數(shù)學斐波那契數(shù)列(編輯修改稿)
2025-07-07 00:40 本頁面
【文章內容簡介】 波那契數(shù)列：1， 1， 2， 3， 5， 8， 13， 21， 34， 55， 89， 144， 233， ……①通項公式觀察斐波那契數(shù)列項數(shù)之間有什么關系？提示：從第三項開始每一項等于其前兩項的和，即若用表示第n項，則有。通過遞推關系式，我們可以一步一個腳印地算出任意項，不過，當n很大時，推算是很費事的，我們必須找到更為科學的計算方法。你能否尋找到通項公式，借助網(wǎng)絡資源，能否給予證明？提示：1730年法國數(shù)學家棣莫弗給出其通項表達式，19世紀初另一位法國數(shù)學家比內首先證明這一表達式，現(xiàn)在稱為之為比內公式。可以利用歸納法證明。網(wǎng)絡資源：求斐波那契數(shù)列的通項公式． ②項間關系學生根據(jù)下列問題分組探究并寫下探究的結果，有能力的學生可以繼續(xù)探究其他性質。同時教師提供斐波那契數(shù)列計算器的網(wǎng)頁。斐波那契數(shù)列有許多奇妙的性質，下面一起研究部分性質： 178。 問題：觀察相鄰兩項之間有什么關系？相鄰兩項互素，（）178。 1 ， 1 ， 2 ， 3 ， 5 ， 8 ， 13 ， 21 ， 34 ， 55 ， 89 ， 144 ， … 第3項、第6項、第9項、第12項、……的數(shù)字，有什么共同特點？提示：能夠被 2 整除．第4項、第8項、第12項，能夠被 3 整除．第 5項、第 10 項、……的數(shù)字，能夠被 5 整除．你還能發(fā)現(xiàn)哪些類似的規(guī)律？178。 如果你把前五加起來再加 1，結果會等于第七項；如果把前六項加起來，再加 1，就會得出第八項．那么前 n 項加起來再加 1，會不會等于第 n + 2 項呢？ 提示：1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 1 = 131 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 1 = 21由于每一項都是其前兩項的和，所以 178。 如果我們分別對偶數(shù)項與奇數(shù)項做加法運算的話，情形又如何呢？ 1 + 2 + 5 = 81 + 2 + 5 + 13 = 211 + 1 + 3 + 8 = 131 + 1 + 3 + 8 + 21 = 34提示：我們可以得到下列的結果： 你能否給出證明？178。 不可思議的是，如果我們把第三項的平方加上第四項的平方會得到第七項。22 + 32 = 4 + 9 = 1332 + 52 = 9 + 25 = 3482 + 132 = 64 + 169 = 233試試看其它的情形．是不是都成立呢？178。 更不可思議的是，你能想象到嗎，斐波那契數(shù)列與楊輝三角居然有聯(lián)系？提示：11 11 2 1 1 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 111281335③黃金分割動手做一下：把斐波那契數(shù)列中從第二項開始的每一項除以前一項， 得到一個新的數(shù)列，并畫出圖像，分析新數(shù)列的特點。提示：1，2，，，，..... 下圖中橫軸為 n 的值，縱軸為的取值：看起來好像會趨近某個定值，……。這為人所知作為黃金比率, 并且因此斐波那奇的序列并且稱黃金序列， 開普勒發(fā)現(xiàn)斐波那契數(shù)列的黃金比率。④探究其它特性利用斐波那契數(shù)列計算器和互聯(lián)網(wǎng)，每小組探究斐波那契數(shù)列的其它性質，然后利用網(wǎng)絡搜索所得到的性質，是否已經(jīng)被發(fā)現(xiàn)。再在網(wǎng)絡中查找一下是否還有其它性質，將得到的結論填入表—1。表—1小組： 人員組成： 性質描述證明過程網(wǎng)絡相關資源備注 第13題 (單選題)在學生探究斐波那契數(shù)列的其它特性時，需要填寫表1，您認為教師向學生出示表一1的最佳時機應在（C）。 (4 分) A．學生探究斐波那契數(shù)列的其它特性之后 B．學生探究斐波那契數(shù)列的其它特性過程中 C．學生探究斐波那契數(shù)列的其它特性之前 D．教學的導入階段設計意圖：通過系列的、逐層深入的問題串，引導學生利用數(shù)列的知識探索斐波那契數(shù)列的特性，進一步加深學生對數(shù)列的認識和運用。（五）聯(lián)系生活將學生分組，利用網(wǎng)絡搜索斐波那契數(shù)列與生活的聯(lián)系，將收集的資源加工整理，制作成PPT演示文稿，以小組為單位展示，并加以說明。嘗試一下，能否借助斐波那契數(shù)列的特性設計圖案？在網(wǎng)絡中查找一下利用斐波那契數(shù)列設計的圖案，并分析其中蘊含的數(shù)列。下面是從生物、藝術、計算機設計圖形等方面簡單示例：①生物學與斐波那契數(shù)列在現(xiàn)實的自然世界中，《算盤書》里那樣的神奇兔子自然是找不到的，但是這并不妨礙大自然使用斐波那契數(shù)列。起絨草橢球狀的花頭，你可以看見那上面有許多螺旋。很容易想象，如果從上面俯視下去的話，這些螺旋
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