湖北黃岡中學(xué)高三數(shù)學(xué)《專題十二排列與組合、二項(xiàng)式定理的應(yīng)用》-預(yù)覽頁
【正文】 以一共有 120種栽種方法 . 6 1 2 3 4 5 [例 2] 有 5張卡片 , 它們的正、反面分別寫 0與 1， 2與 3， 4與 5， 6與 7， 8與 9，將其中任意三張并排放在一起組成三位數(shù)，共可組成多少個(gè)不同的三位數(shù)？ [例 2] 有 5張卡片 , 它們的正、反面分別寫 0與 1， 2與 3， 4與 5， 6與 7， 8與 9，將其中任意三張并排放在一起組成三位數(shù)，共可組成多少個(gè)不同的三位數(shù)？ [解析 ] 在解本題時(shí)應(yīng)考慮兩方面的問題： (1) 0不能作百位，但 0與 1在同一卡片上，因此著眼于限制條件，必須同時(shí)考慮 0與 1的分類 . (2) 每張卡片都有正面與反面兩種可能，解法上既可用直接法也可用排除法 . 解法一：直接法，從 0與 1兩個(gè)特殊值著手，可分三類： (1) 取 0不取 1, 可先從另四張卡片上選一張作百位，有 C41種方法； 0可在后兩位有C21種方法；最后需從剩下的三張中任取一張，有 C31種方法；又除含 0的那張外，其他兩張都有正面或反面兩種可能，故此時(shí)可得不同的三位數(shù)有 C41C21C31A 33(個(gè) ). (3) 0和 1都不取 , 有不同三位數(shù) C422 2+C42A 33=432(個(gè) ). 解法二：間接法，任取三張卡片可以組成不同三位數(shù) C53A 22(個(gè) )，這是不合題意的 , 故共有不同三位數(shù) : C53A 22(個(gè) ). [例 3] 四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn) ,在其中取 4個(gè)不共面的點(diǎn) ,則不同的取法共有 ( ) A. 150種 B. 147種 C. 144種 D. 141種 [解析 ] 方法一 , 從 10個(gè)點(diǎn)中 , 任意取 4個(gè)點(diǎn)的不同取法共有 C104種，其中，所取4個(gè)點(diǎn)共面的可分為兩類： 第一類， 4個(gè)點(diǎn)同在四面體的一個(gè)面上，共有 4C64種取法 . 第二類 , 4個(gè)點(diǎn)不同在四面體的一個(gè)面上，可分為兩種情形：① 4個(gè)點(diǎn)分布在不共面的兩條棱上，這只能是恰有 1個(gè)點(diǎn)是某棱的中點(diǎn) , 另 3點(diǎn)在棱上，因?yàn)楣灿?6條棱 , 所以有 6種取法；② 4個(gè)點(diǎn)所在的不共面的棱不止兩條，這時(shí)， 4個(gè)點(diǎn)必然都是棱的中點(diǎn)，它們所在的 4條棱必然是空間四邊形的四條邊，故有 3種不同的取法 . 第二類 , 4個(gè)點(diǎn)不同在四面體的一個(gè)面上，可分為兩種情形：① 4個(gè)點(diǎn)分布在不共面的兩條棱上，這只能是恰有 1個(gè)點(diǎn)是某棱的中點(diǎn) , 另 3點(diǎn)在棱上，因?yàn)楣灿?6條棱 , 所以有 6種取法；② 4個(gè)點(diǎn)所在的不共面的棱不止兩條，這時(shí)， 4個(gè)點(diǎn)必然都是棱的中點(diǎn)，它們所在的 4條棱必然是空間四邊形的四條邊，故有 3種不同的取法 . 所以符合題意的不同取法種數(shù)為C104?(4C64+6+3)=141. 方法二 , 在四面體中取定一個(gè)面 , 記為 ?, 那么取不同不共面 的 4個(gè)點(diǎn) , 可 分為四類： 第一類 , 恰有 3個(gè)點(diǎn)在 ? 上 , 這時(shí)該 3點(diǎn)必然不在同一條棱上 , 因此 , 4個(gè)點(diǎn) 的不同取法數(shù)為 4(C63?3)=68. 第二類，恰有 2個(gè)點(diǎn)在 α上，可分兩種情況： ①該 2點(diǎn)在同一條棱上，這時(shí) 4個(gè)點(diǎn)的 不同取法數(shù)為 4C32(C423)=27。 (3) 含 x9的項(xiàng) 。 (4) 常數(shù)項(xiàng) . [解析 ] .16636,166321)()1(33542596xxxxCT???????????項(xiàng)為即第.93,94136 21)( )2(12214272293項(xiàng)的系數(shù)為故第xxxxxCT?????????????????.22121.4,3,9318( *).2121)(,1 )3( 9939249318992919xxCTxrrxCxxCTxrrrrrrrr?????????????????????????????????項(xiàng)含即第則令則項(xiàng)項(xiàng)含設(shè)第.1621,162121,7,6,0318,( *) )4( 6967常數(shù)項(xiàng)為項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)即第令式由????????????CTrr[例 2] :,21 4求三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列展開式中前若nxx ???????(1) 展開式中含 x的一次冪的項(xiàng) 。 )2( 。 2, 得 .1 0 9 3231 76420 ??????? aaaa.2187,)2()3(),()(||||||||.,)21(:)4(753164207210753164207其值為即可小于零而大于零展開式中方法一????????????????aaaaaaaaaaaaaaaaaaaax??.21873||||||||,)21(|,|||||||:7721077210????????????aaaaxaaaa??展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和即方法二[例 4] .115展開式的常數(shù)項(xiàng)求 ?????? ??xx[例 4] .115展開式的常數(shù)項(xiàng)求 ?????? ??xx[解析 ] )50()1(1,1111 : 55155??????????????????????????????????????rxxCTxxxxrrrr它的展開式通項(xiàng)為法一 ?,12,31,Z50)50(11,50
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