【文章內(nèi)容簡介】 121?k ）［ 1+1)1(2 1 ??k］＞ 12 ?k （ 1+ 121?k ） = 12 12??kk （ 2k+2）。 第 11 頁 共 26 頁 ∵［ 12 12??kk （ 2k+2）］ 2－（ 32 ?k ） 2 ＝ 012 112 )384(484 22 ???? ????? kk kkkk ， ∴ .1)1(232)22(12 12 ???????? kkkk k . 因而 .1)1(2)12 11)(12 11()311)(11( ????????? kkk? 這就是說①式當(dāng) n=k+1 時也成立 . 由（ i），（ ii）知①式對任何正整數(shù) n 都成立 . 由此證得： Sn＞ 21 lgbn+1。 評述：本題主要考查等差數(shù)列的求和公式的求解和應(yīng)用，對一些綜合性的問題要先理清思路再行求解。 題型 7：等差數(shù)列的性質(zhì)及變形公式 例 13．（ 1）（ 20xx 上海春， 16）設(shè)｛ an｝（ n∈ N*）是等差數(shù)列， Sn 是其前 n 項的和，且 S5＜ S6， S6＝ S7＞ S8，則下列結(jié)論 錯誤 ． ． 的是（ ） ＜ 0 B. a7＝ 0 ＞ S5 與 S7 均為 Sn 的最大值 （ 2）（ 1994 全國理， 12）等差數(shù)列 {an}的前 m 項和為 30，前 2m 項和為 100，則它的前 3m 項和為（ ） 解析：（ 1）答案： C； 由 S5S6 得 a1+a2+a3+? +a5a1+a2+? +a5+a6，∴ a60， 又 S6=S7，∴ a1+a2+? +a6=a1+a2+? +a6+a7，∴ a7=0， 由 S7S8，得 a80，而 C 選項 S9S5，即 a6+a7+a8+a90? 2（ a7+a8） 0， 由題設(shè) a7=0， a80，顯然 C 選項是錯誤的。 （ 2）答案： C 解法一：由題意得方程組?????????????1 002 )12(22302 )1(11dmmmadmmma， 第 12 頁 共 26 頁 視 m 為已知數(shù)，解得212 )2(10,40 mmamd ???， ∴ 210402 )13(3)2(1032 )13(3322113 ???????? mmmmmmdmmamaS m。 解法二：設(shè)前 m 項的和為 b1，第 m+1 到 2m 項之和為 b2，第 2m+1 到 3m 項之和為b3，則 b1， b2， b3 也成等差數(shù)列。 于是 b1=30， b2=100－ 30=70，公差 d=70－ 30=40。 ∴ b3=b2+d=70+40=110 ∴前 3m 項之和 S3m=b1+b2+b3=210. 解法三：取 m=1，則 a1=S1=30， a2=S2－ S1=70，從而 d=a2－ a1=40。 于是 a3=a2+d=70+40=110.∴ S3=a1+a2+a3=210。 點評：本題考查等差數(shù)列的基本知識，及靈活運用等差數(shù)列解決問題的能力，解法二中是利用構(gòu)造新數(shù)列研究問題，等比數(shù)列也有類似性質(zhì) .解法三中，從題給選擇支獲得的信息可知，對任意變化的自然數(shù) m，題給數(shù)列前 3m 項的和是與 m 無關(guān)的不變量，在含有某種變 化過程的數(shù)學(xué)問題，利用不變量的思想求解，立竿見影。 例 14．（ 20xx 上海， 21）在 XOY 平面上有一點列 P1（ a1， b1）， P2（ a2， b2），?，Pn（ an， bn），?，對每個自然數(shù) n，點 Pn 位于函數(shù) y=20xx（ 10a ） x（ 0＜ a＜ 10＝的圖象上，且點 Pn、點（ n， 0）與點（ n+1， 0）構(gòu)成一個以 Pn 為頂點的等腰三角形。 （Ⅰ）求點 Pn 的縱坐標(biāo) bn 的表達(dá)式； （Ⅱ）若對每個自然數(shù) n，以 bn， bn＋ 1， bn＋ 2 為邊長能構(gòu)成一個三角形，求 a 的取值范圍； （Ⅲ）（理）設(shè) Bn＝ b1， b2? bn（ n∈ N） .若 a ?。á颍┲写_定的范圍內(nèi)的最小整數(shù)，求數(shù)列｛ Bn｝的最大項的項數(shù)。 （文）設(shè) ＝ lg（ bn）（ n∈ N） .若 a ?。á颍┲写_定的范圍內(nèi)的最小整數(shù)，問數(shù)列｛ ｝前多少項的和最大 ?試說明理由。 解析： .解：（Ⅰ）由題意， an＝ n＋ 21 ，∴ bn＝ 20xx（ 10a ） 21?n 。 （Ⅱ）∵函數(shù) y=20xx（ 10a ） x（ 0＜ a＜ 10）遞減， ∴對每個自然數(shù) n，有 bn＞ bn＋ 1＞ bn＋ 2 則以 bn， bn＋ 1， bn＋ 2 為邊長能構(gòu)成一個三角形的充要條件是 bn＋ 2＋ bn＋ 1＞ bn， 第 13 頁 共 26 頁 即（ 10a ） 2＋（ 10a － 1）＞ 0， 解得 a＜－ 5（ 1＋ 5 ）或 a＞ 5（ 5 － 1）， ∴ 5（ 5 － 1）＜ a＜ 10． （Ⅲ）（理）∵ 5（ 5 － 1）＜ a＜ 10， ∴ a=7， bn＝ 20xx（ 107 ） 21?n 。 數(shù)列｛ bn｝是一個遞減的正數(shù)數(shù)列 .對每個自然數(shù) n≥ 2， Bn＝ bnBn－ 1。 于是當(dāng) bn≥ 1 時， Bn≥ Bn－ 1，當(dāng) bn＜ 1 時， Bn＜ Bn－ 1， 因此，數(shù)列｛ Bn｝的最大項的項數(shù) n 滿足不等式 bn≥ 1 且 bn＋ 1＜ 1。 由 bn＝ 20xx（ 107 ） 21?n ≥ 1，得 n≤ ，∴ n=20。 （文）∵ 5（ 5 － 1）＜ a＜ 10，∴ a=7， bn＝ 20xx（ 107 ） 21?n 。 于是 ＝ lg［ 20xx（ 107 ） 21?n ］＝ 3＋ lg2（ n＋ 21 ） 數(shù)列｛ ｝是一個遞減的等差數(shù)列 . 因此，當(dāng)且僅當(dāng) ≥ 0，且 ＋ 1＜ 0 時，數(shù)列｛ ｝的前 n 項的和最大。 由 ＝ 3＋ lg2＋（ n＋ 21 ） lg0． 7≥ 0， 得 n≤ ，∴ n=20。 點評：本題主要考查函數(shù)的解析式，函數(shù)的性質(zhì)，解不等式，等差、等比數(shù)列的有關(guān)知識，及等價轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法 . 五．思維總結(jié) 1． 數(shù)列的知識要點： （ 1）數(shù)列是特殊的函數(shù)，數(shù)列是定義在自然數(shù)集 N（或它的有限子集｛ 1， 2， 3，?，n，?｝）上的函數(shù) f（ n），當(dāng)自變量從小到大依次取值時對應(yīng)的一列函數(shù)值： f（ 1）， f（ 2），f（ 3），?， f（ n），?。數(shù)列的圖象是由一群孤立 的點構(gòu)成的。 （ 2）對于數(shù)列的通項公式要掌握：①已知數(shù)列的通項公式，就可以求出數(shù)列的各項；②根據(jù)數(shù)列的前幾項，寫出數(shù)列的一個通項公式，這是一個難點，在學(xué)習(xí)中要注意觀察第 14 頁 共 26 頁 數(shù)列中各項與其序號的變化情況，分解所給數(shù)列的前幾項，看看這幾項的分解中．哪些部分是變化的，哪些是不變的，再探索各項中變化部分與序號的聯(lián)系，從而歸納出構(gòu)成數(shù)列的規(guī)律，寫出通項公式；③一個數(shù)列還可以用遞推公式來表示；④在數(shù)列｛ an｝中，前 n 項和 Sn 與通項公式 an 的關(guān)系，是本講內(nèi)容一個重點，要認(rèn)真掌握之。即 an＝??? ?? ?? )2()1(11 nSS nSnn。特別要注意的是，若 a1 適合由 an＝ Sn－ Sn－ 1（ n≥ 2）可得到的表達(dá)式，則 an 不必表達(dá)成分段形式，可化統(tǒng)一為一個式子。 2．等差數(shù)列的知識要點： （ 1）等差數(shù)列定義 an＋ 1－ an＝ d（常數(shù)）（ n ?N），這是證明一個數(shù)列是等差數(shù)列的依據(jù)，要防止僅由前若干項，如 a3－ a2＝ a2－ a1＝ d（常數(shù)）就說｛ an｝是等差數(shù)列這樣的錯誤，判斷一個數(shù)列是否是等差數(shù)列。還可由 an＋ an＋ 2＝ 2 an＋ 1 即 an＋ 2－ an＋ 1＝ an＋1－ an 來判斷。 （ 2） 等差數(shù)列的通項為 an＝ a1＋（ n－ 1） d．可整理成 an＝ an＋（ a1－ d），當(dāng) d≠ 0時， an 是關(guān)于 n 的一次式，它的圖象是一條直線上，那么 n 為自然數(shù)的點的集合。 （ 3）對于 A 是 a、 b 的等差中項，可以表示成 2 A＝ a＋ b。 （ 4）等差數(shù)列的前 n 項和公式 Sn＝21 naa? n－ na1＋2 )1( ?nnd，可以整理成 Sn＝2dn2＋ nda )2( 1?。當(dāng) d≠ 0 時是 n 的一 個常數(shù)項為 0 的二次式。 （ 5） 等差數(shù)列的判定方法： ①定義法：對于數(shù)列 ??na ，若 daa nn ???1 (常數(shù) )，則數(shù)列 ??na 是等差數(shù)列； ②等差中項：對于數(shù)列 ??na ，若 212 ?? ?? nnn aaa ，則數(shù)列 ??na 是等差數(shù)列。 3．等差數(shù)列的性質(zhì)： （ 1）在等差數(shù)列 ??na 中，從第 2 項起，每一項是它相鄰二項的等差中項； （ 2）在等差數(shù)列 ??na 中，相隔等距離的項組成的數(shù)列是 AP ， 如： 1a ， 3a ， 5a ，7a ，??； 3a ， 8a ， 13a ， 18a ，??； （ 3 ）在等差數(shù)列 ??na 中，對任意 m ， nN?? ， ()nma a n m d? ? ? ，nmaad nm?? ? ()mn? ； （ 4 ）在等差數(shù)列 ??na 中，若 m ， n ， p ， qN?? 且 m n p q? ? ? ，則m n p qa a a a? ? ? ； 5． 說明：設(shè)數(shù)列 {}na 是等差數(shù)列 ，且公差為 d ，（ Ⅰ ）若項數(shù)為偶數(shù)，設(shè)共有 2n 項，則 ① S 奇 ? S 偶 nd? ； ② 1nnS aSa??奇偶； （ Ⅱ ）若項數(shù)為奇數(shù)，設(shè)共有 21n? 項，則 ① S第 15 頁 共 26 頁 偶 ? S 奇 naa??中 ； ②1S nSn? ?奇偶。 6．（ 1） 1 0a? ， 0d? 時， nS 有最大值； 1 0a? ， 0d? 時， nS 有最小值；（ 2） nS最值的求法： ① 若已知 nS ，可用二次函數(shù)最值的求法（ nN?? ）； ② 若已知 na ，則 nS 最值時 n 的值（ nN?? ）可如下確定100nnaa???? ??或100nnaa???? ??。 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書 — 數(shù)學(xué) [人教版 ] 高三新 數(shù)學(xué) 第一輪復(fù)習(xí)教案（講座 27） — 正、余弦定理及應(yīng)用 一．課標(biāo)要求： （ 1） 通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題 ； （ 2） 能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何 計算有關(guān)的實際問題 。 二．命題走向 對本講內(nèi)容的考察主要涉及三角形的邊角轉(zhuǎn)化、三角形形狀的判斷、三角形內(nèi)三角函數(shù)的求值以及三角恒等式的證明問題，立體幾何體的空間角以及解析幾何中的有關(guān)角等問題。今后高考的命題會以正弦定理、余弦定理為知識框架，以三角形為主要依托，結(jié)合實際應(yīng)用問題考察正弦定理、余弦定理及應(yīng)用。題型一般為選擇題、填空題，也可能是中、難度的解答題。 三．要點精講 1． 直角三角形中各元素間的關(guān)系： 如圖，在△ ABC 中， C＝ 90176。， AB＝ c， AC＝ b，BC＝ a。 （ 1）三邊之間的關(guān)系： a2＋ b2＝ c2。（勾股定理） （ 2）銳角之間的關(guān)系： A＋ B＝ 90176。； （ 3）邊角之間的關(guān)系：（銳角三角函數(shù)定義） sinA＝ cosB＝ca， cosA＝ sinB＝cb， tanA＝ba。 2．斜三角形中各元素間的關(guān)系： 如圖 629，在△ ABC 中， A、 B、 C 為其內(nèi)角， a、 b、 c 分別表示 A、 B、 C 的對邊。 （ 1）三角形內(nèi)角和： A＋ B＋ C＝ π 。 （ 2）正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等 。 RCcBbAa 2s ins ins in ??? 。 （ R 為外接圓半徑） （ 3）余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。 a2＝ b2＋ c2－ 2bccosA； b2