【文章內(nèi)容簡介】 74?nT ． 點(diǎn)評(píng)： 本題利用轉(zhuǎn)化思想將遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化成我們熟悉的結(jié)構(gòu)求得數(shù)列 ??na 的通項(xiàng) na ，第二問分組求和法是非常常見的方法，第三問不等式的證明要用到放縮的辦法，放縮的目的是利于求和，所以通常會(huì)放成等差、等比數(shù)列求和，或者 放縮之后可以裂項(xiàng)相消求和。 【反饋演練】 1．已知數(shù)列 }{na 的通項(xiàng)公式 *2 1( )na n n N? ? ?，其前 n 項(xiàng)和為 nS ，則數(shù)列 }{nSn 的前 10 項(xiàng)的和為 75 。 2．已知數(shù)列 }{na 的通項(xiàng)公式 12 ( 2 1 ) *2 1 ( 2 ){ ( )n nkn n n ka k N? ??????，其前 n 項(xiàng)和為 nS ，則 9S? 377 。 3．已知數(shù)列 }{na 的前 n 項(xiàng)和為 nS ，且 21nnSa??，則數(shù)列 }{na 的通項(xiàng)公式為 12nna ??? 。 4．已知數(shù)列 }{na 中， 1 1,a? 且有 *1( 2 1 ) ( 2 3 ) ( , 2)nnn a n a n N n?? ? ? ? ?，則數(shù)列 }{na 的通項(xiàng)公式為 3 1 1()2 2 1 2 1na nn????，前 n 項(xiàng)和為 321nn? 。 5．?dāng)?shù)列 {an}滿足 a1=2，對(duì)于任意的 n∈ N*都有 an＞ 0, 且 (n+1)an2+an an+1－ nan+12=0， 又知數(shù)列 {bn}的通項(xiàng)為 bn=2n－ 1+1. (1)求數(shù)列 {an}的通項(xiàng) an及它的前 n項(xiàng)和 Sn； (2)求數(shù)列 {bn}的前 n項(xiàng)和 Tn； 解： (1）可解得nnaa nn 11 ???，從而 an=2n，有 Sn=n2+n， (2)Tn=2n+n－ 1. 6．?dāng)?shù)列 {an}中， a1=8,a4=2且滿足 an+2=2an+1－ an,(n∈ N*). (1)求數(shù)列 {an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè) Sn=｜ a1｜ +｜ a2｜ +? +｜ an｜ ,求 Sn。 (3)設(shè) bn=)12( 1 nan ?(n∈ N*),Tn=b1+b2+?? +bn(n∈ N*),是否存在最大的整數(shù) m，使得對(duì)任意 n∈ N*均有 Tn＞ 32m 成立？若存在，求出 m的值；若不存在，說明 理由 . 解： (1）由 an+2=2an+1－ an?an+2－ an+1=an+1－ an可知 {an} d= 14 14??aa =－ 2,∴ an=10－ 2n. (2)由 an=10－ 2n≥ 0可得 n≤ 5，當(dāng) n≤ 5時(shí)， Sn=－ n2+9n，當(dāng) n＞ 5時(shí)， Sn=n2－ 9n+40， 故 Sn=???????? ???? 5 409 51 922nnn nnn (3)bn= )111(21)22( 1)12( 1 ?????? nnnnan n )1(2)]111()3121()211[(2121 ??????????????? n nnnbbbT nn ??；要使 Tn＞ 32m 總成立，需32m ＜ T1=41 成立，即 m＜ 8且 m∈ Z，故適合條件的 m的最大值為 7. 第 4 課 數(shù)列的應(yīng)用 【考點(diǎn)導(dǎo)讀】 1．能在具體的問題情景中發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差、等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng) 的問題。 2．注意基本數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用，構(gòu)造思想：已知數(shù)列構(gòu)造新數(shù)列，轉(zhuǎn)化思想：將非等差、等比數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列。 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1． 若數(shù)列 ??na 中， 311?a，且對(duì)任意的正整數(shù) p 、 q 都有 qpqp aaa ?? ，則 ?na 13n . 2．設(shè)等比數(shù)列 ??na 的公比為 q ，前 n 項(xiàng)和為 nS ，若 12,n n nS S S??成等差數(shù)列，則 q 的值為 2? 。 3．已知等差數(shù)列 ??na 的公差為 2，若 1 3 4,a a a 成等比數(shù)列，則 2a? 6? 。 【范例導(dǎo)析】 例 1．已知正數(shù)組成的兩個(gè)數(shù)列 }{},{ nn ba ，若 1, ?nn aa 是關(guān)于 x 的方程 02 122 ??? ?nnnn bbaxbx 的兩根 （ 1）求證： }{nb 為等差數(shù)列； （ 2）已知 ,6,2 21 ?? aa 分別求數(shù)列 }{},{ nn ba 的通項(xiàng)公式； （ 3）求數(shù)nnn snb 項(xiàng)和的前}2{。 （ 1）證明：由 02, 1221 ??? ?? nnnnnn bbaxbxxaa 的方程是關(guān)于 的兩根得： 1121 ,2 ??? ??? nnnnnnnn bbaaabaa ,2 12 ?? ??? nnnnn bbbbb 0?nb? )1(2 112 ???? ?? nbbb nnn }{nb? 是等差數(shù)列 （ 2）由（ 1）知 ,82 2121 ??? aab ,21??b nbnbbbba n ???????? 12212 ,1,3,? ∴ )1)(1(1 ???? ? nnnbba nnn 又 21?a 也符合該式， )1( ??? nnan （ 3）nn ns 2 1242322 32 ?????? ? ① 132 2 1242321 ?????? nn ns ? ② ① — ②得 1432 2 121212121121 ????????? nnn ns ? 1121211)2 11(411 ?? ?????? nn n 11 2 1)(211 ?? ???? nn n nn ns 2 33 ????. 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，數(shù)列的構(gòu)造，數(shù)列的轉(zhuǎn)化思想，乘公比錯(cuò)項(xiàng)相減法求和等。 例 2．設(shè)數(shù)列 ? ?? ?nn ba , 滿足 3,4,6 332211 ?????? bababa ，且數(shù)列 ? ?? ??? ?? Nnaa nn 1 是等差數(shù)列，數(shù)列 ? ?? ???? Nnbn 2 是等比數(shù)列。 （ I）求數(shù)列 ??na 和 ??nb 的通項(xiàng)公式； （ II）是否存在 *Nk? ，使 ???????? 21,0kk ba，若存在，求出 k ，若不存在，說明理由。 解：由題意得： )()()( 113121 ????????? nnn aaaaaaaa ? )4(0)1()2(6 ??????? n? ? ?2 )1()4()2(6 ?????? nn＝ 2 1872 ?? nn ； 由已知 22,42 21 ???? bb 得公比21?q ? ? 111 2142122?? ??????????????????nnn bb nnb ?????????? 2182 （ 2） kk bakf ??)( k21 7 19 2 82 2 2kk ??? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ??? 2k1 7 4 9 1872 2 4 2k??? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ???，所以當(dāng) 4?k 時(shí)， )(kf 是增函數(shù)。 又 21)4( ?f? ， 所以當(dāng) 4?k 時(shí) 21)( ?kf ， 又 0)3()2()1( ??? fff? ， 所以不存在 k ，使 ??????? 21,0)(kf。 【反饋演練】 1．制造某種產(chǎn)品，計(jì)劃經(jīng)過兩年要使成本降低 36% ，則平均每年應(yīng)降低成本 20% 。 2．等比數(shù)列 }{na 的前 n 項(xiàng)和為 nS ， 5 102, 6SS??，則 1 6 1 7 1 8 1 9 2 0a a a a a? ? ? ? ? 54 。 3．設(shè) }{na 為等差數(shù)列， nS 為數(shù)列 }{na 的前 n 項(xiàng)和，已知 7 157, 75SS??， nT 為數(shù)列｛ nSn ｝的前 n 項(xiàng)和，則 nT? 2 94nn? ． .4,3,}{ 422 SSanSa nn ??且項(xiàng)和為其前為等差數(shù)列 （ 1）求數(shù)列 }{na 的通項(xiàng)公式； （ 2）求證數(shù)列 }2{na 是等比數(shù)列； （ 3）求使得 nSS nn 的成立的22 ?? 的集合 . 解：（ 1）設(shè)數(shù)列 daa n 公差為的首項(xiàng)為 ,}{ 1，由題意得：??? ?????? dadada 64)2(4 3111 解得： 122,11 ????? nada n （ 2）由題意知： 42222 32 121 ?? ??? nnaann， }2{ na數(shù)列? 為首項(xiàng)為 2，公比為 4的等比數(shù)列 （ 3）由 21 ,12,2,1 nSnada nn ????? 得 }4,3,2,1{:4,3,2,18)2(2)2(2 2222的集合為故 nnnnnSS nn?????????? ? ??na 的各項(xiàng)均為正數(shù)， nS 為其前 n 項(xiàng)和，對(duì)于任意 *Nn? ，滿足關(guān)系 22 ?? nn aS . 證明： ??na 是等比數(shù)列； 證明：∵ *)(22 NnaS nn ??? ① ∴ *)(22 11 NnaS nn ??? ?? ② ②－①，得 *)(22 11 Nnaaa nnn ??? ?? ∵ *)( 2,0 1 Nnaaa nnn ???? ? 故 :數(shù)列 {an}是等比數(shù)列 2020 高中數(shù)學(xué) 精講精練 第六章 不等式 【 知識(shí) 圖解】 不等式 一元二次不等式 基本不等式 二元一次不等式組 應(yīng)用 解法 應(yīng)用 幾何意義 應(yīng)用 證明 【 方 法點(diǎn)撥 】 不等式是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，不等式的性質(zhì)是解 、 證不等式的基礎(chǔ)，兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理及其變形在不等式的證明和解決有關(guān)不等式的實(shí)際問題中發(fā)揮著重要的作用 .解不等式是研究方程和函數(shù)的重要工具，不等式的概念和性質(zhì)涉及到求最大（?。┲?，比較大小，求參數(shù)的取值范圍等，不等式的解法包括解不等式和求參數(shù)，不等式的綜合題主要是不等式與集合、函數(shù)、數(shù)列、三角函數(shù)、解析幾何、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)的綜合，綜合性強(qiáng)，難度較大，是高考命題的熱點(diǎn)，也是高考復(fù)習(xí)的難點(diǎn) . 1. 掌握用基本不等式求解最值問題，能用基本不等式證明簡單的不等式，利用基本不等式求最值時(shí)一定要緊扣“ 一正、二定、三相等”這三個(gè)條件。 2. 一元二次不等式是一類重要的不等式，要掌握一元二次不等式的解法，了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系和相互轉(zhuǎn)化。 3. 線性規(guī)劃問題有著豐富的實(shí)際背景，且作為最優(yōu)化方法之一又與人們?nèi)粘Ｉ蠲芮邢嚓P(guān)，對(duì)于這部分內(nèi)容應(yīng)能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組，能解決簡單的線性規(guī)劃問題。同時(shí)注意數(shù)形結(jié)合的思想在線性規(guī)劃中的運(yùn)用。 第 1 課 基本不等式 【考點(diǎn) 導(dǎo)讀 】 1. 能用基本不等式證明其他的不等式，能用基本不等式求解簡單的最值問題。 2. 能用基本不等式解決綜合形較強(qiáng)的問題。 【基礎(chǔ) 練習(xí) 】 1.“ ab0”是 “ ab 222ab? ” 的 充分而不必要條件 (填寫 充分而不必要條件 、 必要而不充分條件 、 充分必要條件 、 既不充分也不必要條件 ) 2. cabcabaccbba ???????? 則,2,2,1 222222 的最小值為 1 32? ,xy R?? ，且 41xy??，則 xy? 的最大值為 161 lg lg 1xy??，則 52xy?的最小值是 2 【 范例導(dǎo)析 】 例 54x?，求函數(shù) 14245yx x? ? ? ?的最大值 . 分析：由于 4 5 0x?? ，所以首先要調(diào)整符號(hào) . 解：∵ 54x?∴ 5 4 0x?? ∴ y=4x2+ 145x?= 15 4 354x