7年級第21講-數(shù)的整除性(編輯修改稿)
2025-08-31 08:59 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 希望杯”數(shù)學(xué)競賽試題）一個自然數(shù)a，若將其數(shù)字重新排列可得一個新的自然數(shù)b．如果a恰是b的3倍，我們稱a是一個“希望數(shù)”．(1)請你舉例說明：“希望數(shù)”一定存在．(2)請你證明：如果a，b都是“希望數(shù)”，則ab一定是729的倍數(shù)．[解] (1)答：由于428571=3142857，所以428571是一個“希望數(shù)”．[評注] 一個自然數(shù)a，若將其數(shù)字重新排列可得一個新的自然數(shù)b．如果a恰是b的3倍，我們稱a是一個“希望數(shù)”．這實際上給出了“希望數(shù)”的定義?？疾靺①悓W(xué)生閱讀理解定義的能力，并能舉例說明被定義的對象存在．在一位數(shù)、二位數(shù)、三位數(shù)中找不到“希望數(shù)”．而在四位數(shù)中很容易找到實例．如 3105=31035，所以3105是個“希望數(shù)”；或7425=32475，所以7425是個“希望數(shù)”等等。大于四位的我們再列舉幾個同學(xué)們舉的例子供參考，如： 857142=3285714， 37124568=31237485643721586=314573862692307=3230769461538=3153846705213=32350718579142=32859714594712368=319823745637421568=312473856341172=3113724．可見857142，37124568，43721586，592307，461538，705213，8579142，594712368，37421568，341172都是希望數(shù)，事實上用3105是希望數(shù)，可知31053105也是“希望數(shù)”，只要這樣排下去，可以排出無窮多個“希望數(shù)”．因此，“希望數(shù)”有無窮多個．(2) 由a為“希望數(shù)”，依“希望數(shù)”定義知，存在一個由a的數(shù)字重新排列而成的自然數(shù)p，使得a=3p并且a的數(shù)字和等于p的數(shù)字和．由a=3p和a為3的倍數(shù)，但a的數(shù)字和等于p的數(shù)字和，所以由被3整除判別法，知3|p，即p為3的倍數(shù)，所以p=3m（m為正整數(shù)）。因此a=3p=3（3m）=9m， 所以a被9整除．但a的數(shù)字和等于p的數(shù)字和，所以由被9整除判別法，知9|p，即p為9的倍數(shù)，所以p=9k（k為正整數(shù)）。因此a=3p =3（9k）=27， 所以a被27整除．即“希望數(shù)”一定能被27整除．現(xiàn)已知a，b都是“希望數(shù)”，所以a，b都是27的倍數(shù)．即a=27n1，b=27n2（n1，n2為正整數(shù)）．所以ab=(27n1)(27n2) =(2727)(n1n2) =729n1n2，所以ab一定是729的倍數(shù)．原版賽題傳真同步訓(xùn)練一選擇題1．（1994年浙江省初中數(shù)學(xué)競賽試題）在724的左邊添一個數(shù)碼a，右b，組成一個五位數(shù)，如果這個五位數(shù)是12的倍數(shù)，則ab的最大值是（ ）（A）72（B）64（C）36（D）241．A 因是12的倍數(shù)，是4的倍數(shù)，b最大可取8；又各位數(shù)字和a+7+2+4+8=21+a是3的倍數(shù)，b最大可取9； 于是ab最大可取722．（2002年北京市初二數(shù)學(xué)競賽試題）若能被15整除，則n的最小值等于（ ）(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 52．B 200215，2002200215都不是15的倍數(shù)，20022002200215是15的倍數(shù)∴ k=3k1=27為最小。3．（1998年“希望杯”初中數(shù)學(xué)競賽試題）已知N=若N是1998的倍數(shù)，那末符合條件的最小的k的值是（ ）（A）15 (B) 18 (C) 24 (D) 273. D ∵1998＝2999， =1998m, m為整數(shù) ∴＝9m,m
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