【正文】 =na－ n，則數(shù)列 {an}既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列；上述三個命題中，真命題有（ ） A． 0 個 B． 1 個 C． 2 個 D． 3 個 解析： 由命題 1 得， a1=a+b，當(dāng) n≥ 2 時， an=Sn－ Sn－ 1=(a－ 1)178。 四．典例解析 題型 1：等比數(shù)列的概念 例 1．“公差為 0 的等差數(shù)列是等比數(shù)列”；“公比為21的等比數(shù)列一定是遞減數(shù)列”；“ a,b,c 三數(shù)成等比數(shù)列的充要條件是 b2=ac”；“ a,b,c 三數(shù)成等差數(shù)列的充要條件是2b=a+c”，以上四個命題中，正確的有（ ） A． 1 個 B． 2 個 C． 3 個 D． 4 個 解析：四個命題中只有最后一個是真命題。 說明：（ 1）由等比數(shù)列的通項公式可以知道：當(dāng)公比 1d? 時該數(shù)列既是等比數(shù)列也是等差數(shù)列；（ 2）等比數(shù)列的通項公式知：若 {}na 為等比數(shù)列，則 mnmna qa ?? 。客觀性的試題考察等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項公式、求和公式等基礎(chǔ)知識和基本性質(zhì)的靈活應(yīng)第 13 頁 共 23 頁 用，對基本的運算要求比較高，解答題大多以數(shù)列知識為工具。 2． 常用結(jié)論 （ 1）1nk k? ?? 1+2+3+...+n = 2 )1( ?nn （ 2）1(2 1)nk k? ???1+3+5+...+(2n1) = 2n （ 3） 31nk k? ??2333 )1(2121 ?????? ????? nnn? （ 4） 21nk k? ?? )12)(1(61321 2222 ??????? nnnn? （ 5）111)1( 1 ???? nnnn )211(21)2( 1 ???? nnnn （ 6） )()11(11 qpqppqpq ???? 3．?dāng)?shù)學(xué)思想 （ 1）迭加累加（等差數(shù)列的通項公式的推導(dǎo)方法）若 1 ( ), ( 2 )nna a f n n?? ? ?，則??； （ 2）迭乘累乘（等比數(shù)列的通項公式的推導(dǎo)方法）若1 ( )( 2)nna g n na? ??，則??； （ 3）逆序相加（等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)方法）； （ 4）錯位相減（等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)方法）。 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知， an=1+5(n1)=5n4. 要證了 ,15 ?? nmmn aaa 只要證 5amn 1+aman+2 nmaa 因為 amn =5mn 4,aman=(5m4)(5n4)=25mn 20(m+n)+16, 故只要證 5（ 5mn 4） 1+25mn 20(m+n)+16+2 ,nmaa 因為 )291515(8558552 ??????????? nmnmnmaaaa nmnm =20m+20n37, 所以命題得證。 解得 A=－ 20， B=－ 8。 例 14． （ 20xx 江蘇 23） 設(shè)數(shù)列 {an}的前 n 項和為 Sn，已知 a1＝ 1， a2＝ 6， a3＝ 11，且 1( 5 8 ) ( 5 2) , 1 , 2 , 3 ,nnn S n S A n B n?? ? ? ? ? ? ? ，其中 A,B 為常數(shù)。 （ Ⅰ ）舉出一個前五項不為零的 “絕對差數(shù)列 ”（只要求寫出前十項）； （ Ⅱ ）證明：任何 “絕對差數(shù)列 ”中總含有無窮多個為零的項 。 ②假設(shè)當(dāng) n=k 時結(jié)論成立，即 xk∈ (0, 2)，則當(dāng) n=k+1 時， xk+1=xk(2－ xk)0。 猜測：當(dāng)且僅當(dāng) ab，且cbax ??1時，每年年初魚群的總量保持不變。 點評：這是一道比較簡單的數(shù)列應(yīng)用問題，由于本息金與利潤是熟悉的概念，因此只建立通項公式并運用所學(xué)過的公式求解。 因 為 函數(shù) ()Fx為偶函數(shù)所以 ()Fx在 [－ 1,0]上為減函數(shù) 。 因函數(shù) ()Fx為偶函數(shù)所以 ()Fx在 [－ 1,0]上為減函數(shù) ， 所以對 任意的 ? ?12, 1,1xx?? 12( ) ( ) (1 ) ( 0 )F x F x F F? ? ?， 0 1 2 11 2 1 0( 1 ) ( 0 ) ( 1 ) . . . ( 1 ) . . . 2( 1 ) . . . ( 1 ) . . . 2 knn n n n nn n n kn n n n nF F C n C n C n k C Cn C n C n k C C C ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? 1( 1 ) ( )( 1 , 2 , 3 1 )n k n k n kn n nkknnn k C n k C Cn C C k n? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ? 1 2 1 1 2 1 01 1 111( 1 ) ( 0 ) ( . . . ) ( . . . )( 2 1 ) 2 1 2 ( 2 ) 1knn n n n n n nn n nF F n C C C C C C Cn n n??? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 第 7 頁 共 23 頁 因此結(jié)論成立 。 例 10． （ 20xx 年遼寧卷） 已知 0( ) ,nf x x? 39。 題型 5：數(shù)列綜合問題 例 9． （ 20xx 年 浙江卷） 已知函數(shù) ()fx＝ x3+x2，數(shù)列 | xn | （ xn 0）的第一項 x1＝ 1，以后各項按如下方式取定：曲線 y＝ ()fx在 11( ( ))nnx f x??? 處的切線與經(jīng)過（ 0， 0）和（ xn， f（ xn））兩點的直線平行（如圖）。 解析：本題實質(zhì)是求一個奇數(shù)列的和。 點評： Sn 表示從第一項依次到第 n 項的和，然后又將 Sn 表示成第 n 項依次反序到第一項的和，將所得兩式相加，由此得到 Sn 的一種求和方法。 ?。 例 4． 已知 1,0 ?? aa ，數(shù)列 ??na 是首項為 a，公比也為 a 的等比數(shù)列，令)(lg Nnaab nnn ??? ，求數(shù)列 ??nb 的前 n 項和 nS 。 例 2． 求 )(,321 14321 1321 121 11 *Nnn ???????????????? ??。最常見的是作成等差數(shù)列或等比數(shù)列來解決問題。 （ 2）迭代法。 ⑦通項分解法： nnn cba ?? 2．遞歸數(shù)列 數(shù)列的連續(xù)若干項滿足的等量關(guān)系 an+k=f(an+k－ 1,an+k－ 2,? ,an)稱為數(shù)列的遞歸關(guān)系。 n！=(n+1)!－ n!、 Cn－ 1r－ 1=Cnr－ Cn－ 1r、)!1( ?nn=!1n－)!1( 1?n等。作等差數(shù)列與等比數(shù)列； ②累差疊加法。 有關(guān)命題趨勢： 1．?dāng)?shù)列是一種特殊的函數(shù)，而不等式則是深刻認(rèn)識函數(shù)和數(shù)列的有效工具，三者的綜合題是對基礎(chǔ)和能力的雙重檢驗，在三者交匯處設(shè)計試題，特別是代數(shù)推理題是高考的重點； 2．?dāng)?shù)列推理題是將繼續(xù)成為數(shù)列命題的一個亮點，這是由于此類題目能突出考察學(xué)生的邏輯思維能力，能區(qū)分學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、靈敏程度、靈活程度； 3．?dāng)?shù)列與新的章節(jié)知識結(jié)合的特點有可能加強，如與解析幾何的結(jié)合等； 4．有關(guān)數(shù)列的應(yīng)用問題也一直備受關(guān)注。 二．命題走向 數(shù)列求和和數(shù)列綜合及實際問題在高考中占有重要的地位，一般情況下都是出一道解答題，解答題大多以數(shù)列為工具，綜合運用函數(shù)、方程、不等式等知識，通過運用逆推思想、函數(shù)與方程、歸納與猜想、等價轉(zhuǎn)化、分類討論等各種數(shù)學(xué)思想方法 ，這些題目都考察考生靈活運用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力，它們都屬于中、高檔題目。 （ 2）求通項常用方法 ①作新數(shù)列法。用裂項法求和，需要掌握一些常見的裂項，如： )11(1))(( 1 CAnBAnBCCAnBAna n ????????、)1( 1?nn=n1－11?n、 n178。 數(shù)列求通項及和的方法多種多樣，要視具體情形選用合適方法。 遞歸數(shù)列的通項的求法一般說來有以下幾種： （ 1）歸納、猜想、數(shù)學(xué)歸納法證明。 （ 4）作新數(shù)列法。 點評：已知數(shù)列 ??na 為等差數(shù)列，且公差不為 0，首項也不為 0，下列求和11111nn iiiiiiaadaa ?????????也可用裂項求和法 。 解析：①若 a=0 時， Sn=0； ②若 a=1，則 Sn=1+2+3+? +n= )1n(n21 ?； ③若 a≠ 1， a≠ 0 時， SnaSn=a（ 1+a+? +an1nan）， Sn= ]naa)1n(1[)a1( a 1nn2 ?????。 解析： S C C C nCn n n n nn? ? ? ? ?0 3 6 30 1 2178。 。 題型 4：其他方法 例 7． 求數(shù)列 1， 3+5， 7+9+11， 13+15+17+19，?前 n 項和。 解 析 ：其和為 (1＋ 3＋ …… ＋ 3n)＋ (13 132?＋ …… ＋ 13n)= 3 12 1 321n n? ?? ? ?=12(3n＋ 1－3n)。2( ) 3 2 ,f x x x?? 所以曲線 ()y f x? 在 11( , ( ))nnx f x??處的切線斜率12113 2 .nnnk x x????? 因為過 (0,0) 和 ( , ( ))nnx f x 兩點的直線斜率是 2 ,nnxx? 所以 221132n n n nx x x x??? ? ?. （ II）因為函數(shù) 2()h x x x??當(dāng) 0x? 時單調(diào)遞增， 而 221132n n n nx x x x??? ? ? 2 1142nnxx???? 211(2 ) 2nnxx???? 第 6 頁 共 23 頁 所以 12nnxx?? ，即 1 1,2nnxx? ? 因此 11 21 2 11( ) .2 nnnn xx xx x x x ????? ? ????? ? 又因為122 12( ),nn n nx x x x? ?? ? ? 令 2 ,n n ny x x?? 則 1 1.2nnyy? ? 因為 21 1 1 2,y x x? ? ? 所以 12111( ) ( ) .22nnnyy??? ? ? 因此 221( ) ,2 nn n nx x x ?? ? ? 故 1211( ) ( ) .22nnnx???? 點評：數(shù)列與解析幾何問題結(jié)合在一塊，數(shù)列的通項與線段的長度、點的坐標(biāo)建立起聯(lián)系。 解析： (I)由已知推得 ( ) ( 1) nkkf x n k x ?? ? ?,從而有 (1) 1kf n k? ? ? ； (II) 證法 1:當(dāng) 11x? ? ? 時 ， 2 1 2 ( 1 ) 2 2 ( 2 ) 2 ( ) 1 2( ) ( 1 ) .. . ( 1 ) .. . 2 1n n n k n k nn n n nF x x n C x n C x n k C x C x? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 當(dāng) x0 時 , (