【正文】 2＝ 6， a3＝ 11，且 1( 5 8 ) ( 5 2) , 1 , 2 , 3 ,nnn S n S A n B n?? ? ? ? ? ? ? ，其中 A,B 為常數(shù)。 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知， an=1+5(n1)=5n4. 要證了 ,15 ?? nmmn aaa 只要證 5amn 1+aman+2 nmaa 因為 amn =5mn 4,aman=(5m4)(5n4)=25mn 20(m+n)+16, 故只要證 5（ 5mn 4） 1+25mn 20(m+n)+16+2 ,nmaa 因為 )291515(8558552 ??????????? nmnmnmaaaa nmnm =20m+20n37, 所以命題得證?？陀^性的試題考察等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項公式、求和公式等基礎(chǔ)知識和基本性質(zhì)的靈活應(yīng)第 13 頁 共 23 頁 用，對基本的運算要求比較高，解答題大多以數(shù)列知識為工具。 四．典例解析 題型 1：等比數(shù)列的概念 例 1．“公差為 0 的等差數(shù)列是等比數(shù)列”；“公比為21的等比數(shù)列一定是遞減數(shù)列”；“ a,b,c 三數(shù)成等比數(shù)列的充要條件是 b2=ac”；“ a,b,c 三數(shù)成等差數(shù)列的充要條件是2b=a+c”，以上四個命題中，正確的有（ ） A． 1 個 B． 2 個 C． 3 個 D． 4 個 解析：四個命題中只有最后一個是真命題。 由命題 3 得， a1=a－ 1，當(dāng) n≥ 2 時， an=Sn－ Sn－ 1=a－ 1，顯然 {an}是一個常數(shù)列，即公差為 0 的等差數(shù)列，因此只有當(dāng) a－ 1≠ 0；即 a≠ 1 時數(shù)列 {an}才又是等比數(shù)列。 （Ⅱ）證明：設(shè)｛ an｝、｛ bn｝的公比分別為 p、 q， p≠ q， =an+bn。 = l63 。 又 10Sn－ 1=an－ 12+5an－ 1+6(n≥2)， ② 由 ① － ② 得 10an=(an2－ an－ 12)+6(an－ an－ 1)， 即 (an+an－ 1)(an－ an－ 1－ 5)=0 ∵ an+an－ 10 , ∴ an－ an－ 1=5 (n≥2)。 第 17 頁 共 23 頁 例 8．（ 1）（ 20xx 江蘇， 18）設(shè)｛ an｝為等差數(shù)列，｛ bn｝為等比數(shù)列， a1＝ b1＝ 1， a2＋ a4＝ b3， b2b4＝ a3．分別求出｛ an｝及｛ bn｝的前 10 項的和 S10及 T10； （ 2）（ 20xx 全國春季北京、安徽， 20）在 1 與 2 之間插入 n 個正數(shù) a1， a2， a3??，an，使這 n＋ 2 個數(shù)成等比數(shù)列；又在 1 與 2 之間插入 n 個正數(shù) b1， b2， b3，??， bn，使這 n＋ 2 個數(shù)成等差數(shù)列 .記 An＝ a1a2a3?? an， Bn＝ b1＋ b2＋ b3＋??＋ bn. （Ⅰ）求數(shù)列｛ An｝和｛ Bn｝的通項； （Ⅱ）當(dāng) n≥ 7 時，比較 An 與 Bn 的大小，并證明你的結(jié)論。 q2 A3＝ 1178。 2 ＝ An Bn＝ 23 179。 解析：（ 1）答案： C；解：設(shè)等比數(shù)列 {an}的公比為 q(q0)，由題意得 :a1+a2+a3=21,即 3+3q+3q2=21,q2+q6=0，求得 q=2(q=－ 3 舍去 )，所以 a3+a4+a5=q2(a1+a2+a3)=4 ,8421??故選 C。 ∴ a1=q－ 1＞ 0 即 q＞ 1,從而等比數(shù)列｛ an｝為遞增數(shù)列，故前 n 項中數(shù)值最大的項為第 n 項 。lgq=n(2lg2+lg3)－21n(n－ 1)lg3 =(－23lg) 五．思維總結(jié) 1．等比數(shù)列的知識要點（可類比等差數(shù)列學(xué)習(xí)） （ 1）掌握等比數(shù)列定義nnaa1? ＝ q（常數(shù)）（ n?N），同樣是證明一個數(shù)列是等比數(shù)列的依據(jù)，也可由 an178。 ③若數(shù)列 ??na 是等 比 數(shù)列， nS 是其前 n 項的和， *Nk? ，那么 kS ， kk SS ?2 ， kk SS 23 ?成等 比 數(shù)列。 第 22 頁 共 23 頁 解析： (Ⅰ )依題意可知 ：???????????????????323581191 12121qaqaqa， (Ⅱ ) 由 (Ⅰ ) 知 , 1323?????????nna， 所以數(shù)列 )2(T 的的首項為 221 ??at , 公差312 2 ??? ad ， 15539102121010 ???????S ,即數(shù)列 )2(T 的前 10 項之和為 155。 （ 3） 解法一新疆王新敞特級教師 源頭學(xué)子小屋htp:/:/新疆 設(shè)公比為 q,項數(shù)為 2m,m∈ N*， 依題意有 ：???????????????)(9)()(1)1(1)1(312131122121qaqaqaqaqqqaqqa mm ， 第 21 頁 共 23 頁 化簡得????????????????10831 ),1(9114121 aqqqaqq解得， 設(shè)數(shù)列 {lgan}前 n 項和為 Sn， 則 Sn=lga1+lga1q2+…+lg a1qn－ 1=lga1n 第 20 頁 共 23 頁 ∵ S2n≠2Sn ， ∴ q≠1； 從而 ? ?1 11naqq??=80， 且 21(1 )1naqq??=6560。 所以 Sn＝??????????.,1)1(21,),1(21為奇數(shù)當(dāng)為偶數(shù)當(dāng)nnnnnn 點評：本小題主要考查數(shù)列與等差數(shù)列前 n 項和等基礎(chǔ)知識，以及準(zhǔn)確表述，分析和解決問題的能力。 qn＋ 1＝ 2 得 qn＋ 1＝ 2， 第 18 頁 共 23 頁 An＝ q178。 q178。 由 S3+S6=2S9，得q qaqqaqqa ???????? 1 )1(21 )1(1 )1(916131 ，整理得 q3（ 2q6－ q3－ 1）=0，由 q≠ 0，得 2q6－ q3－ 1=0，從而（ 2q3＋ 1）（ q3－ 1） =0，因 q3≠ 1，故 q3=－ 21 ，所以 q=－ 243 。 點評： 第一種解法利用等比數(shù)列的基本量 qa,1 ，先求公比，后求其它量，這是解等差數(shù)列、等比數(shù)列的常用方法，其優(yōu)點是思路簡單、實用，缺點是有時計算較繁。 點評：本題主要考查等比數(shù)列的概念和基本性質(zhì)，推理和運算能力。 2n178。若 {an}是等比數(shù)列，則12aa =a，即 baaa ??)1( =a，所以只有當(dāng) b=－ 1 且 a≠ 0 時，此數(shù)列才是等比數(shù)列。 4． 等比數(shù)列 前 n 項和公式 一般地，設(shè)等比數(shù)列 1 2 3, , , , ,na a a a 的前 n 項和是 ?nS 1 2 3 na a a a? ? ? ?，當(dāng) 1?q 時，qqaSnn ??? 1 )1(1 或 11 nn a a qS q?? ?；當(dāng) q=1 時， 1naSn ? （錯位相減法）。體會等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān) 系。 方法 2. 由已知， S1=a1=1, 又 (5n8)Sn+1(5n+2)Sn=20n8,且 5n8 0? , 所以數(shù)列 }{}{ nn a，s 因而數(shù)列是惟一確定的 是惟一確定的。 若第一次出現(xiàn)的零項為第 n 項，記 an1=A（ A≠ 0） ，則自第 n 項開始 ，沒三個相鄰的項周期地取值 O， A， A，即 331320, 0 , 1 , 2 , 3 ,nknknkaa A kaA??????????????… … 所以絕對 等差數(shù)列 {an}中有無窮多個為零的項。 而 x1∈ (0, 2)，所以 ]1,0(?b 。 點評：數(shù)列與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)結(jié)合在一塊，考察數(shù)列是一種特殊的函數(shù)的性質(zhì)，其中還要用到數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)來解釋問題。 (I) 寫出 (1)kf ； (II) 證明 : 對任意的 ? ?12, 1,1xx?? , 恒有112( ) ( ) 2 ( 2) 1nF x F x n n?? ? ? ? ?。 例 8． 求數(shù)列 1， 3＋ 13， 32＋ 132， …… ， 3n＋ 13n的各項的和 。 ② 所以 S nn n? ?3 2 1178。 題型 2：錯位相減法 例 3． 設(shè) a 為常數(shù)，求數(shù)列 a， 2a2， 3a3，?， nan，?的前 n 項和 。包括 代數(shù)代換，對數(shù)代數(shù)，三角代數(shù)。nnn cba ?? , 其中 ??nb 是等差數(shù)列， ??nc 是等比數(shù)列，記nnnnn cbcbcbcbS ?????? ?? 112211 ，則 1 2 1 1n n n n nqS b c b b c??? ? ? ? ? ?，? ⑥并項求和 把數(shù)列的某些項放在一起先求和，然后再求 Sn。 三．要點精講 1．?dāng)?shù)列求通項與和 （ 1）數(shù)列前 n 項和 Sn 與通項 an 的關(guān)系式： an=??? ? ?11s ss nn 12??nn 。 預(yù) 測 20xx 年高考對本將的考察為： 1．可能為一道考察關(guān)于數(shù)列的推導(dǎo)能力或解決生產(chǎn)、生活中的實際問題的解答題； 2．也可能為一道知識交匯題是數(shù)列與函數(shù)、不等式、解析幾何、應(yīng)用問題上等聯(lián)系的綜合題，以及數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法等有機(jī)結(jié)合。 ⑤錯項相消法 對一個由等差數(shù)列及等比數(shù)列對應(yīng)項之積組成的數(shù)列的前 n 項和，常用錯項相消法。 （ 3）代換法。 解 析 ：)1( 221 1 ??????? kkka k?， ])1n(n 132 121 1[2S n ????????? 1211121113121211[2 ???????? ????????? ??????????? ???????? ?? n nnnn新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp::/ 點評：裂項求和的關(guān)鍵是先將形式復(fù)雜 的因式轉(zhuǎn)化的簡單一些。 ① 又 S nC n C C Cn nn nn n n? ? ? ? ? ??3 3 1 3 01 1 0( ) ? 178。在該數(shù)列的前 n項中共有 1 2 12? ? ? ? ?? n n n( )個奇數(shù)，故 S n n n n n nn ?? ? ? ? ? ? ?( ) [ ( ( ) ) ] ( )12 1 1 12 1 22 142 2179。 11()() (1)kkkfxfx f ???,其中 ( , )k n n k N???,設(shè) 0 2 1 2 2 201( ) ( ) ( ) .. . ( ) .. . ( )knn n n k n nF x C f x C f x C f x C f x? ? ? ? ? ?, ? ?1,1x?? 。 所以對 任意的 ? ?12, 1,1xx?? 12( ) ( ) (1 ) ( 0 )F x F x F F? ? ? 0 1 2 1( 1 ) ( 0) ( 1 ) ..