【正文】 題，諸如分組問(wèn)題等； 題型 4：排列、組合的綜合問(wèn)題 例 7． 平面上給定 10 個(gè)點(diǎn)，任意三點(diǎn)不共線，由這 10 個(gè)點(diǎn)確定的直線中，無(wú)三條直線交于同一點(diǎn)（除原 10 點(diǎn)外），無(wú)兩條直線互相平行。 這 45 條直線除原 10 點(diǎn)外無(wú)三條直線交于同一點(diǎn)，由任意兩條直線交一個(gè)點(diǎn)，共有C452 個(gè)交點(diǎn)。所以三角形的個(gè)數(shù)相當(dāng)于從這 640 個(gè)點(diǎn)中任取三個(gè)點(diǎn)的組合，即 C6403=43486080（個(gè)）。 點(diǎn)評(píng)：用排列、組合解決有關(guān)幾何計(jì)算問(wèn)題，除了應(yīng)用排列、組合的各種方法與對(duì)策之外，還要考慮實(shí)際幾何意義。錯(cuò)誤原因沒有對(duì) c=0 與 c≠ 0 正確分類；沒有考慮 c=0 中出現(xiàn)重復(fù)的直線。 （ 2）已知 a、 b 為正數(shù)，且a1+b1=1， 則對(duì)于 n∈ N 有 （ a+b） nanbn≥ 22n2n+1。題（ 1）中的換元法稱之為均值換元（對(duì)稱換元）。 7n2+? +Cnn1 7 除以 9，得余數(shù)是多少？ （ 3）根據(jù)下列要求的精確度，求 的近似值。 ∵ 5n+1=(4+1)n+1=4n+1+Cn+114n+Cn+124n1+? +Cn+1n 6n=4 5+1)， ∴被 5 整除的余數(shù)為 4， ∴其被 20 整除的余數(shù)可以為 4， 9， 14， 19。 7n2+? +Cnn1 9+(－ 1)nCnn1 (i)當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí) 原式 =9nCn1 (ii)當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí) 原式 =9nCn1 （ 3） ()5≈（ 1+） 5 =1+c51 ∵ C52 =,C53 =8 105 ∴①當(dāng)精確到 時(shí)，只要展開式的前三項(xiàng)和， 1++=，近似值為 。 2． 將具體問(wèn)題抽象為排列問(wèn)題或組合問(wèn)題，是解排列組合應(yīng)用題的關(guān)鍵一步。 （ 2）導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算 ① 能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù) y=c， y=x， y=x2， y=x3， y=1/x， y=x 的導(dǎo)數(shù) ； ② 能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能求簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)（僅限于形如 f（ ax+b））的導(dǎo)數(shù) ； ③ 會(huì)使用導(dǎo)數(shù)公式表 。 （ 6）數(shù)學(xué)文化 收集有關(guān)微積分創(chuàng)立的時(shí)代背景和有關(guān)人物的資料，并進(jìn)行交流；體會(huì)微積分的建立在人類文化發(fā)展中的意義和價(jià)值。 定積分是新課標(biāo)教材新增的內(nèi)容，主要包括定積分的概念、微積分基本定理、定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用，由于定積分在實(shí)際問(wèn)題中非常 廣泛，因而 07 年的高考預(yù)測(cè)會(huì)在這方面考察，預(yù)測(cè) 07 年高考呈現(xiàn)以下幾個(gè)特點(diǎn)： （ 1）新課標(biāo)第 1 年考察，難度不會(huì)很大，注意基本概念、基本性質(zhì)、基本公式的考察及簡(jiǎn)單的應(yīng)用；高考中本講的題目一般為選擇題、填空題，考查定積分的基本概念及簡(jiǎn)單運(yùn)算，屬于中低檔題； （ 2）定積分的應(yīng)用主要是計(jì)算面積，諸如計(jì)算曲邊梯形的面積、變速直線運(yùn)動(dòng)等實(shí)際問(wèn)題要很好的轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型。 說(shuō)明： （ 1） 函數(shù) f（ x）在點(diǎn) x 0 處可導(dǎo)，是指 0??x 時(shí)，xy??有極限。 2．導(dǎo)數(shù)的幾何意義 函數(shù) y=f（ x）在點(diǎn) x0 處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線 y=f（ x）在點(diǎn) p（ x0 ， f（ x0 ）） 處的切線的斜率。39。39。39。 CuCu ? 法則 3 兩個(gè)函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù)，等于分子的導(dǎo)數(shù)與分母的積，減去分母的導(dǎo)數(shù)與分子的積，再除以分母的平方： ??????vu‘ =2 39。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)步驟：分解 —— 求導(dǎo) —— 回代。f 0)( ?x ，則 )(xf 為減函數(shù)；如果在某區(qū)間內(nèi)恒有 39。 這里， a 與 b 分別叫做 積分下限 與 積分上限 ，區(qū)間 [a， b]叫做 積分區(qū)間 ，函數(shù) f(x)叫做 被積函數(shù) ， x 叫做 積分變量 ， f(x)dx 叫做 被積式。 如果圖形由曲線 y1＝ f1(x)， y2＝ f2(x)（不妨設(shè) f1(x)≥ f2(x)≥ 0），及直線 x＝ a， x＝ b（ ab）圍成，那么所求圖形的面積S＝ S 曲邊梯形 AMNB－ S 曲邊梯形 DMNC＝ ? ??ba ba dxxfdxxf )()( 21。 其余各段時(shí)間內(nèi)的平均速度，事先刻在光盤上，待學(xué)生 回答完第一時(shí)間內(nèi)的平均速度后，即用多媒體出示，讓學(xué)生思考在各段時(shí)間內(nèi)的平均速度的變化情況。 點(diǎn)評(píng)：掌握切的斜率、 瞬時(shí)速度，它門都是一種特殊的極限，為學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的定義奠定基礎(chǔ)。 ?????? ?????? ?? xxxxy （ 3）先使用三角公式進(jìn)行化簡(jiǎn) . xxxxxy s in212c os2s in ???? .c os211)(s i n21s i n21 39。 xxxxxy ?????????? ??? （ 4） y’=x xxxx 2 22 s in )39。 例 4．寫出由下列函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)： （ 1） y=cosu,u=1+ 2X （ 2） y=lnu, u=lnx 解析：（ 1） y=cos(1+ 2X )； （ 2） y=ln(lnx)。xu .給出復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，并指導(dǎo)學(xué)生閱讀法則的證明。對(duì)于半徑為 R 的球，若將 R 看作 (0，＋∞ )上的變量，請(qǐng)你寫出類似于 ○1 的式子： ○2 ； ○2 式可以用語(yǔ)言敘述為： 。 點(diǎn)評(píng)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算可以和幾何圖形的切線、面積聯(lián)系在一起，對(duì)于較復(fù)雜問(wèn)題有很好的效果。 （ 3）： (Ⅰ )f(x)的定義域?yàn)?(－∞ ,1)∪ (1,+∞ ).對(duì) f(x)求導(dǎo)數(shù)得 f 39。(x)在 (－∞ ,0), (0,1)和 (1,+ ∞ )均大于 0, 所以 f(x)在 (－∞ ,1), (1,+∞ ).為增函數(shù)； (ⅱ )當(dāng) 0a2 時(shí) , f 39。(x) ＋ － ＋ ＋ f(x) ↗ ↘ ↗ ↗ f(x)在 (－∞ , － a－ 2a ), ( a－ 2a ,1), (1,+∞ )為增函數(shù) , f(x)在 (－ a－ 2a , a－ 2a )為第 19 頁(yè) 共 25 頁(yè) 減函數(shù)。 例 8． （ 1）（ 06 浙江卷） 32( ) 3 2f x x x? ? ?在區(qū)間 ? ?1,1? 上的最大值是 （ ） (A)－ 2 (B)0 (C)2 (D)4 （ 2） （ 06山東卷） 設(shè)函數(shù) f(x)= 322 3 ( 1 ) 1 , 1 .x a x a? ? ? ?其 中（Ⅰ）求 f(x)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）討論 f(x)的極值。( ) 0fx? ，解得 120, 1x x a? ? ?。( ), ( )f x f x 隨 x 的變化情況如下表： x ( ,0)?? 0 (0, 1)a? 1a? ( 1, )a? ?? 39。 題型 5：導(dǎo)數(shù)綜合題 例 9．（ 06廣東卷）設(shè)函數(shù) 3( ) 3 2f x x x? ? ? ?分別在 12xx、 處取得極小值、極大值 .xoy平面上點(diǎn) AB、 的坐標(biāo)分別為 11()x f x（ , ） 、 22()x f x（ , ） ，該平面上動(dòng)點(diǎn) P 滿足 ? 4PA PB? ,點(diǎn) Q 是點(diǎn) P 關(guān)于直線 2( 4)yx??的對(duì)稱點(diǎn) .求 (I)求點(diǎn) AB、 的坐標(biāo)； (II)求動(dòng)點(diǎn) Q 的軌跡方程 . 解 析： (Ⅰ )令 033)23()( 23 ?????????? xxxxf 解得 11 ??? x或 ； 當(dāng) 1??x 時(shí) , 0)( ?? xf ， 當(dāng) 11 ??? x 時(shí) , 0)( ?? xf ， 當(dāng) 1?x 時(shí) ， 0)( ?? xf 。 又 PQ 的中點(diǎn)在 )4(2 ?? xy 上，所以 ?????? ???? 4222 nxmy， 消去 nm, 得? ? ? ? 928 22 ???? yx 。 (ii).假設(shè)當(dāng) n=k 時(shí)結(jié)論成立 ,即 01ka??。 由 (i)、 (ii)可知， 01na??對(duì)一切正整數(shù)都成立 。 又 g (x)在 [0,1]上連續(xù) ,且 g (0)=0， 所以 當(dāng) 01x??時(shí)， g (x)0 成立 。它下部的形 狀是高為 1m 的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長(zhǎng)為 3m 的正六棱錐（如右圖所示）。 帳篷的體積為 （單位： m3） ： 233 3 1 3( ) ( 8 2 ) ( 1 ) 1 ( 1 6 1 2 )2 3 2V x x x x x x??? ? ? ? ? ? ? ????? 求導(dǎo)數(shù)，得 23( ) (1 2 3 )2V x x? ??； 令 ( ) 0Vx? ? 解得 x=2(不合題意，舍去 ),x=2。 點(diǎn)評(píng)：結(jié)合空間幾何 體的體積求最值，理解導(dǎo)數(shù)的工具作用。2( ) 3 2 ,f x x x??所以曲線 ()y f x? 在 11( , ( ))nnx f x??處的切線斜率12113 2 .nnnk x x????? 第 23 頁(yè) 共 25 頁(yè) 因?yàn)檫^(guò) (0,0) 和 ( , ( ))nnx f x 兩點(diǎn)的直線斜率是 2 ,nnxx? 所以 221132n n n nx x x x??? ? ?. （ II）因?yàn)楹瘮?shù) 2()h x x x??當(dāng) 0x? 時(shí)單調(diào)遞增，而 221132n n n nx x x x??? ? ? 21142nnxx???? 211(2 ) 2nnxx????， 所以 12nnxx?? ，即 1 1,2nnxx? ?因此 11 21 2 11( ) .2 nnnn xx xx x x x ????? ? ????? ? 又因?yàn)?22 12( ),nn n nx x x x? ?? ? ?令 2 ,n n ny x x?? 則 1 1.2nnyy? ? 因?yàn)?21 1 1 2,y x x? ? ? 所以 12111( ) ( ) .22nnnyy??? ? ? 因此 221( ) ,2 nn n nx x x ?? ? ? 故 1211( ) ( ) .22nnnx???? 點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，以及不等式的證明，同時(shí)考查邏輯推理能力。 當(dāng) x=0 時(shí)， t=0；當(dāng) x=a 時(shí)， 311 )(batt ??， 又 ds=vdt，故阻力所作的功為： 3 277130 320 30 2 727727)3(111 baktkbdtbtkdtvkdtvkvdsFW tttzuzu ??????? ???? （ 2） 依題設(shè)可知拋物線為凸形，它與 x 軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為 x1=0， x2=－ b/a，所以 320 2 6 1)( badxbxaxS ab ??? ?? (1) 又直線 x＋ y=4 與拋物線 y=ax2＋ bx 相切，即它們有唯一的公共點(diǎn)， 由方程組??? ?? ?? bxaxy yx24 得 ax2＋ (b＋ 1)x－ 4=0，其判別式必須為 0，即 (b＋ 1)2＋ 16a=0． 第 25 頁(yè) 共 25 頁(yè) 于是 ,)1(161 2??? ba代入（ 1）式得： )0(,)1(6 128)( 43 ??? bb bbS ， 52 )1(3 )3(128)( ? ??? b bbbS ； 令 S39。 點(diǎn)評(píng)：應(yīng)用好定積分處 理平面區(qū)域