【正文】 高中數(shù)學(xué) 精講精練 第五章 數(shù)列 【知識圖解】 【 方法點撥 】 1．學(xué)會從特殊到一般的觀察、分析、思考，學(xué)會歸納、猜想、驗證． 2．強化基本量思想，并在確定基本量時注重設(shè)變量的技巧與解方程組的技巧． 3．在重點掌握等差、等比數(shù)列的通項公式、求和公式、中項等基礎(chǔ)知識的同時，會針對可化為等差（比）數(shù)列的比較簡單的數(shù)列進行化歸與轉(zhuǎn)化． 4．一些簡單特殊數(shù)列的求通項與求和問題，應(yīng)注重通性通法的復(fù)習(xí)．如錯位相減法、迭加法、迭乘法等． 5．增強用數(shù)學(xué)的意識，會針對有關(guān)應(yīng) 用問題，建立數(shù)學(xué)模型，并求出其解． 第 1 課 數(shù)列的概念 【考點導(dǎo)讀】 1． 了解數(shù)列（含等差數(shù)列、等比數(shù)列）的概念和幾種簡單的表示方法（列表、圖象、通項公式），了解數(shù)列是一種特殊的函數(shù)； 2． 理解數(shù)列的通項公式的意義和一些基本量之間的關(guān)系； 3． 能通過一些基本的轉(zhuǎn)化解決數(shù)列的通項公式和前 n 項和的問題。 【基礎(chǔ)練習(xí)】 }{na 滿足 )(13 3,0 *11 Nnaaaa nnn ????? ?，則 20a = 3? 。 函 數(shù) 數(shù) 列 一般數(shù)列 通項 前 n 項 和 特殊數(shù)列 等差數(shù)列 等比數(shù)列 通項公式 中項性質(zhì) 前 n 項和公式 公式 通項公式 中項性質(zhì) 前 n 項和公式 公式 分析 :由 a1=0, )(13 31 ?? ???? Nnaaa nnn得 ?????????? ,0,3,3 432 aaa 由此可知 : 數(shù)列 }{na 是周期變化的 ,且三個一循環(huán) ,所以可得 : .3220 ??? aa 2．在數(shù)列 {}na 中，若 1 1a? ， 1 2( 1)nna a n? ? ? ?，則該數(shù)列的通項 na? 2n1 。 3．設(shè)數(shù)列 {}na 的前 n項 和為 nS ， *1 (3 1) ()2nn aS n N??? ，且 4 54a? ，則 1a? ____2__. 4．已知數(shù)列 {}na 的前 n 項和 (5 1)2n nnS ???，則其通項 na? 52n??． 【范例導(dǎo)析】 例 1．設(shè)數(shù)列 {}na 的通項公式是 2 85na n n? ? ? ，則 （ 1） 70是這個數(shù)列中的項嗎？如果是，是第幾項？ （ 2）寫出這個數(shù)列的前 5項，并作出前 5項的圖象； （ 3）這個數(shù)列所有項中有沒有最小的項？如果有，是第幾項？ 分析： 70 是否是數(shù)列的項，只要通過解方程 270 8 5nn? ? ? 就可以知道；而作圖時則要注意數(shù)列與函數(shù)的區(qū)別，數(shù)列的圖象是一系列孤立的點；判斷有無最小項的問題可以用函數(shù)的觀點來解決，一樣的是要注意定義域問題。 解：（ 1）由 270 8 5nn? ? ? 得： 13n? 或 5n?? 所以 70是這個數(shù)列中的項，是第 13項。 （ 2）這個數(shù)列的前 5項是 2, 7, 10 , 11 , 10? ? ? ? ?；（圖象略） （ 3）由函數(shù) 2( ) 8 5f x x x? ? ?的單調(diào)性： ( ,4)?? 是減區(qū)間， (4, )?? 是增區(qū)間， 所以當(dāng) 4n? 時， na 最小，即 4a 最小。 點評： 該題考察數(shù)列通項的定義，會判斷數(shù)列項的歸屬，要注重函數(shù)與數(shù)列之間的聯(lián)系，用函數(shù)的觀點解決數(shù)列的問題有時非常方便。 例 2．設(shè)數(shù)列 {}na 的前 n 項和為 nS ，點 ( , )( )nSn n Nn ?? 均在函數(shù) y＝ 3x－ 2 的圖像上 ,求數(shù)列 {}na 的通項公式。 分析： 根據(jù)題目的條件利用 nS 與 na 的關(guān)系： na? 1( 1 )( 2 )nSnSn??? ?? 當(dāng) 時當(dāng) 時，（要特別注意討論 n=1的情況） 求出數(shù)列 {}na 的通項。 解：依題意得， 3 2,n nnS ??即 232n nnS ??。 當(dāng) n≥ 2時， ? ? 22( 3 2 ) 3 1 2 ( 1 ) 6 51na n n n n nnnSS ??? ? ? ? ? ? ? ? ?? ???。 當(dāng) n=1時， 111aS?? 所以 *6 5( )na n n N? ? ?。 例 3．已知數(shù)列｛ an ｝滿足 11?a , )(12 *1 Nnaa nn ???? （Ⅰ）求數(shù)列 {}na 的通項公式； （Ⅱ）若數(shù)列 {}nb 滿足 12 111 *4 4 ... 4 ( 1 ) .( )nnbbbb na n N??? ? ? ?,證明： {}nb 是等差數(shù)列 。 分析： 本題第 1問采用構(gòu)造等比數(shù)列來求通項問題，第 2問依然是構(gòu)造問題。 解：（ I） *1 2 1( ),nna a n N? ? ? ? 1 1 2( 1),nnaa?? ? ? ? ? ?1na??是以 1 12a?? 為首項， 2為公比的等比數(shù)列。 1 2 .nna? ? ? 即 *2 1( ).nna n N? ? ? （ II） 12 1114 4 . . . 4 ( 1 ) .nnbbbb na??? ?? 12( ... )4 2 .nnb b b n nb? ? ? ??? 122 [ ( ... ) ] ,nnb b b n n b? ? ? ? ? ? ① 1 2 1 12 [ ( . . . ) ( 1 ) ] ( 1 ) .n n nb b b b n n b??? ? ? ? ? ? ? ? ② ； ② － ① ，得 112 ( 1 ) ( 1 ) ,n n nb n b n b??? ? ? ? 即 1( 1) 2 0 ,nnn b nb?? ? ? ?③ ∴ 21( 1) 2 0 .nnnb n b??? ? ? ? ④ ③ － ④ ，得 212 0 ,n n nnb nb nb??? ? ? 即 212 0,n n nb b b??? ? ? *2 1 1 ( ) ,n n n nb b b b n N? ? ?? ? ? ? ???nb? 是等差數(shù)列。 點評： 本小題主要考查數(shù)列、不等式等基本知識，考查化歸的數(shù)學(xué)思想方法，考查綜合解題能力。 【反饋演練】 1．若 數(shù)列 ??na 前 8項的值各異，且 8nnaa? ? 對任意 n∈ N*都成立，則下列數(shù)列中可取遍 ??na 前 8項值的數(shù)列為 （ 2） 。 （ 1） ? ?21ka? （ 2） ? ?31ka? （ 3） ? ?41ka? （ 4） ? ?61ka? 2．設(shè) Sn是數(shù)列 ??na 的前 n項和，且 Sn=n2，則 ??na 是 等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列 。 3．設(shè) f（ n） =nnnn 21312111 ??????????（ n∈ N），那么 f（ n+1）－ f（ n）等于22 112 ??? nn 。 4．根據(jù)市場調(diào)查結(jié)果，預(yù)測某種家用商品從年初開始的 n 個月內(nèi)累積的需求量 Sn（萬件）近似地滿足Sn=90n（ 21n－ n2－ 5）（ n=1， 2，??， 12） .按此 預(yù)測，在本年度內(nèi)，需求量超過 7月、 8月 。 5．在數(shù)列 {}na 中， 1 2 3 41 , 2 3 , 4 5 6 , 7 8 9 1 0 ,a a a a? ? ? ? ? ? ? ? ? ?則 10a? 505 。 6． 數(shù)列 ??na 中，已知 2 1 ()3n nna n N ?????， （ 1）寫出 10a ， 1na? ，2na； （ 2） 2793 是否是數(shù)列中的項？若是，是第幾項？ 解：（ 1）∵ 2 1 ()3n nna n N ?????， ∴ 10a 210 10 1 10933????， 1na? ? ? ? ?2 21 1 1 3133nn nn? ? ? ? ????， 2na ? ?222 421 133nn nn?? ????； （ 2）令 2793 2 13nn??? ， 解方程得 15, 16nn? ??或 ， ∵ nN?? ，∴ 15n? ， 即 2793 為該數(shù)列的第 15 項。 第 2 課 等差、等比數(shù)列 【考點導(dǎo)讀】 1． 掌握等差、等比數(shù)列的通項公式、前 n 項和公式，能運用公式解決一些簡單的問題； 2． 理解等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，了解等差、等比數(shù)列與函數(shù) 之間的關(guān)系； 3． 注意函數(shù)與方程思想方法的運用。 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1．在等差數(shù)列 {an}中，已知 a5＝ 10， a12＝ 31，首項 a1= 2 ，公差 d= 3 。 2．一個等比數(shù)列的第 3項與第 4項分別是 12與 18，則它的第 1項是 163 ，第 2項是 8 。 3． 設(shè) ??na 是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若 1 2 3 15a a a? ? ? ， 1 2 3 80aaa ? ，則 11 12 13a a a? ? ?105。 4．公差不為 0的等差數(shù)列 {an}中， a2， a3， a6依次成等比數(shù)列，則公比等于 3 。 【范例導(dǎo)析】 例 1．（ 1）若一個等差數(shù)列前 3項的和為 34，最后 3項的和為 146，且所有 項的和為 390，則這個數(shù)列有 13 項 。 （ 2）設(shè)數(shù)列 {an}是遞增等差數(shù)列，前三項的和為 12，前三項的積為 48，則它的首項是 2 。 解：（ 1）答案： 13 法 1：設(shè)這個數(shù)列有 n項 ∵??????????????????????dnnnaSdndaSSSdaSnnn2)1(6332233113313 ∴???????????????39 02)1(14 6)2(3334)(3111dnnnandada ∴ n＝ 13 法 2：設(shè)這個數(shù)列有 n項 ∵ 1 2 3 1 23 4 , 1 4 6n n na a a a a a??? ? ? ? ? ? ∴ 1 2 1 3 2 1( ) ( ) ( ) 3 ( ) 3 4 1 4 6 1 8 0n n n na a a a a a a a??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ∴ 1 60naa?? 又 1()3902 nn a a? ? ∴ n＝ 13 （ 2）答案： 2 因為前三項和為 12，∴ a1＋ a2＋ a3＝ 12，∴ a2＝ 33S ＝ 4 又 a1 a2 a3＝ 48， ∵ a2＝ 4，∴ a1 a3＝ 12， a1＋ a3＝ 8， 把 a1， a3作為方程的兩根且 a1＜ a3， ∴ x2－ 8x＋ 12＝ 0， x1＝ 6， x2＝ 2，∴ a1＝ 2， a3＝ 6，∴選 B. 點評： 本題考查了等差數(shù)列的通項公式及前 n項和公式的運用和學(xué)生分析問題、解決問題的能力。 例 2．（ 1）已知數(shù)列 ))}1({log *2 Nna n ?? 為等差數(shù)列，且 .9,3 31 ?? aa （Ⅰ）求數(shù)列 }{na 的通項公式；（Ⅱ）證明 .111112312 ?????????? ? nn aaaaaa 分析 ：（ 1）借助 .9,3 31 ?? aa 通過等差數(shù)列的定義求出數(shù)列 ))}1({log *2 Nna n ?? 的公差，再求出數(shù)列 }{na 的通項公式，（ 2）求和還是要先求出數(shù)列 }1{1 nn aa ??的通項公式，再利用通項公式進行求和。 解：（ 1）設(shè)等差數(shù)列 )}1({log 2 ?na 的公差為 d， 由 ,8lo g2lo g)2( lo g2:9,3 22231 ????? daa 得 即 d=1。 所以 ,1)1(1)1(lo g 2 nna n ?????? 即 .12 ?? nna （ II）證明：因為nnnnn aa 2122 11 11 ???? ??， 所