【正文】 項(xiàng)和，且 ??nS 是等比數(shù)列，求實(shí)數(shù) a 的值。 解：（ 1）答案： 13 法 1：設(shè)這個(gè)數(shù)列有 n項(xiàng) ∵??????????????????????dnnnaSdndaSSSdaSnnn2)1(6332233113313 ∴???????????????39 02)1(14 6)2(3334)(3111dnnnandada ∴ n＝ 13 法 2：設(shè)這個(gè)數(shù)列有 n項(xiàng) ∵ 1 2 3 1 23 4 , 1 4 6n n na a a a a a??? ? ? ? ? ? ∴ 1 2 1 3 2 1( ) ( ) ( ) 3 ( ) 3 4 1 4 6 1 8 0n n n na a a a a a a a??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ∴ 1 60naa?? 又 1()3902 nn a a? ? ∴ n＝ 13 （ 2）答案： 2 因?yàn)榍叭?xiàng)和為 12，∴ a1＋ a2＋ a3＝ 12，∴ a2＝ 33S ＝ 4 又 a1 6． 數(shù)列 ??na 中，已知 2 1 ()3n nna n N ?????， （ 1）寫出 10a ， 1na? ，2na； （ 2） 2793 是否是數(shù)列中的項(xiàng)？若是，是第幾項(xiàng)？ 解：（ 1）∵ 2 1 ()3n nna n N ?????， ∴ 10a 210 10 1 10933????， 1na? ? ? ? ?2 21 1 1 3133nn nn? ? ? ? ????， 2na ? ?222 421 133nn nn?? ????； （ 2）令 2793 2 13nn??? ， 解方程得 15, 16nn? ??或 ， ∵ nN?? ，∴ 15n? ， 即 2793 為該數(shù)列的第 15 項(xiàng)。 解：（ I） *1 2 1( ),nna a n N? ? ? ? 1 1 2( 1),nnaa?? ? ? ? ? ?1na??是以 1 12a?? 為首項(xiàng)， 2為公比的等比數(shù)列。 點(diǎn)評(píng)： 該題考察數(shù)列通項(xiàng)的定義，會(huì)判斷數(shù)列項(xiàng)的歸屬，要注重函數(shù)與數(shù)列之間的聯(lián)系，用函數(shù)的觀點(diǎn)解決數(shù)列的問(wèn)題有時(shí)非常方便。 【基礎(chǔ)練習(xí)】 }{na 滿足 )(13 3,0 *11 Nnaaaa nnn ????? ?，則 20a = 3? 。 解：依題意得， 3 2,n nnS ??即 232n nnS ??。 【反饋演練】 1．若 數(shù)列 ??na 前 8項(xiàng)的值各異，且 8nnaa? ? 對(duì)任意 n∈ N*都成立，則下列數(shù)列中可取遍 ??na 前 8項(xiàng)值的數(shù)列為 （ 2） 。 2．一個(gè)等比數(shù)列的第 3項(xiàng)與第 4項(xiàng)分別是 12與 18，則它的第 1項(xiàng)是 163 ，第 2項(xiàng)是 8 。 a3＝ 12， a1＋ a3＝ 8， 把 a1， a3作為方程的兩根且 a1＜ a3， ∴ x2－ 8x＋ 12＝ 0， x1＝ 6， x2＝ 2，∴ a1＝ 2， a3＝ 6，∴選 B. 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前 n項(xiàng)和公式的運(yùn)用和學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。 （ 2） 1( 4 4 ) ( 1 2 ) 3 4 ( 2 2 ) 212 n nn aS a a a???? ? ? ? ? ? ?? 當(dāng) n≥ 2時(shí)，111 ( 2 2 ) 2 3 4 3 42( 2 2 ) 2 3 4 ( 1 ) 2 3 4nnnnnS a a aS a a a a??? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ∵ }{nS 是等比數(shù)列 , ∴1?nnSS(n≥ 2)是常數(shù)， ∴ 3a+4=0，即 43a?? 。特征：an+a1=an1+a2 （ 4）錯(cuò)項(xiàng)相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是 由一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘所組成，此時(shí)求和可采用錯(cuò)位相減法。 例 3．已知數(shù)列 ??na 滿足 411?a， ? ? ),2(21 11 Nnnaaa nn nn ????? ??． （Ⅰ）求數(shù)列 ??na 的通項(xiàng)公式 na ； （Ⅱ）設(shè)21nn ab ?，求數(shù)列 ??nb 的前 n 項(xiàng)和 nS ； （Ⅲ ） 設(shè) 2 )12(sin ??? nacnn，數(shù)列 ??nc 的前 n 項(xiàng)和為 nT ．求證：對(duì)任意的 ??Nn ， 74?nT． 分析 ：本題所給的遞推關(guān)系式是要分別“取倒”再轉(zhuǎn)化成等比型的數(shù)列，對(duì)數(shù)列中不等式 的證明通常是放縮通項(xiàng)以利于求和。 (3)設(shè) bn=)12( 1 nan ?(n∈ N*),Tn=b1+b2+?? +bn(n∈ N*),是否存在最大的整數(shù) m，使得對(duì)任意 n∈ N*均有 Tn＞ 32m 成立？若存在，求出 m的值；若不存在，說(shuō)明 理由 . 解： (1）由 an+2=2an+1－ an?an+2－ an+1=an+1－ an可知 {an} d= 14 14??aa =－ 2,∴ an=10－ 2n. (2)由 an=10－ 2n≥ 0可得 n≤ 5，當(dāng) n≤ 5時(shí)， Sn=－ n2+9n，當(dāng) n＞ 5時(shí)， Sn=n2－ 9n+40， 故 Sn=???????? ???? 5 409 51 922nnn nnn (3)bn= )111(21)22( 1)12( 1 ?????? nnnnan n )1(2)]111()3121()211[(2121 ??????????????? n nnnbbbT nn ??；要使 Tn＞ 32m 總成立，需32m ＜ T1=41 成立，即 m＜ 8且 m∈ Z，故適合條件的 m的最大值為 7. 第 4 課 數(shù)列的應(yīng)用 【考點(diǎn)導(dǎo)讀】 1．能在具體的問(wèn)題情景中發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差、等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng) 的問(wèn)題。 解：由題意得： )()()( 113121 ????????? nnn aaaaaaaa ? )4(0)1()2(6 ??????? n? ? ?2 )1()4()2(6 ?????? nn＝ 2 1872 ?? nn ； 由已知 22,42 21 ???? bb 得公比21?q ? ? 111 2142122?? ??????????????????nnn bb nnb ?????????? 2182 （ 2） kk bakf ??)( k21 7 19 2 82 2 2kk ??? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ??? 2k1 7 4 9 1872 2 4 2k??? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ???，所以當(dāng) 4?k 時(shí)， )(kf 是增函數(shù)。 第 1 課 基本不等式 【考點(diǎn) 導(dǎo)讀 】 1. 能用基本不等式證明其他的不等式，能用基本不等式求解簡(jiǎn)單的最值問(wèn)題。 第 3 課 線性規(guī)劃 【考點(diǎn) 導(dǎo)讀 】 1. 會(huì)在直角坐標(biāo)系中表示二元一次不等式、二元一次不等式組對(duì)應(yīng)的區(qū)域，能由給定的平面區(qū)域確定所對(duì)應(yīng)的二元一次不等式、二元一次不等式組 . 2. 能利用圖解法解決簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題，并從中體會(huì)線性規(guī)劃所體現(xiàn)的用幾何圖形研究代數(shù)問(wèn)題的思想 . 【基礎(chǔ) 練習(xí) 】 （ 0,0）和點(diǎn) P（ 1,1）在直線 0x y a???的兩側(cè)，則 a的取值范圍是 0a2 2. 設(shè)集合 ? ?( , ) | , ,1A x y x y x y??＝ 是 三 角 形 的 三 邊 長(zhǎng)，則 A 所表示的平面區(qū)域 (不含邊界的陰影部分 )是 ( A ) 121112oyx121112oyx121112oyx 12112oyx A B C D ，位于 1010xyxy? ? ??? ? ? ?? ，表示的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)是（ C ） Ａ． (02)， Ｂ． ( 20)?， Ｃ． (0 2)?， Ｄ． (20)， x+y+2=0， x+2y+1=0， 2x+y+1=0 圍成的三角形區(qū)域 （不含邊界） 用不等式表示為 202 1 02 1 0xyxyxy? ? ???? ? ???? ? ?? ，不等式組??? ??? ?? 13 1xy xy所表示的平面區(qū)域的面積為23 【 范例導(dǎo)析 】 例 x,y 滿足約束條件???????????1255334xyxyx ,求 目標(biāo)函數(shù) z=6x+10y 的最大值，最小值。 （ 1） 12 22zz x y y x? ? ? ? ? ?， 作一組平行線 l： 122zyx?? ? ， 解方程組 04 052{ ??? ???yx yx 得最優(yōu)解例 1 圖 B（ 3， 1）， 3 2 1 5minz? ? ? ? ?。 （ 2）若方程 ? ? 222lo g 22 ??? xax 在 ?????? 2,21內(nèi)有解，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍。從圖中易得， 2minz OF? ，（ OF 為 O 到直線 AB 的距離）， 2maxz OC? 。 例 ?????????????0520402yxyxyx， （ 1） 求 yxz 2?? 的最大和最小值。 其中正確的是 ④ 1( )( ) 9axyxy? ? ?對(duì)任意正實(shí)數(shù) ,xy恒成立，則正實(shí)數(shù) a 的最小值為 6 4.（ 1） 已知： 0??xy ，且： 1?xy ，求證： 2222 ??? yx yx，并且求等號(hào) 成立的條件． （ 2） 設(shè)實(shí)數(shù) x， y 滿足 y+x2=0， 0a1，求證： ? ?xyalog a +a ≤ 1log 2 8?a。 3．設(shè) }{na 為等差數(shù)列， nS 為數(shù)列 }{na 的前 n 項(xiàng)和，已知 7 157, 75SS??， nT 為數(shù)列｛ nSn ｝的前 n 項(xiàng)和，則 nT? 2 94nn? ． .4,3,}{ 422 SSanSa nn ??且項(xiàng)和為其前為等差數(shù)列 （ 1）求數(shù)列 }{na 的通項(xiàng)公式； （ 2）求證數(shù)列 }2{na 是等比數(shù)列； （ 3）求使得 nSS nn 的成立的22 ?? 的集合 . 解：（ 1）設(shè)數(shù)列 daa n 公差為的首項(xiàng)為 ,}{ 1，由題意得：??? ?????? dadada 64)2(4 3111 解得： 122,11 ????? nada n （ 2）由題意知： 42222 32 121 ?? ??? nnaann， }2{ na數(shù)列? 為首項(xiàng)為 2，公比為 4的等比數(shù)列 （ 3）由 21 ,12,2,1 nSnada nn ????? 得 }4,3,2,1{:4,3,2,18)2(2)2(2 2222的集合為故 nnnnnSS nn?????????? ? ??na 的各項(xiàng)均為正數(shù)， nS 為其前 n 項(xiàng)和，對(duì)于任意 *Nn? ，滿足關(guān)系 22 ?? nn aS . 證明： ??na 是等比數(shù)列； 證明：∵ *)(22 NnaS nn ??? ① ∴ *)(22 11 NnaS nn ??? ?? ② ②－①，得 *)(22 11 Nnaaa nnn ??? ?? ∵ *)( 2,0 1 Nnaaa nnn ???? ? 故 :數(shù)列 {an}是等比數(shù)列 2020 高中數(shù)學(xué) 精講精練 第六章 不等式 【 知識(shí) 圖解】