列聯(lián)表、卡方檢驗與對數(shù)線性模型(編輯修改稿)
2025-07-09 18:14 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 可有所不同，而且可以構(gòu)造一個所謂 (多項分布 )對數(shù)線性模型(loglinear model)來進行分析。 ?利用對數(shù)線性模型的好處是不僅可以直接進行預(yù)測，而且可以增加 定量變量作為模型的一部分。 對數(shù)線性模型 ? 現(xiàn)在簡單直觀地通過二維表介紹一下對數(shù)線性模型，假定不同的行代表第一個變量的不同水平，而不同的列代表第二個變量的不同水平。 用 mij代表二維列聯(lián)表第 i行，第 j列的頻數(shù)。 人們常假定這個頻數(shù)可以用下面的公式來確定： l n ( )ij i jm ????這就是所謂的 多項分布 對數(shù)線性模型。這里 ?i為行變量的第 i個水平對 ln(mij)的影響，而 ?j為列變量的第 j個水平對 ln(mij)的影響，這兩個影響稱 為主效應(yīng)（ main effect） 。 (多項分布 )對數(shù)線性模型 ? 這個模型看上去和回歸模型很象，但由于對于分布的假設(shè)不同，不能簡單地用線性回歸的方法來套用 (和 Logistic回歸類似 )；計算過程也很不一樣。當(dāng)然我們把這個留給計算機去操心了。只要利用數(shù)據(jù)來擬合這個模型就可以得到對于 ?i和 ?j的 “ 估計 ” 。 ? 有了估計的參數(shù)，就可以預(yù)測出任何 i， j水平組合的頻數(shù) mij了（通過其對數(shù)）。 ? 注意，這里的估計之所以打引號是因為一個變量的各個水平的影響是相對的 ,因此 ,只有事先固定一個參數(shù)值 (比如 ?1=0),或者設(shè)定類似于 S?i=0這樣的約束，才可能估計出各個的值。 沒有約束，則這些參數(shù)是估計不出來的。 （多項分布）對數(shù)線性模型 ? 二維列聯(lián)表的更完全的對數(shù)線性模型為 l n ( ) ( )ij i j ijm ? ? ? ?? ? ??這里的 (???ij代表第一個變量的第 i個水平和第二個變量的第 j個水平對 ln(mij)的共同影響 (交叉效應(yīng) )。即當(dāng)單獨作用時，每個變量的一個水平對 ln(mij)的影響只有 ?i(或?j)大，但如果這兩個變量一同影響就不僅是 ?i+?j，而且還多出一項。 ?這里的交叉項的諸參數(shù)的大小也是相對的，也需要 約束條件 來得到其 “ 估計 ” ；涉及的變量和水平越多，約束也越多。 注意，無論你對模型假定了多少種效應(yīng)， 并不見得都有意義 ；有些可能是多余的。本來沒有交叉影響，但如果寫入，也沒有關(guān)系，在分析過程中一般可以知道哪些影響是顯著的，而那些是不顯著的。 兩種 對數(shù)線性模型 ?前面介紹的 多項分布對數(shù)線性模型 假定所有的可能格子里面的頻數(shù)滿足多項分布 。 ?另一類為 Poisson對數(shù)線性模型 .它假定每個格子里面的頻數(shù)滿足一 Poisson分布 （ 后面再介紹 ） . ?統(tǒng)計軟件的選項中有關(guān)于分布的選項 ?高維表的檢驗統(tǒng)計量和二維表一樣也包含了 Pearson ?2統(tǒng)計量和似然比 ?2統(tǒng)計量 。 用 ? 假定 （ 多項分布 ） 對數(shù)線性模型為 ? 這里 ?i為收入（ i?1,2,3代表收入的低、中、高三個水平）， ?j為觀點（ j?1,2代表不贊成和贊成兩個水平）， gk為性別（ k?1,2代表女性和男性兩個水平） , mijk代表三維列聯(lián)表對于三個變量的第ijk水平組合的出現(xiàn)次數(shù)。 ? 而從相應(yīng)的參數(shù)估計輸出結(jié)果，可以得到對 ?i的三個值的估計為 , ,對 ?j的兩個值的估計為 ,對 gk的兩個值的估計為 ,。 (多項對數(shù)線性模型常數(shù)無意義，輸出的常數(shù)項僅僅是數(shù)學(xué)意義 ) l n ( )i j k i j km ? ? g? ? ?SPSS輸出 ?就這里的三維列聯(lián)表問題 ， 如只考慮各個變量單獨的影響 ， 而不考慮變量組合的綜合影響 ， 其 SPSS輸出的 Pearson ?2統(tǒng)計量和似然比 ?2 統(tǒng)計量得到的 p值分別為 。 G ood ne s s o f Fi t T e s t sa , b2 4 . 1 3 7 7 . 0 0 12 2 . 5 4 1 7 . 0 0 2L i k e l i h o o d R a t i oP e a r s o n C h i S q u a r eV a l u e df S i g .M o d e l : M u l t i n o m i a la . D e s i g n : C o n s t a n t + i n c o m e + o p i n i o n + s e xb . P a r a m e t e r E s t i m a t e sc , d2 . 2 7 7a. 5 1 7 . 2 2 7 2 . 2 7 9 . 0 2 3 . 0 7 3 . 9 6 2. 2 5 5 . 2 3 9 1 . 0 6 5 . 2 8 7 . 2 1 4 . 7 2 40b. . . . . . 6 9 3 . 1 9 1 3 . 6 2 4 . 0 0 0 1 . 0 6 8 . 3 1 80b. . . . .. 1 1 4 . 1 8 1 . 6 3 1 . 5 2 8 . 2 4 0 . 4 6 80b. . . . .P a r a m e t e rC o n s t a n t[ i n c o m e = 1 ][ i n c o m e = 2 ][ i n c o m e = 3 ][ o p i n i o n = 0 ][ o p i n i o n = 1 ][ s e x = 0 ][ s e x = 1 ]E s t i m a t e S t d . E r r o r Z S i g . L o w e r B o u n d U p p e r B o u n d9 5 % C o n f i d e n c e I n t e r v a lC o n s t a n t s a r e n o t p a r a m e t e r s u n d e r t h e m u l t i n o m i a l a s s u m p t i o n . T h e r e f o r e , t h e i rs t a n d a r d e r r o r s a r e n o t c a l c u l a t e d .a . T h i s p a r a m e t e r i s s e t t o z e r o b e c a u s e i t i s r e d u n d a n t .b . M o d e l : M u l t i n o m i a lc . D e s i g n : C o n s t a n t + i n c o m e + o p i n i o n + s e xd . SPSS輸出 l n ( ) 2 .2 7 7 .5 1 7 .6 9 3 .1 1 4 inc o m e = 1 ,o p inion = 0 ,se x = 0
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