【正文】 比較簡單的數(shù)列進行化歸與轉化． 4．一些簡單特殊數(shù)列的求通項與求和問題，應注重通性通法的復習．如錯位相減法、迭加法、迭乘法等． 5．增強用數(shù)學的意識，會針對有關應 用問題，建立數(shù)學模型，并求出其解． 第 1 課 數(shù)列的概念 【考點導讀】 1． 了解數(shù)列（含等差數(shù)列、等比數(shù)列）的概念和幾種簡單的表示方法（列表、圖象、通項公式），了解數(shù)列是一種特殊的函數(shù)； 2． 理解數(shù)列的通項公式的意義和一些基本量之間的關系； 3． 能通過一些基本的轉化解決數(shù)列的通項公式和前 n 項和的問題。 分析： 根據(jù)題目的條件利用 nS 與 na 的關系： na? 1( 1 )( 2 )nSnSn??? ?? 當 時當 時，（要特別注意討論 n=1的情況） 求出數(shù)列 {}na 的通項。 點評： 本小題主要考查數(shù)列、不等式等基本知識，考查化歸的數(shù)學思想方法，考查綜合解題能力。 【基礎練習】 1．在等差數(shù)列 {an}中，已知 a5＝ 10， a12＝ 31，首項 a1= 2 ，公差 d= 3 。 a3＝ 48， ∵ a2＝ 4，∴ a1 解：（ 1）∵ 2nab nn ?? ∴ 22211 )1(2)1(4)1(2)1( ??????????? ?? nnnanab nnn nn bna 222 2 ??? (n≥ 2) 由 1 21aa??得 2 4aa? ， 22 4 4 4b a a? ? ? ?，∵ 1a?? ，∴ 2 0b? ， 即 {}nb 從第 2項起是以 2為公比的等比數(shù)列。又2a7=a1+a13=132 S13＜ 0, ∴ a7＜ 0, a7+a6=a1+a12=61 S120, ∴ a6≥－ a70 故在 S1， S2，?， S12中 S6最大 . 解法三：依題意得： )(2)212()1(2 21 nnddndnnnaS n ??????? 222 )]245(21[,0,)245(8)]245(21[2 dnddddnd ????????? ?最小時， Sn最大； ∵－ 724 ＜ d＜－ 3, ∴ 6＜ 21 (5－ d24 )＜ . 從而，在正整數(shù)中，當 n=6時，［ n－ 21 (5－ d24 )］ 2最小，所以 S6最大 . 點評： 該題的第 (1)問 通過建立不等式組求解屬基本要求，難度不高，入手容易 . 第 (2)問難度較高，為求 {Sn}中的最大值 Sk（ 1≤ k≤ 12）：思路之一是知道 Sk為最大值的充要條件是 ak≥ 0且 ak+1＜ 0；而思路之二則是通過等差數(shù)列的性質等和性探尋數(shù)列的分布規(guī)律，找出“分水嶺”，從而得解；思路之三是可視 Sn為 n的二次函數(shù)，借助配方法可求解，它考查了等價轉化的數(shù)學思想、邏輯思維能力和計算能力，較好地體現(xiàn)了高考試題注重能力考查的特點 . 第 3 課 數(shù)列的求和 【考點導讀】 對于一般數(shù)列求和是很困難的，在推導等差、等比數(shù)列的和時出現(xiàn)了一些 方法可以遷移到一般數(shù)列的求和上，掌握數(shù)列求和的常見方法有： （ 1）公式法：⑴ 等差數(shù)列的求和公式，⑵ 等比數(shù)列的求和公式 （ 2）分組求和法：在直接運用公式求和有困難時常，將“和式”中的“同類項”先合并在一起，再運用公式法求和（如：通項中含 n(1) 因式，周期數(shù)列等等） （ 3）倒序相加法：如果一個數(shù)列｛ an ｝，與首末兩項等距的兩項之和等于首末兩項之和，則可用把正著寫和與倒著寫和的兩個和式相加，就得到了一個常數(shù)列的和，這一求和方法稱為倒序相加法。 （ 3）11 1 1 1 1()( 2 1 ) ( 2 1 ) 2 2 1 2 1nnnc b b n n n n?? ? ? ? ?? ? ? ?， ∴ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1( 1 ) ( 1 )2 3 3 5 5 7 2 1 2 1 2 2 1nT n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? 點評：本題考查了 na 與 nS 之間的轉化問題，考查了基本等差數(shù)列的定義，還有裂項相消法求和問題。 an+1－ nan+12=0， 又知數(shù)列 {bn}的通項為 bn=2n－ 1+1. (1)求數(shù)列 {an}的通項 an及它的前 n項和 Sn； (2)求數(shù)列 {bn}的前 n項和 Tn； 解： (1）可解得nnaa nn 11 ???，從而 an=2n，有 Sn=n2+n， (2)Tn=2n+n－ 1. 6．數(shù)列 {an}中， a1=8,a4=2且滿足 an+2=2an+1－ an,(n∈ N*). (1)求數(shù)列 {an}的通項公式； (2)設 Sn=｜ a1｜ +｜ a2｜ +? +｜ an｜ ,求 Sn。 （ I）求數(shù)列 ??na 和 ??nb 的通項公式； （ II）是否存在 *Nk? ，使 ???????? 21,0kk ba，若存在，求出 k ，若不存在，說明理由。同時注意數(shù)形結合的思想在線性規(guī)劃中的運用。 思維點撥 :含參數(shù)不等式 ,應選擇恰當?shù)挠懻摌藴?對所含字母分 類討論 ,要做到 不重不漏 . x 3 2 1 0 1 2 3 4 y 6 0 4 6 6 4 0 6 【反饋練習】 x的不等式 2 1 0,ax ax a? ? ? ?的解集為 R，則 a 的取值范圍是 ? ?,0?? 2 20ax bx? ? ? 解集為 1123x? ? ?，則 ab值分別為 12， 2 f(x) = 2 221x ax a??? 的定義域為 R，則 a 的取值范圍為 ? ?10?， M 是關于 x的不等式 2x2+(3a－ 7)x+3＋ a－ 2a20解集，且 M中的一個元素是 0，求實數(shù) a的取值范圍，并用 a表示出該不等式的解集 . 解： 原不等式即 (2x－ a－ 1)(x＋ 2a－ 3)0， 由 0?x 適合不等式故得 0)32)(1( ??? aa ，所以 1??a ，或23?a. 若 1??a ，則 5)1(252 132 ???????? aaa ，∴ 2 123 ??? aa ， 此時不等式的解集是 }232 1|{ axax ???? ； 若 23?a ，由 45)1(252 132 ????????? aaa ，∴ 2 123 ??? aa ， 此 時不等式的解集是 }2 123|{ ???? axax 。 解析：注意目標函數(shù)是代表的幾何意義 . 解：作出可行域。 第 10 題 第 4 課 不等式綜合 【考點 導讀 】 能利用不等式性 質、定理、不等式解法及證明解決有關數(shù)學問題和實際問題，如最值問題、恒成立問題、最優(yōu)化問題等 . 【基礎 練習 】 1. 若函 數(shù) ? ? ? ? ? ? ? ?2 2112 , 022xf x x x g x xx???? ? ? ? ???? ??，則 ??fx與 ??gx 的大 小關 系是? ? ? ?f x g x? ? ? ? ?22f x a x a? ? ?在區(qū)間 ? ?0,1 上恒為正，則 a 的取值范圍是 0＜ a＜ 2 ? ?,xy 在直線 3 2 0xy? ? ? 上移動時， 3 27 1xyz ? ? ?的最小值是 7 0≤ m≤ 4的 m，不等式 x2+mx＞ 4x+m－ 3 恒成立，則 x的取值范圍是 x＞ 3 或 x＜ － 1 【 范例導析 】 例 已知集合 ??????? 2,21P，函數(shù) ? ?22lo g 22 ??? xaxy 的定義域為 Q （ 1）若 ??QP? ，求實數(shù) a 的取值范圍。 004 222OF ????，228, 130OF OC??， 130maxz??， 8minz ? 。 （ 2） 求 xyz? 的取值范圍。 解： （ 1）分析： 由已知條件 ??Ryx， ，可以考慮使用均值不等式，但所求證的式子中有 yx? ，無法利用 xyyx 2?? ，故猜想先將所求證的式子進行變形，看能否出現(xiàn))( 1)( yxyx ???型，再行論證． 證明： ,0 ?????? xyyxyx ?? 又 yx xyyxyx yx ? ?????? 2)(222yxyx ???? )( .22)( 2)(2 ????? yxyx等號成立 當且僅當)( 2)( yxyx ???時． .4,2,2)( 222 ??????? yxyxyx ,6)(,1 2 ???? yxxy? .6??? yx 由以上得 2 26,2 26 ???? yx 即當2 26,2 26 ???? yx時等號成立． 說明： 本題是基本題型的變形題．在基本題型中，大量的是整式中直接使用的均值不等式，這容易形成思維定式．本題中是利用條件將所求證的式子化成分式后再使用均值不等式．要注意靈活運用均值不等式． （ 2） ∵ yx aa ? ≥ 81)21x(212xxyx 22 a2a2a2 ????? ?? ， 81)21x(21 2 ???≤81， 0a1 ∴ 81)21x(21 2a2 ??? ≥ 81a2 ∴ yx aa ? ≥ 81a2 ∴ )aa(log yxa ? ≤ 812lo g)a2(lo ga81a ?? 第 2 課 一元二次不等式 【考點 導讀 】 1. 會解一元二次不等式，了解一元二次不等式與相應函數(shù)、方程之間的聯(lián)系和轉化。 2. 一元二次不等式是一類重要的不等式，要掌握一元二次不等式的解法，了解一元二次不等式與相應函數(shù)、方程的聯(lián)系和相互轉化。 （ 1）證明：由 02, 1221 ??? ?? nnnnnn bbaxbxxaa 的方程是關于 的兩根得： 1121 ,2 ??? ??? nnnnnnnn bbaaabaa ,2 12 ?? ??? nnnnn bbbbb 0?nb? )1(2 112 ???? ?? nbbb nnn }{nb? 是等差數(shù)列 （ 2）由（ 1）知 ,82 2121 ??? aab ,21??b nbnbbbba n ???????? 12212 ,1,3,? ∴ )1)(1(1 ???? ? nnnbba nnn 又 21?a 也符合該式， )1( ??? nnan （ 3）nn ns 2 1242322 32 ?????? ? ① 132 2 1242321 ?????? nn ns ? ② ① — ②得 1432 2 121212121121 ????????? nnn ns ? 1121211)2 11(411 ?? ?????? nn n 11 2 1)(211 ?? ???? nn n nn ns 2 33 ????. 點評： 本題考查了等差、等比數(shù)列的性質，數(shù)列的構造，數(shù)列的轉化思想，乘公比錯項相減法求和等。 4．已知數(shù)列 }{na 中， 1 1,a? 且有 *1( 2 1 ) ( 2 3 ) ( , 2)nnn a n a n N n?? ? ? ? ?，則數(shù)列 }{na 的通項公式為 3 1 1()2 2 1 2 1na nn????，前 n 項和為 321nn? 。 解：（ 1）由 *1( 1 ) ( 2 1 ) ( , 0 )nnt S t S n N t?? ? ? ? ? ?得： 1( 1 ) ( 2 1 ) ( 2 )nnt S t S n?? ? ? ? ? 兩式相減得： 1 ( 2 1) , ( 2 )nnt a t a n?? ? ? ? 即 1 2 1 12 , ( 2)nna t na t t? ?? ? ? ?, ∴數(shù)列 }{na 是等比數(shù)列 ( 2)n? 。 4．如果 1, , , , 9abc??成等比數(shù)列，則 b? 3 ， ac? 9 。 （ 1）證明： ??nb 從第 2項起是以 2為公比的等比數(shù)列； （ 2）設 nS 為數(shù)列 ??nb 的前 n