【正文】 不等式 一元二次不等式 基本不等式 二元一次不等式組 應(yīng)用 解法 應(yīng)用 幾何意義 應(yīng)用 證明 【 方 法點(diǎn)撥 】 不等式是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，不等式的性質(zhì)是解 、 證不等式的基礎(chǔ)，兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理及其變形在不等式的證明和解決有關(guān)不等式的實(shí)際問(wèn)題中發(fā)揮著重要的作用 .解不等式是研究方程和函數(shù)的重要工具，不等式的概念和性質(zhì)涉及到求最大（?。┲?，比較大小，求參數(shù)的取值范圍等，不等式的解法包括解不等式和求參數(shù)，不等式的綜合題主要是不等式與集合、函數(shù)、數(shù)列、三角函數(shù)、解析幾何、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)的綜合，綜合性強(qiáng)，難度較大，是高考命題的熱點(diǎn)，也是高考復(fù)習(xí)的難點(diǎn) . 1. 掌握用基本不等式求解最值問(wèn)題，能用基本不等式證明簡(jiǎn)單的不等式，利用基本不等式求最值時(shí)一定要緊扣“ 一正、二定、三相等”這三個(gè)條件。 【范例導(dǎo)析】 例 1．已知正數(shù)組成的兩個(gè)數(shù)列 }{},{ nn ba ，若 1, ?nn aa 是關(guān)于 x 的方程 02 122 ??? ?nnnn bbaxbx 的兩根 （ 1）求證： }{nb 為等差數(shù)列； （ 2）已知 ,6,2 21 ?? aa 分別求數(shù)列 }{},{ nn ba 的通項(xiàng)公式； （ 3）求數(shù)nnn snb 項(xiàng)和的前}2{。 3．已知數(shù)列 }{na 的前 n 項(xiàng)和為 nS ，且 21nnSa??，則數(shù)列 }{na 的通項(xiàng)公式為 12nna ??? 。 例 2．?dāng)?shù)列 }{na 前 n 項(xiàng)之和 nS 滿足： *1( 1 ) ( 2 1 ) ( , 0 )nnt S t S n N t?? ? ? ? ? ? （ 1） 求證：數(shù)列 }{na 是等比數(shù)列 ( 2)n? ； （ 2） 若數(shù)列 }{na 的公比為 ()ft,數(shù)列 }{nb 滿足：11 11, ( )n nb b f b???，求數(shù)列 }{nb 的通項(xiàng)公式； （ 3） 定義 數(shù)列 }{nc 為11nnnc bb??， ，求數(shù)列 }{nc 的前 n 項(xiàng)之和 nT 。 3．已知等差數(shù)列共有 10 項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)之和 15，偶數(shù)項(xiàng)之和為 30，則其公差是 3 。 例 3．已知數(shù)列 ??na 的首項(xiàng) 1 21aa??（ a 是常數(shù)，且 1a?? ）， 242 21 ???? ? nnaa nn （ 2n? ），數(shù)列 ??nb 的首項(xiàng) 1ba? ， 2nab nn ?? （ 2n? ）。 （ 2）設(shè)數(shù)列 {an}是遞增等差數(shù)列，前三項(xiàng)的和為 12，前三項(xiàng)的積為 48，則它的首項(xiàng)是 2 。 5．在數(shù)列 {}na 中， 1 2 3 41 , 2 3 , 4 5 6 , 7 8 9 1 0 ,a a a a? ? ? ? ? ? ? ? ? ?則 10a? 505 。 分析： 本題第 1問(wèn)采用構(gòu)造等比數(shù)列來(lái)求通項(xiàng)問(wèn)題，第 2問(wèn)依然是構(gòu)造問(wèn)題。 （ 2）這個(gè)數(shù)列的前 5項(xiàng)是 2, 7, 10 , 11 , 10? ? ? ? ?；（圖象略） （ 3）由函數(shù) 2( ) 8 5f x x x? ? ?的單調(diào)性： ( ,4)?? 是減區(qū)間， (4, )?? 是增區(qū)間， 所以當(dāng) 4n? 時(shí)， na 最小，即 4a 最小。 函 數(shù) 數(shù) 列 一般數(shù)列 通項(xiàng) 前 n 項(xiàng) 和 特殊數(shù)列 等差數(shù)列 等比數(shù)列 通項(xiàng)公式 中項(xiàng)性質(zhì) 前 n 項(xiàng)和公式 公式 通項(xiàng)公式 中項(xiàng)性質(zhì) 前 n 項(xiàng)和公式 公式 分析 :由 a1=0, )(13 31 ?? ???? Nnaaa nnn得 ?????????? ,0,3,3 432 aaa 由此可知 : 數(shù)列 }{na 是周期變化的 ,且三個(gè)一循環(huán) ,所以可得 : .3220 ??? aa 2．在數(shù)列 {}na 中，若 1 1a? ， 1 2( 1)nna a n? ? ? ?，則該數(shù)列的通項(xiàng) na? 2n1 。 當(dāng) n≥ 2時(shí)， ? ? 22( 3 2 ) 3 1 2 ( 1 ) 6 51na n n n n nnnSS ??? ? ? ? ? ? ? ? ?? ???。 （ 1） ? ?21ka? （ 2） ? ?31ka? （ 3） ? ?41ka? （ 4） ? ?61ka? 2．設(shè) Sn是數(shù)列 ??na 的前 n項(xiàng)和，且 Sn=n2，則 ??na 是 等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列 。 3． 設(shè) ??na 是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若 1 2 3 15a a a? ? ? ， 1 2 3 80aaa ? ，則 11 12 13a a a? ? ?105。 例 2．（ 1）已知數(shù)列 ))}1({log *2 Nna n ?? 為等差數(shù)列，且 .9,3 31 ?? aa （Ⅰ）求數(shù)列 }{na 的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）證明 .111112312 ?????????? ? nn aaaaaa 分析 ：（ 1）借助 .9,3 31 ?? aa 通過(guò)等差數(shù)列的定義求出數(shù)列 ))}1({log *2 Nna n ?? 的公差，再求出數(shù)列 }{na 的通項(xiàng)公式，（ 2）求和還是要先求出數(shù)列 }1{1 nn aa ??的通項(xiàng)公式，再利用通項(xiàng)公式進(jìn)行求和。 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了用定義證明等比數(shù)列，分類討論的數(shù)學(xué)思想，有一定的綜合性。 （ 5）裂項(xiàng)相消法：把一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)一些正負(fù)項(xiàng)相互抵消，于是前 n項(xiàng)之和變成首尾若干少數(shù)項(xiàng)之和。 解：（Ⅰ）12)1(1???? nnn aa?， ])1(1)[2()1(1 11?? ???????nnnn aa， 又 3)1(11 ???a?， ?數(shù)列 ? ??????? ?? nna11 是首項(xiàng)為 3 ，公比為 2? 的等比數(shù)列． 1)2(3)1(1 ????? nnna， 即 123 )1(11??????nnna. （Ⅱ） 12649)123( 1121 ???????? ??? nnnnb ． 9264321 )21(1641 )41(19 ????????????????? nnS nnnnn ． （Ⅲ） 1)1(2 )12(s in ???? nn ??， 123 1)1()2(3 )1( 111?????? ??? ???nnnnnc． 當(dāng) 3?n 時(shí)，則123 1123 1123 113 1 12 ???????????? ?nnT ? ?21221121132 1])(1[281123 123 123 17141 ??????????? ??nn 7484488447612811])21(1[612811 2 ???????? ?n． 321 TTT ??? ， ?對(duì)任意的 ??Nn ， 74?nT ． 點(diǎn)評(píng)： 本題利用轉(zhuǎn)化思想將遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化成我們熟悉的結(jié)構(gòu)求得數(shù)列 ??na 的通項(xiàng) na ，第二問(wèn)分組求和法是非常常見(jiàn)的方法，第三問(wèn)不等式的證明要用到放縮的辦法，放縮的目的是利于求和，所以通常會(huì)放成等差、等比數(shù)列求和，或者 放縮之后可以裂項(xiàng)相消求和。 2．注意基本數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用，構(gòu)造思想：已知數(shù)列構(gòu)造新數(shù)列，轉(zhuǎn)化思想：將非等差、等比數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列。 又 21)4( ?f? ， 所以當(dāng) 4?k 時(shí) 21)( ?kf ， 又 0)3()2()1( ??? fff? ， 所以不存在 k ，使 ??????? 21,0)(kf。 2. 能用基本不等式解決綜合形較強(qiáng)的問(wèn)題。 分析：求目標(biāo)函數(shù)的最值，必須先畫(huà)出準(zhǔn)確的可行域，然后把線性目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為一族平行直線，這樣就把線性規(guī)劃問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一族平行直線與一平面區(qū)域有交點(diǎn)，直線在 y軸上截距的最大值與最小值問(wèn)題 . 解：先作出可行域，如圖所示中 ABC? 的區(qū)域， 且求得 A(5,2),B(1,1),C(1, 522 ) 作出直線 L0： 6x+10y=0，再將直線 L0平移 當(dāng) L0的平行線過(guò) B 點(diǎn)時(shí)，可使 z=6x+10y 達(dá)到最小值 當(dāng) L0的平行線過(guò) A 點(diǎn)時(shí)，可使 z=6x+10y 達(dá)到最大值 所以 zmin=16。解 02 052{ ??? ???yx yx 得最優(yōu)解 C（ 7， 9）， max 7 2 9 25z? ? ? ? ? （ 2） 00???? xyxyz 表示可行域內(nèi)的點(diǎn)（ x,y）與（ 0， 0）的連線的斜率。 分析：?jiǎn)栴}（ 1）可轉(zhuǎn)化為 2 2 2 0ax x? ? ?在 ?????? 2,21內(nèi)有有 解 ；從而和問(wèn)題（ 2）是同一類型的問(wèn)題，既可以直接構(gòu)造函數(shù)角度分析，亦可以采用分離參數(shù) . 解：（ 1）若 ??QP? ， 0222 ???? xax 在 ?????? 2,21內(nèi)有有解 xxa 222 ???? 令2121122222 ??????? ?????? xxxu 當(dāng) ??????? 2,21x時(shí)， ???????? 21,4u 所以 a4,所以 a 的取值范圍是 ? ?4??aa （ 2）方程 ? ? 222lo g 22 ??? xax 在 ?????? 2,21內(nèi)有解 ， 則 0222 ??? xax 在 ?????? 2,21內(nèi)有解 。 （ 3） 2 2 2 2( 0) ( 0)z x y x y? ? ? ? ? ?表示可行域內(nèi)的點(diǎn)（ x,y）到（ 0， 0）的距離的平方。 （ 2）、求線性目標(biāo)函數(shù)的最 優(yōu)解，要注意分析線性目標(biāo)函數(shù)所表示的幾何意義 ——在 y 軸上的截距或其相反數(shù)。 （ 2） 已知 00 ?? yx ， ，且 302 ??? xyyx ，求 xy 的最大值． 分析：?jiǎn)栴}（ 1）可以采用常數(shù)代換的方法也可以進(jìn)行變量代換從而轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)再利用基本不等式求解；問(wèn)題（ 2）既可以直接利用基本不等式將題目中的等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于 xy 的不等式，也可以采用變量代換轉(zhuǎn)換為一元函數(shù)再求解 . 解 :(1)法一：直接利用基本不等式： a b b x a yx + y = (x + y )( + ) = a + b + +x y y x≥ +b+2 ab 當(dāng)且僅當(dāng)ay bx=xyab+ =1xy???????，即 x=a+ aby=b+ ab?????時(shí)等號(hào)成立 法二： 由 ab+ =1xy得 ayx=yb a y a ( y b ) a bx y y yy b y ba b a ba y ( y b ) a by b y b??? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ???? ∵ x0， y0， a0 ∴ 由 ayyb0得 yb0 ∴ x+y≥2 ab+a+b 當(dāng)且僅當(dāng)ab = ybybab+ =1xy???????，即 y=b+ abx=a+ ab?????時(shí)，等號(hào)成立 （ 2） 法一 ： 由 302 ??? xyyx ，可得， )300(230 ????? xxxy 　 ． x xxxxxxy ? ????????? 2 64)2(34)2(230 22 ?????? ????? 264)2(34 xx 注意到 16264)2(2264)2( ???????? xxxx．可得， 18?xy ． 當(dāng)且僅當(dāng)2642 ??? xx，即 6?x 時(shí)等號(hào)成立，代入 302 ??? xyyx 中 得 3?y ，故 xy的最大值為 18． 法二 ： ??Ryx,? ， xyxyyx ????? 22222 ， 代入 302 ??? xyyx 中得： 3022 ??? xyxy 解此不等式