【正文】 題，諸如分組問題等； 題型 4：排列、組合的綜合問題 例 7． 平面上給定 10 個點，任意三點不共線，由這 10 個點確定的直線中，無三條直線交于同一點（除原 10 點外），無兩條直線互相平行。 這 45 條直線除原 10 點外無三條直線交于同一點，由任意兩條直線交一個點，共有C452 個交點。所以三角形的個數相當于從這 640 個點中任取三個點的組合，即 C6403=43486080（個）。 點評：用排列、組合解決有關幾何計算問題，除了應用排列、組合的各種方法與對策之外，還要考慮實際幾何意義。錯誤原因沒有對 c=0 與 c≠ 0 正確分類；沒有考慮 c=0 中出現重復的直線。 （ 2）已知 a、 b 為正數，且a1+b1=1， 則對于 n∈ N 有 （ a+b） nanbn≥ 22n2n+1。題（ 1）中的換元法稱之為均值換元（對稱換元）。 7n2+? +Cnn1 7 除以 9，得余數是多少？ （ 3）根據下列要求的精確度，求 的近似值。 ∵ 5n+1=(4+1)n+1=4n+1+Cn+114n+Cn+124n1+? +Cn+1n 6n=4 5+1)， ∴被 5 整除的余數為 4， ∴其被 20 整除的余數可以為 4， 9， 14， 19。 7n2+? +Cnn1 9+(－ 1)nCnn1 (i)當 n 為奇數時 原式 =9nCn1 (ii)當 n 為偶數時 原式 =9nCn1 （ 3） ()5≈（ 1+） 5 =1+c51 ∵ C52 =,C53 =8 105 ∴①當精確到 時，只要展開式的前三項和， 1++=，近似值為 。 2． 將具體問題抽象為排列問題或組合問題，是解排列組合應用題的關鍵一步。 （ 2）導數的運算 ① 能根據導數定義求函數 y=c， y=x， y=x2， y=x3， y=1/x， y=x 的導數 ； ② 能利用給出的基本初等函數的導數公式和導數的四則運算法則求簡單函數的導數，能求簡單的復合函數（僅限于形如 f（ ax+b））的導數 ； ③ 會使用導數公式表 。 （ 6）數學文化 收集有關微積分創(chuàng)立的時代背景和有關人物的資料，并進行交流；體會微積分的建立在人類文化發(fā)展中的意義和價值。 定積分是新課標教材新增的內容，主要包括定積分的概念、微積分基本定理、定積分的簡單應用，由于定積分在實際問題中非常 廣泛，因而 07 年的高考預測會在這方面考察，預測 07 年高考呈現以下幾個特點： （ 1）新課標第 1 年考察，難度不會很大，注意基本概念、基本性質、基本公式的考察及簡單的應用；高考中本講的題目一般為選擇題、填空題，考查定積分的基本概念及簡單運算，屬于中低檔題； （ 2）定積分的應用主要是計算面積，諸如計算曲邊梯形的面積、變速直線運動等實際問題要很好的轉化為數學模型。 說明： （ 1） 函數 f（ x）在點 x 0 處可導，是指 0??x 時，xy??有極限。 2．導數的幾何意義 函數 y=f（ x）在點 x0 處的導數的幾何意義是曲線 y=f（ x）在點 p（ x0 ， f（ x0 ）） 處的切線的斜率。39。39。39。 CuCu ? 法則 3 兩個函數的商的導數，等于分子的導數與分母的積，減去分母的導數與分子的積，再除以分母的平方： ??????vu‘ =2 39。復合函數求導步驟：分解 —— 求導 —— 回代。f 0)( ?x ，則 )(xf 為減函數；如果在某區(qū)間內恒有 39。 這里， a 與 b 分別叫做 積分下限 與 積分上限 ，區(qū)間 [a， b]叫做 積分區(qū)間 ，函數 f(x)叫做 被積函數 ， x 叫做 積分變量 ， f(x)dx 叫做 被積式。 如果圖形由曲線 y1＝ f1(x)， y2＝ f2(x)（不妨設 f1(x)≥ f2(x)≥ 0），及直線 x＝ a， x＝ b（ ab）圍成，那么所求圖形的面積S＝ S 曲邊梯形 AMNB－ S 曲邊梯形 DMNC＝ ? ??ba ba dxxfdxxf )()( 21。 其余各段時間內的平均速度，事先刻在光盤上，待學生 回答完第一時間內的平均速度后，即用多媒體出示，讓學生思考在各段時間內的平均速度的變化情況。 點評：掌握切的斜率、 瞬時速度，它門都是一種特殊的極限，為學習導數的定義奠定基礎。 ?????? ?????? ?? xxxxy （ 3）先使用三角公式進行化簡 . xxxxxy s in212c os2s in ???? .c os211)(s i n21s i n21 39。 xxxxxy ?????????? ??? （ 4） y’=x xxxx 2 22 s in )39。 例 4．寫出由下列函數復合而成的函數： （ 1） y=cosu,u=1+ 2X （ 2） y=lnu, u=lnx 解析：（ 1） y=cos(1+ 2X )； （ 2） y=ln(lnx)。xu .給出復合函數的求導法則，并指導學生閱讀法則的證明。對于半徑為 R 的球，若將 R 看作 (0，＋∞ )上的變量，請你寫出類似于 ○1 的式子： ○2 ； ○2 式可以用語言敘述為： 。 點評：導數的運算可以和幾何圖形的切線、面積聯系在一起，對于較復雜問題有很好的效果。 （ 3）： (Ⅰ )f(x)的定義域為 (－∞ ,1)∪ (1,+∞ ).對 f(x)求導數得 f 39。(x)在 (－∞ ,0), (0,1)和 (1,+ ∞ )均大于 0, 所以 f(x)在 (－∞ ,1), (1,+∞ ).為增函數； (ⅱ )當 0a2 時 , f 39。(x) ＋ － ＋ ＋ f(x) ↗ ↘ ↗ ↗ f(x)在 (－∞ , － a－ 2a ), ( a－ 2a ,1), (1,+∞ )為增函數 , f(x)在 (－ a－ 2a , a－ 2a )為第 19 頁 共 25 頁 減函數。 例 8． （ 1）（ 06 浙江卷） 32( ) 3 2f x x x? ? ?在區(qū)間 ? ?1,1? 上的最大值是 （ ） (A)－ 2 (B)0 (C)2 (D)4 （ 2） （ 06山東卷） 設函數 f(x)= 322 3 ( 1 ) 1 , 1 .x a x a? ? ? ?其 中（Ⅰ）求 f(x)的單調區(qū)間；（Ⅱ）討論 f(x)的極值。( ) 0fx? ，解得 120, 1x x a? ? ?。( ), ( )f x f x 隨 x 的變化情況如下表： x ( ,0)?? 0 (0, 1)a? 1a? ( 1, )a? ?? 39。 題型 5：導數綜合題 例 9．（ 06廣東卷）設函數 3( ) 3 2f x x x? ? ? ?分別在 12xx、 處取得極小值、極大值 .xoy平面上點 AB、 的坐標分別為 11()x f x（ , ） 、 22()x f x（ , ） ，該平面上動點 P 滿足 ? 4PA PB? ,點 Q 是點 P 關于直線 2( 4)yx??的對稱點 .求 (I)求點 AB、 的坐標； (II)求動點 Q 的軌跡方程 . 解 析： (Ⅰ )令 033)23()( 23 ?????????? xxxxf 解得 11 ??? x或 ； 當 1??x 時 , 0)( ?? xf ， 當 11 ??? x 時 , 0)( ?? xf ， 當 1?x 時 ， 0)( ?? xf 。 又 PQ 的中點在 )4(2 ?? xy 上，所以 ?????? ???? 4222 nxmy， 消去 nm, 得? ? ? ? 928 22 ???? yx 。 (ii).假設當 n=k 時結論成立 ,即 01ka??。 由 (i)、 (ii)可知， 01na??對一切正整數都成立 。 又 g (x)在 [0,1]上連續(xù) ,且 g (0)=0， 所以 當 01x??時， g (x)0 成立 。它下部的形 狀是高為 1m 的正六棱柱，上部的形狀是側棱長為 3m 的正六棱錐（如右圖所示）。 帳篷的體積為 （單位： m3） ： 233 3 1 3( ) ( 8 2 ) ( 1 ) 1 ( 1 6 1 2 )2 3 2V x x x x x x??? ? ? ? ? ? ? ????? 求導數，得 23( ) (1 2 3 )2V x x? ??； 令 ( ) 0Vx? ? 解得 x=2(不合題意，舍去 ),x=2。 點評：結合空間幾何 體的體積求最值，理解導數的工具作用。2( ) 3 2 ,f x x x??所以曲線 ()y f x? 在 11( , ( ))nnx f x??處的切線斜率12113 2 .nnnk x x????? 第 23 頁 共 25 頁 因為過 (0,0) 和 ( , ( ))nnx f x 兩點的直線斜率是 2 ,nnxx? 所以 221132n n n nx x x x??? ? ?. （ II）因為函數 2()h x x x??當 0x? 時單調遞增，而 221132n n n nx x x x??? ? ? 21142nnxx???? 211(2 ) 2nnxx????， 所以 12nnxx?? ，即 1 1,2nnxx? ?因此 11 21 2 11( ) .2 nnnn xx xx x x x ????? ? ????? ? 又因為122 12( ),nn n nx x x x? ?? ? ?令 2 ,n n ny x x?? 則 1 1.2nnyy? ? 因為 21 1 1 2,y x x? ? ? 所以 12111( ) ( ) .22nnnyy??? ? ? 因此 221( ) ,2 nn n nx x x ?? ? ? 故 1211( ) ( ) .22nnnx???? 點評： 本題主要考查函數的導數、數列、不等式等基礎知識，以及不等式的證明，同時考查邏輯推理能力。 當 x=0 時， t=0；當 x=a 時， 311 )(batt ??， 又 ds=vdt，故阻力所作的功為： 3 277130 320 30 2 727727)3(111 baktkbdtbtkdtvkdtvkvdsFW tttzuzu ??????? ???? （ 2） 依題設可知拋物線為凸形，它與 x 軸的交點的橫坐標分別為 x1=0， x2=－ b/a，所以 320 2 6 1)( badxbxaxS ab ??? ?? (1) 又直線 x＋ y=4 與拋物線 y=ax2＋ bx 相切，即它們有唯一的公共點， 由方程組??? ?? ?? bxaxy yx24 得 ax2＋ (b＋ 1)x－ 4=0，其判別式必須為 0，即 (b＋ 1)2＋ 16a=0． 第 25 頁 共 25 頁 于是 ,)1(161 2??? ba代入（ 1）式得： )0(,)1(6 128)( 43 ??? bb bbS ， 52 )1(3 )3(128)( ? ??? b bbbS ； 令 S39。 點評：應用好定積分處 理平面區(qū)域