【正文】 ，為持續(xù)利用這一資源，需從宏觀上考察其再生能力及捕撈強(qiáng)度對(duì)魚(yú)群總量的影響 . 用 xn 表示某魚(yú)群 在第 n 年年初的總量， n∈ N*，且 x1＞ ，設(shè)在第 n 年內(nèi)魚(yú)群的繁殖量及捕撈量都與xn 成正比，死亡量與 xn2 成正比，這些比例系數(shù)依次為正常數(shù) a， b， c。 證法 2： 當(dāng) 11x? ? ? 時(shí) , 2 1 2 ( 1 ) 2 2 ( 2 ) 2 ( ) 1 2( ) ( 1 ) .. . ( 1 ) .. . 2 1n n n k n k nn n n nF x x n C x n C x n k C x C x? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 當(dāng) x0 時(shí) , ( ) 0Fx? ? ,所以 ()Fx在 [0,1]上為增函數(shù) 。 求證：當(dāng) n? *N 時(shí)： （ I） 221132n n n nx x x x??? ? ?；（ II） 1211( ) ( )22nnnx????。 例 6．設(shè)數(shù)列 ??na 是公差為 d ，且首項(xiàng)為 da ?0 的等差數(shù)列， 求和： nnnnnn CaCaCaS ????? ?11001 解 析 ：因?yàn)?nnnnnn CaCaCaS ????? ?11001 ， 00111 nnnnnnnn CaCaCaS ???? ??? ? nnnnn CaCaCa 0110 ???? ? ?， 011 0 1 1 02 ( ) ( ) ( ) nn n n n n n nS a a C a a C a a C??? ? ? ? ? ? ? ? 0100( ) ( ) ( ) 2nnn n n n na a C C C a a? ? ? ? ? ? ? 110( ) 2 nnnS a a ??? ? ? ?。 第 4 頁(yè) 共 23 頁(yè) 解 析 ： , lgnnnna a b n a a? ? ?， 232 3 4 1( 2 3 ) l g( 2 3 ) l gnnnnS a a a n a aa S a a a n a a?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? … … ①… … ② ① ②得： anaaaaSa nnn lg)()1( 12 ??????? ?， ? ?nn anana aaS )1(1)1( lg 2 ??????新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/ 點(diǎn)評(píng)：設(shè)數(shù)列 ??na 的等比數(shù)列，數(shù)列 ??nb 是等差數(shù)列，則數(shù)列 ? ?nnba 的前 n 項(xiàng)和 nS求解，均可用 錯(cuò)位相減法 。 四．典例解析 題型 1：裂項(xiàng)求和 第 3 頁(yè) 共 23 頁(yè) 例 1． 已知數(shù)列 ??na 為等差數(shù)列，且公差不為 0，首項(xiàng)也不為 0，求和： ?? ?ni iiaa1 11 。由遞歸關(guān)系及 k 個(gè)初始值可以確定的一個(gè)數(shù)列叫做遞歸數(shù)列。最基本的形式是： an=(an－ an－ 1)+(an－ 1+an－ 2)+? +(a2－ a1)+a1； ③歸納、猜想法。第 1 頁(yè) 共 23 頁(yè) 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū) — 數(shù)學(xué) [人教版 ] 高三新 數(shù)學(xué) 第一輪復(fù)習(xí)教案（講座 30） — 數(shù)列求和及數(shù)列實(shí)際問(wèn)題 一．課標(biāo)要求： 1． 探索并掌 握一些基本的 數(shù)列 求前 n 項(xiàng)和 的方法； 2． 能在具體的問(wèn)題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的 數(shù)列的通項(xiàng)和遞推 關(guān)系，并能用有關(guān) 等差、等比數(shù)列 知識(shí)解決相應(yīng)的 實(shí)際 問(wèn)題。 （ 3）數(shù)列前 n 項(xiàng)和 ①重要公式： 1+2+? +n=21 n(n+1)； 第 2 頁(yè) 共 23 頁(yè) 12+22+? +n2=61n(n+1)(2n+1)； 13+23+? +n3=(1+2+? +n)2=41n2(n+1)2； ②等差數(shù)列中， Sm+n=Sm+Sn+mnd； ③等比數(shù)列中， Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn； ④裂項(xiàng) 求和 將數(shù)列的通項(xiàng)分成兩個(gè)式子的代數(shù)和，即 an=f(n+1)－ f(n)，然后累加抵消掉中間的許多項(xiàng)，這種先裂后消的求和法叫裂項(xiàng)求和法。如由 an+1=2an+1，及 a1=1，確定的數(shù)列 }12{ ?n 即為遞歸數(shù)列。 解 析 ：首先考慮 ??? ?ni iiaa1 11 ?? ??ni ii aad1 1 )11(1 ， 則?? ?ni iiaa1 11 = 1111 )11(1 ?? ?? nn aa naad 。 題型 3：倒序相加 例 5． 求 S C C nCn n n nn? ? ? ?3 6 31 2 ?。 第 5 頁(yè) 共 23 頁(yè) 點(diǎn)評(píng)：此類問(wèn)題還可變換為探索題形：已知數(shù)列 ??na 的前 n 項(xiàng)和 nS 12)1( ??? nn ，是否存在等差數(shù)列 ??nb 使得 nnnnnn CbCbCba ???? ?2211 對(duì)一切自然數(shù) n 都成立 。 解析：（ I）因?yàn)?39。 因函數(shù) ()Fx為偶函數(shù)所以 ()Fx在 [1,0]上為減函數(shù) 所以對(duì) 任意的 ? ?12, 1,1xx?? 12( ) ( ) (1 ) ( 0 )F x F x F F? ? ? 0 1 2 1( 1 ) ( 0) ( 1 ) .. . ( 1 ) .. . 2knn n n n nF F C nC n C n k C C ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 又因 1 2 1 1 0( 1 ) ( 0 ) 2 3 .. . .. .knn n n n nF F C C k C n C C??? ? ? ? ? ? ? ? 所以 1 2 1 1 02 [ ( 1 ) ( 0 ) ] ( 2 ) [ .. . .. . ] 2knn n n n nF F n C C C C C??? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 1 1 012( 1 ) ( 0) [ .. . .. . ]22 ( 2 2) 1 2 ( 2) 12knn n n n nnnnF F C C C C Cn nn????? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? 因此結(jié)論成立 。 （Ⅰ）求 xn+1 與 xn 的關(guān)系式； （Ⅱ）猜測(cè)：當(dāng)且僅當(dāng) x1， a， b， c 滿足什么條件時(shí)，每年年初魚(yú)群的總量保持不變？（不要求證明） （Ⅱ）設(shè) a＝ 2， b＝ 1，為保證對(duì)任意 x1∈（ 0,2），都有 xn＞ 0， n∈ N*，則捕撈強(qiáng)度 b的最大允許值是多少？證明你的結(jié)論。 點(diǎn)評(píng)：數(shù)學(xué)歸納法在猜想證明數(shù)列通項(xiàng)和性質(zhì)上有很大的用處，同時(shí)該題又結(jié)合了實(shí)際應(yīng)用題解決問(wèn)題。 解答：（ 1）由已知，得 S1=a1=1,S2=a1+a2=7,S3=a1+a2+a3=18。 五．思維總結(jié) 1． 數(shù)列求和的常用方法 （ 1）公式法 ： 適用于等差、等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列 ； （ 2） 裂項(xiàng)相消法 ： 適用于???????1nnaac 其中 { na }是各項(xiàng)不為 0 的等差數(shù)列， c 為常數(shù)；部分無(wú)理數(shù)列、含階乘的數(shù)列等 ； （ 3） 錯(cuò)位相減法 ： 適用于 ? ?nnba 其中 { na }是等差數(shù)列， ??nb 是各項(xiàng)不為 0 的等比數(shù)列。 三．要點(diǎn)精講 1． 等比數(shù)列定義 一般地，如果一個(gè)數(shù)列從 第二項(xiàng)起 ． ． ． ． ，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè) 常數(shù) ． ． ，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母 q 表示( 0)q? ，即： 1na? ： ( 0)na q q??數(shù)列對(duì)于數(shù)列（ 1）（ 2）（ 3）都是等比數(shù)列，它們 的公比依次是 2， 5，21?。21， an+1an 未必成立，當(dāng)首項(xiàng) a10 時(shí)， an0，則21anan，即an+1an，此時(shí)該數(shù)列為遞增數(shù)列； 命題 3 中，若 a=b=0， c∈ R，此時(shí)有 acb ?2 ，但數(shù)列 a,b,c 不是等比數(shù)列，所以應(yīng)是必要而不充分條件，若將條件改為 b= ac ，則成為不必要也不充分條件。上述三個(gè)命題都不是真命題，選擇 A。 c3。 =21 ，所以 rn=31 rn－ 1（ n≥ 2），于是 a1=π r12=91)(,12 2112 ???? nnnn rraal? ，故 {an}成等比數(shù)列。 點(diǎn)評(píng)：該題涉及等比數(shù)列的求和公式與等比數(shù)列通項(xiàng)之間的關(guān)系，最終求得結(jié)果。 解析：（ 1）∵｛ an｝為等差數(shù)列，｛ bn｝為等比數(shù)列， ∴ a2＋ a4＝ 2a3， b2b4＝ b32． 已知 a2＋ a4＝ b3， b2b4＝ a3， ∴ b3＝ 2a3， a3＝ b32． 得 b3＝ 2b32． ∵ b3≠ 0 ∴ b3＝ 21 ， a3＝ 41 ． 由 a1＝ 1， a3＝ 41 知｛ an｝的公差為 d＝ 83? ， ∴ S10＝ 10a1＋ 8552 910 ??? d ． 由 b1＝ 1， b3＝ 21 知｛ bn｝的公比為 q＝ 22 或 q＝ 22? ． 當(dāng) q＝ 22 時(shí)， )22(32311 )1(10110 ????? qqbT， 當(dāng) q＝ 22? 時(shí)， )22(32311 )1(10110 ????? qqbT。 1178。 2k 23231 ??? kBk且 Ak＞ Bk ∴ Ak＋ 1＞ 2 178。 點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列的相關(guān)概念及其有關(guān)計(jì)算能力。 ∴ qn1=81－ 54=27 ∴ q=1 8127nhqq ? ?=3。n 可見(jiàn)，當(dāng) n=3lg3lg272lg2 ? 時(shí)， Sn 最大 ， 而 3lg272lg2? ????? =5,故 {lgan}的前 5 項(xiàng)和最大 ， 解法二新疆王新敞特級(jí)教師 源頭學(xué)子小屋htp:/:/新疆 接前，???????311081qa ,于是 lgan=lg［ 108(31)n－ 1］ =lg108+(n－ 1)lg31， ∴ 數(shù)列 {lgan}是以 lg108 為首項(xiàng)，以 lg31為公差的等差數(shù)列， 令 lgan≥0， 得 2lg2－ (n－ 4)lg3≥0， ∴ n≤ 3lg42lg2 ?????=， 由于 n∈ N*,可見(jiàn)數(shù)列 {lgan}的前 5 項(xiàng)和最大 。 qn－ 1； （ 3）對(duì)于 G 是 a、 b 的等差 中項(xiàng)，則 G2＝ ab， G＝177。 2． 等比數(shù)列的判定方法 ①定義法：對(duì)于數(shù)列 ??na ，若 )0(1 ??? qqaa nn，則數(shù)列 ??na 是等比數(shù)列； ②等比中項(xiàng)：對(duì)于數(shù) 列 ??na ，若 2 12 ?? ? nnn aaa ，則數(shù)列 ??na 是等比數(shù)列。 題型 6：等差、等比綜合問(wèn)題 例 11．（ 20xx 年廣東卷） 已知公比為 )10( ??qq 的無(wú)窮等比數(shù)列 }{na 各項(xiàng)的和為 9，無(wú)窮等比數(shù)列 }{2na 各項(xiàng)的和為581。 （ 2）解法 1：設(shè)插入的 n 個(gè)數(shù)為 nxxx , 21 ? ，且公比為 q， 則 ,2,1,1),1(,11 11 nkqnxnnqqnn kknn ???????? ?? 22 )1(21221 )1(11111 nnnnnnnnn nnqnqnqnqnqnxxxT ???????????? ???? ??? 。 （ 2） 在n1和 1?n 之間插入 n 個(gè)正數(shù)，使這 2?n 個(gè)數(shù)依次成等比數(shù)列，求所插入的n 個(gè)數(shù)之積。（ ak－ 2＋