以內(nèi)的質(zhì)數(shù)為2,3,5,7,11,13,17,19,23,29.那么 所以： 5．證明。證明：設(shè)，是正整數(shù)。那么如果，那么于是，此時(shí)成立；如果，那么至少有一個(gè)成立，這時(shí)所以成立。第五章 數(shù)列 循環(huán)數(shù)列 1．判斷下列遞推公式是否為循環(huán)公式？（1） （2）（3） （4）解（1）因?yàn)椴皇堑凝R次線性關(guān)系式，所以這個(gè)遞推公式不是循環(huán)公式；（2）不是，理由同（1）；（3）是。因?yàn)槭堑凝R次線性關(guān)系式。（4）不是，因?yàn)橐淮问讲皇驱R次式（但可以化成齊次式，得到的遞推公式是3階的）2．求下列循環(huán)數(shù)列的通項(xiàng)公式。（1） （2）（3） （4）解：（1）特征方程為，所以特征根為設(shè)那么有：所以（2）特征方程為，所以特征根為設(shè)那么有：所以（3） 特征方程為，所以特征根為設(shè)那么有：所以（4）先將化成循環(huán)公式：于是特征方程為，所以特征根為設(shè)此時(shí)由，得數(shù)列前三項(xiàng)為：那么有：所以3．寫出下列循環(huán)數(shù)列的循環(huán)公式。（1） （2）（3） （4）解（1）顯然數(shù)列的特征根為，即特征方程為所以循環(huán)公式為（2）顯然數(shù)列的特征根為，即特征方程為所以循環(huán)公式為（3）顯然數(shù)列的特征根為，即特征方程為所以循環(huán)公式為（4）顯然數(shù)列的特征根為，即特征方程為即 所以循環(huán)公式為 數(shù)列求和與高階等差數(shù)列1．求下列數(shù)列的部分和：（1） （2）解：（1）設(shè)，記，而，，所以的部分和為（2）所以數(shù)列的部分和為：2．求下列數(shù)列的部分和：（1） （2）解：（1）因?yàn)樗詳?shù)列的部分和為（2）記的部分和為所以從而：再記那么所以所以，從而即3．求下列數(shù)列的部分和（1） （2）解：（1）由于所以，其特征方程為，所以特征根為故可設(shè)而，所以所以（2）由于所以，其特征方程為，所以特征根為故可設(shè)而，所以所以 兩類特殊的循環(huán)數(shù)列1．寫出下列數(shù)列的循環(huán)公式（1） （2）（3） （4）解：（1）數(shù)列的特征根為，所以特征方程為即所以循環(huán)公式為（2）數(shù)列的特征根為，所以特征方程為即所以循環(huán)公式為（3）數(shù)列的特征根為，所以特征方程為即所以循環(huán)公式為（4）數(shù)列的特征根為，所以特征方程為即所以循環(huán)公式為2．求下列數(shù)列的通項(xiàng)公式（1） （2）（3） （4）解：（1）因?yàn)椋核运约从?，則兩式相減：所以所以（2）設(shè)，還原得，所以即所以（3）因?yàn)?，所以設(shè)還原得，所以即所以（4）因?yàn)?，所以設(shè)還原得，所以即所以3．求下列遞推公式確定數(shù)列的通項(xiàng)公式。(1) （2） (3) (4) 解：（1）解方程：所以所以，即（2）解方程：所以所以所以：（3）解方程：所以所以，即（4）解方程：所以所以所以：第六章 排列與組合 排列與組合問題的基本結(jié)構(gòu)（1）；（2）證明（1）所以 將上面等式相加，即得：（2）2．用數(shù)字0,1,2,3,4,5能夠組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的6位數(shù)？其中有多少個(gè)奇數(shù)？解：首位只能用1，2，3，4，5有5種方法；剩下5個(gè)數(shù)字排后面5個(gè)位置有種方法，所以得到的六位數(shù)個(gè)數(shù)是；排成6位奇數(shù)，個(gè)位只能用1,3,5有3種方法，首位不能用0，有4種方法，中間4位有種方法，所以6位奇數(shù)的個(gè)數(shù)是3. 用數(shù)字0,1,2,3,4,5能夠組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字并且能被25整除的4位數(shù)？解：能被25整除的數(shù)字特征為末兩位（沒有重復(fù)數(shù)字）只能是250，因此符合條件的4位數(shù)個(gè)數(shù)是：：（1）（2）證明：這時(shí)由于所以即（2）由于所以 5．用赤橙黃綠青藍(lán)紫7種顏色中的一種、或兩種、或三種、或四種涂在一個(gè)四面體的四個(gè)面上，規(guī)定同一個(gè)面不能涂?jī)煞N（含兩種）以上的顏色，但每個(gè)面都必須涂色，試問共有多少種涂色方法？解
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