【正文】 ) 0Fx? ? ,所以 ()Fx在 [0,1]上為增函數(shù) 。 證法 3： 當(dāng) 11x? ? ? 時 , 2 1 2 ( 1 ) 2 2 ( 2 ) 2 ( ) 1 2( ) ( 1 ) .. . ( 1 ) .. . 2 1n n n k n k nn n n nF x x n C x n C x n k C x C x? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 當(dāng) x0 時 , ( ) 0Fx? ? ,所以 ()Fx在 [0,1]上為增函數(shù) 。 題型 6：數(shù)列實際應(yīng)用題 例 11．某企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造，有兩種方案，甲方案：一次性貸款 10 萬元，第一年便可獲利 1 萬元，以后每年比前一年增加 30%的利潤；乙方案：每年貸款 1 萬元，第一年可獲利 1 萬元，以后每年比前一年增加 5 千元；兩種方案的使用期都是 10 年，到期一次性歸還本息 . 若銀行兩種形式的貸款都按年息 5%的復(fù)利計算，試比較兩種方案中，哪種第 8 頁 共 23 頁 獲利更多？ （取 , 101010 ??? ） 解析：甲方案是等比數(shù)列，乙方案是等差數(shù)列， ①甲方案獲利： %)301(%)301(%)301(1 1092 ?????????? ?（萬元）， 銀行貸款本息： %)51(10 10 ?? （萬元）， 故甲方案純利： ?? （萬元）， ②乙方案獲利： 2 910110)()()(1 ?????????????? ? ? （萬元）； 銀行本息和： ]%)51(%)51(%)51(1[ 92 ???????? ? 10 ???? （萬元） 故乙方案純利： ?? （萬元）； 綜上可知，甲方案更好。 解析：（ I）從第 n 年初到第 n+1 年初，魚群的繁殖量為 axn，被捕撈量為 bxn，死亡量為第 9 頁 共 23 頁 .( * * )*),1(.( * )*, 1212 NncxbaxxNncxbxaxxxcx nnnnnnnnn ?????????? ?? 即因此 （ II）若每年年初魚群總量保持不變，則 xn 恒等于 x1， n∈ N*， 從而由（ *）式得： ..0*,0)( 11 c baxcxbaNncxbax nn ???????? 即所以恒等于 因為 x10，所以 ab。 由此猜測 b 的最大允許值是 1. 下證 當(dāng) x1∈ (0, 2) ， b=1 時，都有 xn∈ (0, 2), n∈ N* ①當(dāng) n=1 時，結(jié)論顯然成立。 題型 7：課標(biāo)創(chuàng)新題 例 13 ． （ 20xx 年北京卷）在數(shù)列 {}na 中，若 12,aa 是正整數(shù)，且12| |, 3 , 4 , 5 ,n n na a a n??? ? ?，則稱 {}na 為 “絕對差數(shù)列 ”。 點評：通過設(shè)置“等差數(shù)列”這一概念加大學(xué)生對情景問題的閱讀、分析和解決問題的能力。 由 (5n－ 8)Sn+1－ (5n+2)Sn=An+B 知： ??? ????????? ??? ???? .482 .28,2122 ,732312 BA BABASS BASS 即。 設(shè) bn=5n4,則數(shù)列 }{nb 為等差數(shù)列，前 n 項和 Tn= ,2 )35( ?nn 于是 (5n8)Tn+1(5n+2)Tn=(5n8) ,8202 )35()25(2 )25)(1( ???????? nnnnnn 由惟一性得 bn=a,即數(shù)列 }{na 為等差數(shù)列。 （ 4） 倒序相加法 ： 類似于等差數(shù)列前 n 項和公式的推導(dǎo)方法 . （ 5） 分組求和法 第 12 頁 共 23 頁 （ 6） 累加（乘）法等 。 二．命題走向 等比數(shù)列與等差數(shù)列同樣在高考中占有重要的地位，是高考出題的重點。（注意：“從第二項起”、 “常數(shù)” q 、等比數(shù)列的公比和項都不為零） 2．等比數(shù)列通項公式為： )0( 111 ???? ? qaqaa nn 。 說明：（ 1） nSnqa ,1 和 nn Sqaa ,1 各已知三個可求第四個；（ 2）注意求和公式中是 nq ，通項公式中是 1?nq 不要混淆；（ 3）應(yīng)用求和公式時 1?q ，必要時應(yīng)討論 1?q 的情況。 點評：該題通過一些選擇題的形式考察了有關(guān)等比數(shù)列的一些重要結(jié)論，為此我們要注意一些有關(guān)等差數(shù)列、等比數(shù)列的重要結(jié)論。 由命題 2 得， a1=a+b+c，當(dāng) n≥ 2 時， an=Sn－ Sn－ 1=2na+b－ a，若 {an}是等差數(shù)列，則a2－ a1=2a，即 2a－ c=2a，所以只有當(dāng) c=0 時，數(shù)列 {an}才是等差數(shù)列。 題型 2：等比數(shù)列的判定 例 3．（ 20xx 全國理， 20）（Ⅰ）已知數(shù)列｛ ｝，其中 ＝ 2n＋ 3n，且數(shù)列｛ ＋ 1－ p｝為等比數(shù)列，求常數(shù) p；（Ⅱ）設(shè)｛ an｝、｛ bn｝是公比不相等的兩個等比數(shù)列， =an+bn，證明數(shù)列｛ ｝不是等比數(shù)列。 3n＝ 0，解得 p=2 或 p=3。 事實上， c22＝（ a1p＋ b1q） 2＝ a12p2＋ b12q2＋ 2a1b1pq， c1178。 例 4．（ 20xx 京春， 21）如圖 3— 1，在邊長為 l 的等邊△ ABC中，圓 O1 為△ ABC 的 內(nèi)切圓，圓 O2 與圓 O1 外切，且與 AB，BC 相切，?，圓 On+1 與圓 On 外切，且與 AB、 BC 相切，如此無限繼續(xù)下去 .記圓 On 的面積為 an（ n∈ N*），證明 {an}是等比數(shù)列； 證明：記 rn 為圓 On 的半徑，則 r1=2l tan30176。 點評：該題考察實際問題的判定，需要對實際問題情景進(jìn)行分析，最終對應(yīng)數(shù)值關(guān)系建立模型加以解 析。 例 6．（ 20xx 年陜西卷） 已知正項數(shù)列 ??na ，其前 n 項和 nS 滿足 210 5 6,n n nS a a? ? ?且 1 2 15,a a a 成等比數(shù)列，求數(shù)列 ??na 的通項 .na 圖 3— 1 第 16 頁 共 23 頁 解 析： ∵ 10Sn=an2+5an+6， ① ∴ 10a1=a12+5a1+6， 解之得 a1=2 或 a1=3。 題型 4：等比數(shù)列的求和公式及應(yīng)用 例 7．（ 1）（ 20xx 年遼寧卷）在等比數(shù)列 ??na 中 , 1 2a? ,前 n 項和為 nS ,若數(shù)列 ? ?1na?也是等比數(shù)列 ， 則 nS 等于 （ ） A． 122n? ? B． 3n C． 2n D． 31n? （ 2） （ 20xx 年北京卷）設(shè) 4 7 10 3 10( ) 2 2 2 2 2 ( )nf n n N?? ? ? ? ? ? ?，則 ()fn 等于 （ ） A． 2(8 1)7 n? B． 12(8 1)7 n? ? C． 32(8 1)7 n? ? D． 42(8 1)7 n? ? （ 3）（ 1996 全國文， 21）設(shè)等比數(shù)列｛ an｝的前 n 項和為 Sn，若 S3＋ S6＝ 2S9，求 數(shù)列的公比 q； 解 析：（ 1） 因數(shù)列 ??na 為等比，則 12 nnaq?? ，因數(shù)列 ? ?1na? 也是等比數(shù)列， 則221 2 1 1 2 2 2 12( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 2 2( 1 2 ) 0 1n n n n n n n n n n n nna a a a a a a a a a a aa q q q? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 即 2na? ，所以 2nSn? ，故選擇答案 C。 點評：對于等比數(shù)列求和問題要先分清數(shù)列的通項公式，對應(yīng)好首項和公比求出最終結(jié)果即可。 （ 2）（Ⅰ）設(shè)公比為 q，公差為 d，等比數(shù)列 1， a1， a2，??， an， 2，等差數(shù)列 1，b1， b2，??， bn， 2。 1178。 q2178。 q2? qn＝ q 222 )1( nnn ??? （ n＝ 1， 2， 3?） 又∵ bn＋ 2＝ 1＋ （ n＋ 1） d＝ 2 ∴（ n＋ 1） d＝ 1 B1＝ b1＝ 1＋ d B2＝ b2＋ b1＝ 1＋ d＋ 1＋ 2d Bn＝ 1＋ d＋?＋ 1＋ nd＝ 23 n （Ⅱ） An＞ Bn，當(dāng) n≥ 7 時 證明：當(dāng) n＝ 7 時， 23． 5＝ 8178。 23 k ∴ Ak＋ 1－ Bk＋ 1＞ 2323)12(2323232 ??????? kkk 又∵ k＝ 8， 9， 10? ∴ Ak＋ 1－ Bk＋ 1＞ 0，綜上所述， An＞ Bn 成立 . （ 3）（Ⅰ）解：由題設(shè)得 a3a4＝ 10，且 a a4 均為非負(fù)整數(shù)，所以 a3 的可能的 值為1， 2， 5， 10． 若 a3＝ 1，則 a4＝ 10， a5＝ 23 ，與題設(shè)矛盾． 若 a3＝ 5，則 a4＝ 2， a5＝ 235 ，與題設(shè)矛盾． 若 a3＝ 10，則 a4＝ 1， a5＝ 60， a6＝ 53 ，與題設(shè)矛盾 . 所以 a3＝ 2. （Ⅱ）用數(shù)學(xué)歸納法證明： ①當(dāng) n＝ 3， a3＝ a1＋ 2，等式成立； ②假設(shè)當(dāng) n＝ k（ k≥ 3）時等式成立，即 ak＝ ak－ 2＋ 2,由題設(shè) ak＋ 1ak＝（ ak－ 1＋ 2）178。 題型 5：等比數(shù)列的性質(zhì) 例 9．（ 1）（ 20xx 江蘇 3） 在各項都為正數(shù)的等比數(shù)列 {an}中，首項 a1＝ 3，前三項和為 21，則 a3＋ a4＋ a5＝（ ） （ A） 33 （ B） 72 （ C） 84 （ D） 189 （ 2）（ 20xx 上海， 12）在等差數(shù)列｛ an｝中，若 a10＝ 0，則有等式 a1+a2+?＋ an=a1+a2+?＋ a19－ n（ n＜ 19， n∈ N) 成立 .類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：在等比數(shù)列｛ bn｝中，若 b9＝ 1，則有等式 成立。 例 10．（ 1） 設(shè)首項為正數(shù)的等比數(shù)列，它的前 n 項和為 80，前 2n 項和為 6560，且前 n 項中數(shù)值最大的項為 54，求此數(shù)列的首項和公比 q。 兩式相除得 1+qn=82 ，即 qn=81。 ∴ a1=q－ 1=2 故此數(shù)列的首為 2，公比為 3。q1+2+…+( n－ 1) =nlga1+21n(n－ 1) 點評：第一種解法利用等比數(shù)列的基本量 qa,1 ，先求公比，后求其它量，這是解等差數(shù)列、等比數(shù)列的常用方法，其優(yōu)點是思路簡單、實用，缺點是有時計算較繁；第二種解法利用等比數(shù)列的性質(zhì)，與“首末項等距”的兩項積相等，這在解題中常用到。 點評：對于出現(xiàn)等差、等比數(shù)列的綜合問題，一定要區(qū)分開各自的公式，不要混淆。 ab ； （ 4）特別要注意等比數(shù)列前 n 項和公式應(yīng)分為 q＝ 1 與 q≠ 1 兩類，當(dāng) q＝ 1 時， Sn＝ na1，當(dāng) q≠ 1 時， Sn＝qqan???1 )1(1， Sn＝q qaa n? ??11。 如下圖所示： 第 23 頁 共 23 頁 ??????????? ???????????? ???? ??? ?? ??? ??? ?? ???? ???? ?? ?kkkkkSSSkkSSkkk aaaaaaaa3232k31221S321???? ??????????