【正文】 點評：對于出現(xiàn)等差、等比數(shù)列的綜合問題，一定要區(qū)分開各自的公式，不要混淆。 兩式相除得 1+qn=82 ，即 qn=81。 q2? qn＝ q 222 )1( nnn ??? （ n＝ 1， 2， 3?） 又∵ bn＋ 2＝ 1＋ （ n＋ 1） d＝ 2 ∴（ n＋ 1） d＝ 1 B1＝ b1＝ 1＋ d B2＝ b2＋ b1＝ 1＋ d＋ 1＋ 2d Bn＝ 1＋ d＋?＋ 1＋ nd＝ 23 n （Ⅱ） An＞ Bn，當(dāng) n≥ 7 時 證明：當(dāng) n＝ 7 時， 23． 5＝ 8178。 點評：對于等比數(shù)列求和問題要先分清數(shù)列的通項公式，對應(yīng)好首項和公比求出最終結(jié)果即可。 例 4．（ 20xx 京春， 21）如圖 3— 1，在邊長為 l 的等邊△ ABC中，圓 O1 為△ ABC 的 內(nèi)切圓，圓 O2 與圓 O1 外切，且與 AB，BC 相切，?，圓 On+1 與圓 On 外切，且與 AB、 BC 相切，如此無限繼續(xù)下去 .記圓 On 的面積為 an（ n∈ N*），證明 {an}是等比數(shù)列； 證明：記 rn 為圓 On 的半徑，則 r1=2l tan30176。 由命題 2 得， a1=a+b+c，當(dāng) n≥ 2 時， an=Sn－ Sn－ 1=2na+b－ a，若 {an}是等差數(shù)列，則a2－ a1=2a，即 2a－ c=2a，所以只有當(dāng) c=0 時，數(shù)列 {an}才是等差數(shù)列。 二．命題走向 等比數(shù)列與等差數(shù)列同樣在高考中占有重要的地位，是高考出題的重點。 點評：通過設(shè)置“等差數(shù)列”這一概念加大學(xué)生對情景問題的閱讀、分析和解決問題的能力。 題型 6：數(shù)列實際應(yīng)用題 例 11．某企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造，有兩種方案，甲方案：一次性貸款 10 萬元，第一年便可獲利 1 萬元，以后每年比前一年增加 30%的利潤；乙方案：每年貸款 1 萬元，第一年可獲利 1 萬元，以后每年比前一年增加 5 千元；兩種方案的使用期都是 10 年，到期一次性歸還本息 . 若銀行兩種形式的貸款都按年息 5%的復(fù)利計算，試比較兩種方案中，哪種第 8 頁 共 23 頁 獲利更多？ （取 , 101010 ??? ） 解析：甲方案是等比數(shù)列，乙方案是等差數(shù)列， ①甲方案獲利： %)301(%)301(%)301(1 1092 ?????????? ?（萬元）， 銀行貸款本息： %)51(10 10 ?? （萬元）， 故甲方案純利： ?? （萬元）， ②乙方案獲利： 2 910110)()()(1 ?????????????? ? ? （萬元）； 銀行本息和： ]%)51(%)51(%)51(1[ 92 ???????? ? 10 ???? （萬元） 故乙方案純利： ?? （萬元）； 綜上可知，甲方案更好。 解 析 ：其和為 (1＋ 3＋ …… ＋ 3n)＋ (13 132?＋ …… ＋ 13n)= 3 12 1 321n n? ?? ? ?=12(3n＋ 1－3n)。 解析：①若 a=0 時， Sn=0； ②若 a=1，則 Sn=1+2+3+? +n= )1n(n21 ?； ③若 a≠ 1， a≠ 0 時， SnaSn=a（ 1+a+? +an1nan）， Sn= ]naa)1n(1[)a1( a 1nn2 ?????。 數(shù)列求通項及和的方法多種多樣，要視具體情形選用合適方法。 有關(guān)命題趨勢： 1．?dāng)?shù)列是一種特殊的函數(shù)，而不等式則是深刻認(rèn)識函數(shù)和數(shù)列的有效工具，三者的綜合題是對基礎(chǔ)和能力的雙重檢驗，在三者交匯處設(shè)計試題，特別是代數(shù)推理題是高考的重點； 2．?dāng)?shù)列推理題是將繼續(xù)成為數(shù)列命題的一個亮點，這是由于此類題目能突出考察學(xué)生的邏輯思維能力，能區(qū)分學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、靈敏程度、靈活程度； 3．?dāng)?shù)列與新的章節(jié)知識結(jié)合的特點有可能加強(qiáng)，如與解析幾何的結(jié)合等； 4．有關(guān)數(shù)列的應(yīng)用問題也一直備受關(guān)注。 （ 2）迭代法。 ?。 例 10． （ 20xx 年遼寧卷） 已知 0( ) ,nf x x? 39。 猜測：當(dāng)且僅當(dāng) ab，且cbax ??1時，每年年初魚群的總量保持不變。 解得 A=－ 20， B=－ 8。 說明：（ 1）由等比數(shù)列的通項公式可以知道：當(dāng)公比 1d? 時該數(shù)列既是等比數(shù)列也是等差數(shù)列；（ 2）等比數(shù)列的通項公式知：若 {}na 為等比數(shù)列，則 mnmna qa ?? 。 解析：（Ⅰ）解：因為｛ ＋ 1－ p｝是等比數(shù)列， 故有：（ ＋ 1－ p） 2＝（ ＋ 2－ p＋ 1）（ － p－ 1）， 將 ＝ 2n＋ 3n 代入上式，得： ［ 2n＋ 1＋ 3n＋ 1－ p（ 2n＋ 3n）］ 2＝［ 2n＋ 2＋ 3n＋ 2－ p（ 2n＋ 1＋ 3n＋ 1）］178。 題型 3：等比數(shù)列的通項公式及應(yīng)用 例 5．一個等比數(shù)列有三項，如果把第二項加上 4，那么所得的三項就成為等差數(shù)列，如果再把這個等差數(shù)列的第三項加上 32，那么所得的三項又成為等比數(shù)列，求原來的等比數(shù)列 。 則 A1＝ a1＝ 1178。（ ak－ 2＋ 2）， 因為 ak＝ ak－ 2＋ 2≠ 0，所以 ak＋ 1＝ ak－ 1＋ 2， 也就是說，當(dāng) n＝ k＋ 1 時，等式 ak＋ 1＝ ak－ 1＋ 2 成立； 根據(jù)①和②，對于所有 n≥ 3，有 an+1=an－ 1+2。 （ 2）解法 1：設(shè)插入的 n 個數(shù)為 nxxx , 21 ? ，且公比為 q， 則 ,2,1,1),1(,11 11 nkqnxnnqqnn kknn ???????? ?? 22 )1(21221 )1(11111 nnnnnnnnn nnqnqnqnqnqnxxxT ???????????? ???? ??? 。 2． 等比數(shù)列的判定方法 ①定義法：對于數(shù)列 ??na ，若 )0(1 ??? qqaa nn，則數(shù)列 ??na 是等比數(shù)列； ②等比中項：對于數(shù) 列 ??na ，若 2 12 ?? ? nnn aaa ，則數(shù)列 ??na 是等比數(shù)列。n 可見，當(dāng) n=3lg3lg272lg2 ? 時， Sn 最大 ， 而 3lg272lg2? ????? =5,故 {lgan}的前 5 項和最大 ， 解法二新疆王新敞特級教師 源頭學(xué)子小屋htp:/:/新疆 接前，???????311081qa ,于是 lgan=lg［ 108(31)n－ 1］ =lg108+(n－ 1)lg31， ∴ 數(shù)列 {lgan}是以 lg108 為首項，以 lg31為公差的等差數(shù)列， 令 lgan≥0， 得 2lg2－ (n－ 4)lg3≥0， ∴ n≤ 3lg42lg2 ?????=， 由于 n∈ N*,可見數(shù)列 {lgan}的前 5 項和最大 。 點評：本題考查了等比數(shù)列的相關(guān)概念及其有關(guān)計算能力。 1178。 點評：該題涉及等比數(shù)列的求和公式與等比數(shù)列通項之間的關(guān)系，最終求得結(jié)果。 c3。21， an+1an 未必成立，當(dāng)首項 a10 時， an0，則21anan，即an+1an，此時該數(shù)列為遞增數(shù)列； 命題 3 中，若 a=b=0， c∈ R，此時有 acb ?2 ，但數(shù)列 a,b,c 不是等比數(shù)列，所以應(yīng)是必要而不充分條件，若將條件改為 b= ac ，則成為不必要也不充分條件。 五．思維總結(jié) 1． 數(shù)列求和的常用方法 （ 1）公式法 ： 適用于等差、等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列 ； （ 2） 裂項相消法 ： 適用于???????1nnaac 其中 { na }是各項不為 0 的等差數(shù)列， c 為常數(shù)；部分無理數(shù)列、含階乘的數(shù)列等 ； （ 3） 錯位相減法 ： 適用于 ? ?nnba 其中 { na }是等差數(shù)列， ??nb 是各項不為 0 的等比數(shù)列。 點評：數(shù)學(xué)歸納法在猜想證明數(shù)列通項和性質(zhì)上有很大的用處，同時該題又結(jié)合了實際應(yīng)用題解決問題。 因函數(shù) ()Fx為偶函數(shù)所以 ()Fx在 [1,0]上為減函數(shù) 所以對 任意的 ? ?12, 1,1xx?? 12( ) ( ) (1 ) ( 0 )F x F x F F? ? ? 0 1 2 1( 1 ) ( 0) ( 1 ) .. . ( 1 ) .. . 2knn n n n nF F C nC n C n k C C ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 又因 1 2 1 1 0( 1 ) ( 0 ) 2 3 .. . .. .knn n n n nF F C C k C n C C??? ? ? ? ? ? ? ? 所以 1 2 1 1 02 [ ( 1 ) ( 0 ) ] ( 2 ) [ .. . .. . ] 2knn n n n nF F n C C C C C??? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 1 1 012( 1 ) ( 0) [ .. . .. . ]22 ( 2 2) 1 2 ( 2) 12knn n n n nnnnF F C C C C Cn nn????? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? 因此結(jié)論成立 。 第 5 頁 共 23 頁 點評：此類問題還可變換為探索題形：已知數(shù)列 ??na 的前 n 項和 nS 12)1( ??? nn ，是否存在等差數(shù)列 ??nb 使得 nnnnnn CbCbCba ???? ?2211 對一切自然數(shù) n 都成立 。 解 析 ：首先考慮 ??? ?ni iiaa1 11 ?? ??ni ii aad1 1 )11(1 ， 則?? ?ni iiaa1 11 = 1111 )11(1 ?? ?? nn aa naad 。 （ 3）數(shù)列前 n 項和 ①重要公式： 1+2+? +n=21 n(n+1)； 第 2 頁 共 23 頁 12+22+? +n2=61n(n+1)(2n+1)； 13+23+? +n3=(1+2+? +n)2=41n2(n+1)2； ②等差數(shù)列中， Sm+n=Sm+Sn+mnd； ③等比數(shù)列中， Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn； ④裂項 求和 將數(shù)列的通項分成兩個式子的代數(shù)和，即 an=f(n+1)－ f(n)，然后累加抵消掉中間的許多項，這種先裂后消的求和法叫裂項求和法。最基本的形式是： an=(an－ an－ 1)+(an－ 1+an－ 2)+? +(a2－ a1)+a1； ③歸納、猜想法。 四．典例解析 題型 1：裂項求和 第 3 頁 共 23 頁 例 1． 已知數(shù)列 ??na 為等差數(shù)列，且公差不為 0，首項也不為 0，求和： ?? ?ni iiaa1 11 。 例 6．設(shè)數(shù)列 ??na 是公差為 d ，且首項為 da ?0 的等差數(shù)列， 求和： nnnnnn CaCaCaS ????? ?11001 解 析 ：因為 nnnnnn CaCaCaS ????? ?11001 ， 00111 nnnnnnnn CaCaCaS ???? ??? ? nnnnn CaCaCa 0110 ???? ? ?， 011 0 1 1 02 ( ) ( ) ( ) nn n n n n n nS a a C a a C a a C??? ? ? ? ? ? ? ? 0100( ) ( ) (