【正文】 ab ； （ 4）特別要注意等比數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式應(yīng)分為 q＝ 1 與 q≠ 1 兩類，當(dāng) q＝ 1 時(shí)， Sn＝ na1，當(dāng) q≠ 1 時(shí)， Sn＝qqan???1 )1(1， Sn＝q qaa n? ??11。 點(diǎn)評(píng)：第一種解法利用等比數(shù)列的基本量 qa,1 ，先求公比，后求其它量，這是解等差數(shù)列、等比數(shù)列的常用方法，其優(yōu)點(diǎn)是思路簡(jiǎn)單、實(shí)用，缺點(diǎn)是有時(shí)計(jì)算較繁；第二種解法利用等比數(shù)列的性質(zhì)，與“首末項(xiàng)等距”的兩項(xiàng)積相等，這在解題中常用到。 ∴ a1=q－ 1=2 故此數(shù)列的首為 2，公比為 3。 例 10．（ 1） 設(shè)首項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，它的前 n 項(xiàng)和為 80，前 2n 項(xiàng)和為 6560，且前 n 項(xiàng)中數(shù)值最大的項(xiàng)為 54，求此數(shù)列的首項(xiàng)和公比 q。 23 k ∴ Ak＋ 1－ Bk＋ 1＞ 2323)12(2323232 ??????? kkk 又∵ k＝ 8， 9， 10? ∴ Ak＋ 1－ Bk＋ 1＞ 0，綜上所述， An＞ Bn 成立 . （ 3）（Ⅰ）解：由題設(shè)得 a3a4＝ 10，且 a a4 均為非負(fù)整數(shù)，所以 a3 的可能的 值為1， 2， 5， 10． 若 a3＝ 1，則 a4＝ 10， a5＝ 23 ，與題設(shè)矛盾． 若 a3＝ 5，則 a4＝ 2， a5＝ 235 ，與題設(shè)矛盾． 若 a3＝ 10，則 a4＝ 1， a5＝ 60， a6＝ 53 ，與題設(shè)矛盾 . 所以 a3＝ 2. （Ⅱ）用數(shù)學(xué)歸納法證明： ①當(dāng) n＝ 3， a3＝ a1＋ 2，等式成立； ②假設(shè)當(dāng) n＝ k（ k≥ 3）時(shí)等式成立，即 ak＝ ak－ 2＋ 2,由題設(shè) ak＋ 1ak＝（ ak－ 1＋ 2）178。 q2178。 （ 2）（Ⅰ）設(shè)公比為 q，公差為 d，等比數(shù)列 1， a1， a2，??， an， 2，等差數(shù)列 1，b1， b2，??， bn， 2。 題型 4：等比數(shù)列的求和公式及應(yīng)用 例 7．（ 1）（ 20xx 年遼寧卷）在等比數(shù)列 ??na 中 , 1 2a? ,前 n 項(xiàng)和為 nS ,若數(shù)列 ? ?1na?也是等比數(shù)列 ， 則 nS 等于 （ ） A． 122n? ? B． 3n C． 2n D． 31n? （ 2） （ 20xx 年北京卷）設(shè) 4 7 10 3 10( ) 2 2 2 2 2 ( )nf n n N?? ? ? ? ? ? ?，則 ()fn 等于 （ ） A． 2(8 1)7 n? B． 12(8 1)7 n? ? C． 32(8 1)7 n? ? D． 42(8 1)7 n? ? （ 3）（ 1996 全國文， 21）設(shè)等比數(shù)列｛ an｝的前 n 項(xiàng)和為 Sn，若 S3＋ S6＝ 2S9，求 數(shù)列的公比 q； 解 析：（ 1） 因數(shù)列 ??na 為等比，則 12 nnaq?? ，因數(shù)列 ? ?1na? 也是等比數(shù)列， 則221 2 1 1 2 2 2 12( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 2 2( 1 2 ) 0 1n n n n n n n n n n n nna a a a a a a a a a a aa q q q? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 即 2na? ，所以 2nSn? ，故選擇答案 C。 點(diǎn)評(píng)：該題考察實(shí)際問題的判定，需要對(duì)實(shí)際問題情景進(jìn)行分析，最終對(duì)應(yīng)數(shù)值關(guān)系建立模型加以解 析。 事實(shí)上， c22＝（ a1p＋ b1q） 2＝ a12p2＋ b12q2＋ 2a1b1pq， c1178。 題型 2：等比數(shù)列的判定 例 3．（ 20xx 全國理， 20）（Ⅰ）已知數(shù)列｛ ｝，其中 ＝ 2n＋ 3n，且數(shù)列｛ ＋ 1－ p｝為等比數(shù)列，求常數(shù) p；（Ⅱ）設(shè)｛ an｝、｛ bn｝是公比不相等的兩個(gè)等比數(shù)列， =an+bn，證明數(shù)列｛ ｝不是等比數(shù)列。 點(diǎn)評(píng)：該題通過一些選擇題的形式考察了有關(guān)等比數(shù)列的一些重要結(jié)論，為此我們要注意一些有關(guān)等差數(shù)列、等比數(shù)列的重要結(jié)論。（注意：“從第二項(xiàng)起”、 “常數(shù)” q 、等比數(shù)列的公比和項(xiàng)都不為零） 2．等比數(shù)列通項(xiàng)公式為： )0( 111 ???? ? qaqaa nn 。 （ 4） 倒序相加法 ： 類似于等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法 . （ 5） 分組求和法 第 12 頁 共 23 頁 （ 6） 累加（乘）法等 。 由 (5n－ 8)Sn+1－ (5n+2)Sn=An+B 知： ??? ????????? ??? ???? .482 .28,2122 ,732312 BA BABASS BASS 即。 題型 7：課標(biāo)創(chuàng)新題 例 13 ． （ 20xx 年北京卷）在數(shù)列 {}na 中，若 12,aa 是正整數(shù)，且12| |, 3 , 4 , 5 ,n n na a a n??? ? ?，則稱 {}na 為 “絕對(duì)差數(shù)列 ”。 解析：（ I）從第 n 年初到第 n+1 年初，魚群的繁殖量為 axn，被捕撈量為 bxn，死亡量為第 9 頁 共 23 頁 .( * * )*),1(.( * )*, 1212 NncxbaxxNncxbxaxxxcx nnnnnnnnn ?????????? ?? 即因此 （ II）若每年年初魚群總量保持不變，則 xn 恒等于 x1， n∈ N*， 從而由（ *）式得： ..0*,0)( 11 c baxcxbaNncxbax nn ???????? 即所以恒等于 因?yàn)?x10，所以 ab。 證法 3： 當(dāng) 11x? ? ? 時(shí) , 2 1 2 ( 1 ) 2 2 ( 2 ) 2 ( ) 1 2( ) ( 1 ) .. . ( 1 ) .. . 2 1n n n k n k nn n n nF x x n C x n C x n k C x C x? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 當(dāng) x0 時(shí) , ( ) 0Fx? ? ,所以 ()Fx在 [0,1]上為增函數(shù) 。2( ) 3 2 ,f x x x?? 所以曲線 ()y f x? 在 11( , ( ))nnx f x??處的切線斜率12113 2 .nnnk x x????? 因?yàn)檫^ (0,0) 和 ( , ( ))nnx f x 兩點(diǎn)的直線斜率是 2 ,nnxx? 所以 221132n n n nx x x x??? ? ?. （ II）因?yàn)楹瘮?shù) 2()h x x x??當(dāng) 0x? 時(shí)單調(diào)遞增， 而 221132n n n nx x x x??? ? ? 2 1142nnxx???? 211(2 ) 2nnxx???? 第 6 頁 共 23 頁 所以 12nnxx?? ，即 1 1,2nnxx? ? 因此 11 21 2 11( ) .2 nnnn xx xx x x x ????? ? ????? ? 又因?yàn)?22 12( ),nn n nx x x x? ?? ? ? 令 2 ,n n ny x x?? 則 1 1.2nnyy? ? 因?yàn)?21 1 1 2,y x x? ? ? 所以 12111( ) ( ) .22nnnyy??? ? ? 因此 221( ) ,2 nn n nx x x ?? ? ? 故 1211( ) ( ) .22nnnx???? 點(diǎn)評(píng)：數(shù)列與解析幾何問題結(jié)合在一塊，數(shù)列的通項(xiàng)與線段的長度、點(diǎn)的坐標(biāo)建立起聯(lián)系。 題型 4：其他方法 例 7． 求數(shù)列 1， 3+5， 7+9+11， 13+15+17+19，?前 n 項(xiàng)和。 解析： S C C C nCn n n n nn? ? ? ? ?0 3 6 30 1 2178。 點(diǎn)評(píng)：已知數(shù)列 ??na 為等差數(shù)列，且公差不為 0，首項(xiàng)也不為 0，下列求和11111nn iiiiiiaadaa ?????????也可用裂項(xiàng)求和法 。 遞歸數(shù)列的通項(xiàng)的求法一般說來有以下幾種： （ 1）歸納、猜想、數(shù)學(xué)歸納法證明。用裂項(xiàng)法求和，需要掌握一些常見的裂項(xiàng)，如： )11(1))(( 1 CAnBAnBCCAnBAna n ????????、)1( 1?nn=n1－11?n、 n178。 二．命題走向 數(shù)列求和和數(shù)列綜合及實(shí)際問題在高考中占有重要的地位，一般情況下都是出一道解答題，解答題大多以數(shù)列為工具，綜合運(yùn)用函數(shù)、方程、不等式等知識(shí)，通過運(yùn)用逆推思想、函數(shù)與方程、歸納與猜想、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論等各種數(shù)學(xué)思想方法 ，這些題目都考察考生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力，它們都屬于中、高檔題目。作等差數(shù)列與等比數(shù)列； ②累差疊加法。 ⑦通項(xiàng)分解法： nnn cba ?? 2．遞歸數(shù)列 數(shù)列的連續(xù)若干項(xiàng)滿足的等量關(guān)系 an+k=f(an+k－ 1,an+k－ 2,? ,an)稱為數(shù)列的遞歸關(guān)系。最常見的是作成等差數(shù)列或等比數(shù)列來解決問題。 例 4． 已知 1,0 ?? aa ，數(shù)列 ??na 是首項(xiàng)為 a，公比也為 a 的等比數(shù)列，令)(lg Nnaab nnn ??? ，求數(shù)列 ??nb 的前 n 項(xiàng)和 nS 。 點(diǎn)評(píng)： Sn 表示從第一項(xiàng)依次到第 n 項(xiàng)的和，然后又將 Sn 表示成第 n 項(xiàng)依次反序到第一項(xiàng)的和，將所得兩式相加，由此得到 Sn 的一種求和方法。 題型 5：數(shù)列綜合問題 例 9． （ 20xx 年 浙江卷） 已知函數(shù) ()fx＝ x3+x2，數(shù)列 | xn | （ xn 0）的第一項(xiàng) x1＝ 1，以后各項(xiàng)按如下方式取定：曲線 y＝ ()fx在 11( ( ))nnx f x??? 處的切線與經(jīng)過（ 0， 0）和（ xn， f（ xn））兩點(diǎn)的直線平行（如圖）。 因函數(shù) ()Fx為偶函數(shù)所以 ()Fx在 [－ 1,0]上為減函數(shù) ， 所以對(duì) 任意的 ? ?12, 1,1xx?? 12( ) ( ) (1 ) ( 0 )F x F x F F? ? ?， 0 1 2 11 2 1 0( 1 ) ( 0 ) ( 1 ) . . . ( 1 ) . . . 2( 1 ) . . . ( 1 ) . . . 2 knn n n n nn n n kn n n n nF F C n C n C n k C Cn C n C n k C C C ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? 1( 1 ) ( )( 1 , 2 , 3 1 )n k n k n kn n nkknnn k C n k C Cn C C k n? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ? 1 2 1 1 2 1 01 1 111( 1 ) ( 0 ) ( . . . ) ( . . . )( 2 1 ) 2 1 2 ( 2 ) 1knn n n n n n nn n nF F n C C C C C C Cn n n??? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 第 7 頁 共 23 頁 因此結(jié)論成立 。 點(diǎn)評(píng)：這是一道比較簡(jiǎn)單的數(shù)列應(yīng)用問題，由于本息金與利潤是熟悉的概念，因此只建立通項(xiàng)公式并運(yùn)用所學(xué)過的公式求解。 ②假設(shè)當(dāng) n=k 時(shí)結(jié)論成立，即 xk∈ (0, 2)，則當(dāng) n=k+1 時(shí)， xk+1=xk(2－ xk)0。 例 14． （ 20xx 江蘇 23） 設(shè)數(shù)列 {an}的前 n 項(xiàng)和為 Sn，已知 a1＝ 1， a